Overzicht ][ Geschiedenis van de wiskunde | Meetkunde
1.
Overzicht proposities (op deze website)
Nb. (ruG) betekent:
Deze pagina is opgenomen ten dienste van de pagina "Meetkundige constructies" (B?tasteunpunt voor Scholieren,
Rijksuniversiteit Groningen).
2.
Inleiding
Het boek De Elementen van Euclides van Alexandri? (~325 - ~265 vC) behoort tot
de mooiste en meest invloedrijke wetenschappelijke werken.
De schoonheid ervan ligt in de logische opbouw van de meetkunde en enkele ander takken van
de wiskunde.
Daarnaast is het boek van grote invloed geweest op de ontwikkeling van de zogenoemde
"niet-euclidische meetkunden".
Het boek is een voortdurend onderwerp van studie geweest, nu al 24 eeuwen lang, in vele
talen, natuurlijk eerst in het Grieks en later als vertaling in het Arabisch, Latijn en de
meeste andere moderne talen (er zijn meer dan 1000 uitgaven bekend).
De Elementen zijn talloze malen overgeschreven en van commentaar voorzien; latere
schrijvers hebben er veranderingen in aangebracht waar zij dat wenselijk achtten, waardoor
de oorspronkelijke tekst niet meer in alle details te reconstrueren is.
Door de logische opbouw en wijze waarop Euclides de tot dan toe bekende beginselen van de
meetkunde heeft samengevat (Euclides was een uitstekend didacticus), werden de Elementen
de grondslag voor het meetkunde-onderwijs tot in de twintigste eeuw.
Op deze webpagina's wordt daarom natuurlijk ook aandacht gegeven aan de Elementen,
en dat niet in de laatste plaats omdat dynamische meetkunde
heden ten dage weer in de belangstelling staat en via het WWW illustratieve en nieuwe
didactische mogelijkheden geeft.
Deze website en in het bijzonder de pagina's die gewijd zijn aan de Elementen,
zijn nog in ontwikkeling.
Het is echter niet de bedoeling om de Elementen in extenso te behandelen; er
wordt veeleer een verband gelegd tussen andere op deze website aanwezige pagina's over meetkunde en de Elementen.
3. Opbouw
De inhoud van het werk voldoet aan de door Plato gestelde eis, dat de wiskunde losgemaakt
dient te worden van het gebied van het materi?le. Wiskundige kennis wordt volgens Plato
alleen door denken verkregen. Men mag dus geen eigenschappen uit de figuur aflezen, maar
men moest van elke eigenschap een streng bewijs geven en geen gebruik maken van figuren.
Volgens Aristoteles moet er bij het opbouwen van een wiskundig systeem uitgegaan worden
van "algemene inzichten" die aan al het deductief denken ten grondslag liggen.
Daarnaast moet gebruik gemaakt worden van "speciale inzichten", waarin de
existentie van de grondbegrippen gepostuleerd en hun betekenis vastgelegd wordt. Ten
slotte moet men de overige begrippen defini?ren met gebruikmaking van eerdere definities
en de existentie van de gedefinieerde begrippen bewijzen,
In de Elementen is Euclides er redelijk in geslaagd zich te houden aan de "voorschriften" van Plato en Aristoteles.
De Elementen bestaan uit 13 boeken.
In de eerste 6 (Boek I tot VI) boeken wordt de planimetrie besproken.
In Boek VII-IX wordt de rekenkunde ontwikkeld.
Boek X gaat over rationale getallen.
De boeken XI-XIII zijn gewijd aan de stereometrie.
4. Boek I
Boek 1 van de Elementen bevat oa. de axioma's en de postulaten waarop de
"Euclidische meetkunde" is gebaseerd.
Klik hier voor de overige definities uit Boek I.
Opmerking
De postulaten 1-3 voldoen aan de eisen van Aristoteles. Ze postuleren de existentie van de grondbegrippen. De postulaten 4 en 5 voldoen daaraan echter niet.
In postulaat 4 wordt niet het bestaan van rechte hoeken vastgelegd, maar er wordt ge?ist dat we aannemen, dat alle rechte hoeken aan elkaar gelijk zijn.
figuur 1 | ![]() |
En in postulaat 5 (zie figuur 1) wordt van ons verlangd
dat we aannemen, dat twee rechte lijnen die aan bepaalde voorwaarden voldoen, een snijpunt
hebben. Bewezen kan worden dat postulaat 5 gelijkwaardig is met
|
Door wijziging van dit postulaat in
- 5h.
Door een punt buiten een rechte gaan ten minste twee rechte lijnen die met die rechte parallel zijn- 5e.
Door een punt buiten een rechte gaat geen rechte lijn die met die rechte parallel iszijn de latere niet-Euclidische meetkunden (opvolgend de "hyperbolische" en "elliptische") ontwikkeld.
[einde Opmerking]
In het bijzonder bekijken we Propositie 27 (die onafhankelijk is van het 5e postulaat)
figuur 2 | ![]() |
Deze propositie (zie figuur 2) maakt het dus mogelijk te bewijzen dat
twee lijnen parallel zijn zonder gebruik te maken van de definitie van parallelle lijnen
(dus zonder ze te verlengen tot in het oneindige; zie definitie 23).
|
? Klik
hier voor het bewijs van Propositie I-27 (en I-28, I-29 en het bewijs van het
5e postulaat uit het axioma van Playfair) .
? Klik
hier voor het axioma van Wallis
? Zie ook de pagina
"Over evenwijdige lijnen".
5. Referenties
Enkele andere websites met informatie over Euclides en de Elementen: