De Elementen van Euclides

Overzicht  ][  Geschiedenis van de wiskunde | Meetkunde


Overzicht terug

  1. Overzicht proposities (op deze website)
       Boek I / Boek II / Boek III / Boek VI / Boek IX
  2. Inleiding
  3. Opbouw
  4. Boek I
  5. Referenties

1. Overzicht proposities (op deze website) terug

Nb. (ruG) betekent:
Deze pagina is opgenomen ten dienste van de pagina "Meetkundige constructies" (BŤtasteunpunt voor Scholieren, Rijksuniversiteit Groningen).


2. Inleiding terug
Het boek De Elementen van Euclides van AlexandriŽ (~325 - ~265 vC) behoort tot de mooiste en meest invloedrijke wetenschappelijke werken.
De schoonheid ervan ligt in de logische opbouw van de meetkunde en enkele ander takken van de wiskunde.
Daarnaast is het boek van grote invloed geweest op de ontwikkeling van de zogenoemde "niet-euclidische meetkunden".
Het boek is een voortdurend onderwerp van studie geweest, nu al 24 eeuwen lang, in vele talen, natuurlijk eerst in het Grieks en later als vertaling in het Arabisch, Latijn en de meeste andere moderne talen (er zijn meer dan 1000 uitgaven bekend).
De Elementen zijn talloze malen overgeschreven en van commentaar voorzien; latere schrijvers hebben er veranderingen in aangebracht waar zij dat wenselijk achtten, waardoor de oorspronkelijke tekst niet meer in alle details te reconstrueren is.
Door de logische opbouw en wijze waarop Euclides de tot dan toe bekende beginselen van de meetkunde heeft samengevat (Euclides was een uitstekend didacticus), werden de Elementen de grondslag voor het meetkunde-onderwijs tot in de twintigste eeuw.

Op deze webpagina's wordt daarom natuurlijk ook aandacht gegeven aan de Elementen, en dat niet in de laatste plaats omdat dynamische meetkunde heden ten dage weer in de belangstelling staat en via het WWW illustratieve en nieuwe didactische mogelijkheden geeft.
Deze website en in het bijzonder de pagina's die gewijd zijn aan de Elementen, zijn nog in ontwikkeling.
Het is echter niet de bedoeling om de Elementen in extenso te behandelen; er wordt veeleer een verband gelegd tussen andere op deze website aanwezige pagina's over meetkunde en de Elementen.

3. Opbouw terug
De inhoud van het werk voldoet aan de door Plato gestelde eis, dat de wiskunde losgemaakt dient te worden van het gebied van het materiŽle. Wiskundige kennis wordt volgens Plato alleen door denken verkregen. Men mag dus geen eigenschappen uit de figuur aflezen, maar men moest van elke eigenschap een streng bewijs geven en geen gebruik maken van figuren.
Volgens Aristoteles moet er bij het opbouwen van een wiskundig systeem uitgegaan worden van "algemene inzichten" die aan al het deductief denken ten grondslag liggen. Daarnaast moet gebruik gemaakt worden van "speciale inzichten", waarin de existentie van de grondbegrippen gepostuleerd en hun betekenis vastgelegd wordt. Ten slotte moet men de overige begrippen definiŽren met gebruikmaking van eerdere definities en de existentie van de gedefinieerde begrippen bewijzen,

In de Elementen is Euclides er redelijk in geslaagd zich te houden aan de "voorschriften" van Plato en Aristoteles.

De Elementen bestaan uit 13 boeken.
  In de eerste 6 (Boek I tot VI) boeken wordt de planimetrie besproken.
  In Boek VII-IX wordt de rekenkunde ontwikkeld.
  Boek X gaat over rationale getallen.
  De boeken XI-XIII zijn gewijd aan de stereometrie.

4. Boek I terug
Boek 1 van de Elementen bevat oa. de axioma's en de postulaten waarop de "Euclidische meetkunde" is gebaseerd.

Het boek bevat

Opmerking
De postulaten 1-3 voldoen aan de eisen van Aristoteles. Ze postuleren de existentie van de grondbegrippen. De postulaten 4 en 5 voldoen daaraan echter niet.
In postulaat 4 wordt niet het bestaan van rechte hoeken vastgelegd, maar er wordt geŽist dat we aannemen, dat alle rechte hoeken aan elkaar gelijk zijn.

figuur 1 En in postulaat 5 (zie figuur 1) wordt van ons verlangd dat we aannemen, dat twee rechte lijnen die aan bepaalde voorwaarden voldoen, een snijpunt hebben.

Bewezen kan worden dat postulaat 5 gelijkwaardig is met

  • 5a.
    Door een punt buiten een rechte gaat precies ťťn rechte lijn die met die rechte parallel is (axioma van Playfair)

Door wijziging van dit postulaat in

zijn de latere niet-Euclidische meetkunden (opvolgend de "hyperbolische" en "elliptische") ontwikkeld.
[einde Opmerking]

  • 48 proposities (stellingen), waarvan bij het bewijs in de eerste 28 en het 31e geen gebruik gemaakt wordt van het 5e postulaat.
    Bijzonder is het, dat dit (dus) ook het geval is bij de proposities die betrekking hebben op conguentie van driehoeken (propositie 4, 8 en 26). Deze behouden hun geldigheid daardoor ook in de hyperbolische meetkunde.
    Bij alle andere echter (29, 30 en 32-48) wordt echter wel gebruik gemaakt van het 5e postulaat.
  • In het bijzonder bekijken we Propositie 27 (die onafhankelijk is van het 5e postulaat)

    figuur 2
    Propositie 27
    Indien een rechte, twee rechten treffende, de verwisselende binnenhoeken aan elkaar gelijk maakt, zullen de rechten aan elkaar parallel zijn.

    Deze propositie (zie figuur 2) maakt het dus mogelijk te bewijzen dat twee lijnen parallel zijn zonder gebruik te maken van de definitie van parallelle lijnen (dus zonder ze te verlengen tot in het oneindige; zie definitie 23).
    Overigens is hierdoor deze stelling dus eveneens geldig in de hyperbolische meetkunde(n).

    § Klik hier voor het bewijs van Propositie I-27 (en I-28, I-29 en het bewijs van het 5e postulaat uit het axioma van Playfair) .
    § Klik hier voor het axioma van Wallis
    § Zie ook de pagina "Over evenwijdige lijnen".

    5. Referenties terug
    Enkele andere websites met informatie over Euclides en de Elementen:


    begin pagina
    [elementen.htm] laatste wijziging op: 28-10-2004