Gulden snede en getallen van Fibonacci
Overzicht ][ Elementen | Meetkunde | Getallentheorie
Zie ook de pagina "Logaritmische spiraal".
1. Elementen
Euclides geeft in zijn Elementen op twee plaatsen een
constructie voor het verdelen van een lijnstuk in uiterste en middelste reden,
ook wel het aanbengen van de gulden snede (Latijn: sectio aurea
of ook wel: proportio divina) genoemd.
Hij doet dit in Boek II (propositie 11 van de
"rekenkundige meetkunde") en in Boek VI (propositie
30 van de "redentheorie"); op de pagina Boek II,
Opmerking 3 staat ook een 'moderne' constructie (deze constructie staat hieronder
als CabriJavapplet).
In het onderstaande geven we enkele andere toepassingen van de gulden snede.
2.1. Phi
Zij C het punt dat het lijnstuk AB verdeelt in uiterste en middelste reden.
We schrijven soms wel ter afkorting: C = vumr(AB); zie figuur 1.
figuur 1 | Stellen we BC = 1 en AC = x, dan is AB = x + 1. Dan volgt uit AB : AC = AC : BC, dat (x + 1)/x = x / 1 zodat (1)...... x2 - x - 1 = 0 |
De positieve wortel van vergelijking (1) is x = (1 + �5)/2.
Deze (positieve) waarde van x wordt wel aangegeven met de Griekse letter f (Phi; de eerste letter van de naam
van de Griekse beeldhouwer Phidias, 490(?)-430(?) vChr).
De negatieve waarde x = (1 - �5)/2 geven we aan met f '.
Nu is, in vijf decimalen, f = 1.61803 en f ' = - 0.61803 (soms wordt ook de positieve
waarde 0.61803 voor f ' gebruikt).
Klik hier >< voor een CabriJavapplet
van bovenstaande constructie.
o Klik hier voor een tweede
constructie.
Afspraak De verhouding AC/CB = f heet de gulden snede. |
Het grootste deel van de VUMR van AB is AC.
Nu is
In figuur 1 is ook de constructie van het punt C aangegeven.
Constructiestappen:
1 - | Midden(AB) = M | 4 - | Snijpunt(2,3) = P | 7 - | Snijpunt(5, 6) = Q |
2 - | Loodlijn(B, AB) | 5 - | Lijnstuk(AP) | 8 - | Cirkel(A, AQ) |
3 - | Cirkel(B, BM) | 6 - | Cirkel(P, PB) | 9 - | Snijpunt(8, AB) = C |
Bewijs:
Zij AB = a. Dan is BM = PB = �a.
Volgens de stelling van Pythagoras in dan AP2 = a2 + �a2
= 5/4a2.
Nu is AQ = AC = (a�5)/2 - �a = a(�5 - 1)/2.
Zodat
AC/AB = (�5-1)/2,
waaruit volgt, dat voor C geldt C = vumr(AB). �
2.2. Verdere eigenschappen van Phi
Verder blijkt uit de vergelijking x2 - x - 1 = 0 en uit de
berekende waarden van f en f ':
(4)...... Wegens hebben we voorts AB = f . AC.
2.3. Constructie van een hoek van 36�
figuur 2 | In figuur 2 is voortgebouwd op de constructie van figuur 1. C = vumr(AB). Getekend zijn opvolgend: - Cirkel(C, CA) - Cirkel(B, CA). Een snijpunt van beide cirkels is het punt R. Nu is hoek BRC = 36�. (*) Het bewijs hiervan volgt door gebruikmaking van de eigenschap die volgt uit figuur 3. |
||
figuur 3 | In de regelmatige vijfhoek in figuur 3 hebben we: driehoek SBC ~ driehoek ABS, waaruit: AB : SB = BS : BC of ook AB : AC = AC : BC Het punt C verdeelt de diagonaal AB dus in uiterste en middelste reden. Anders geformuleerd: .
|
Hieruit volgt het bewijs van de constructie van de hoek van 36� in figuur 2. �
(*)
Voor een afleiding van de goniometrische verhoudingen van de hoeken van 36� en 72� zie
het artikel "Over de hoeken van 36� en 72�", januari 2006.
Klik hier om
het artikel te downloaden (PDF-bestand; ca. 112 kB).
Opmerking. Voor het lezen van een PDF-bestand wordt Adobe Reader�
geadviseerd >>> .
3.1. Verband tussen �5
en de vijfhoek
Er is een onmiskenbaar verband tussen �5 en f, en dus ook tussen �5 en de
regelmatige vijfhoek.
Hieronder geven we een (en dat is ��n van de vele) constructie van een regelmatige
vijfhoek.
figuur 3.1a | We gaan uit van een rechthoek AEFD (dubbelvierkant) met zijden 1 en 2. De
lengte van de diagonaal van die rechthoek is gelijk aan �5
(zie figuur 3.1.a). De lengte van het lijnstuk OA is dan dus ��5. Zie verder figuur 3.1b. We tekenen vervolgens de cirkel (B, BC). De lengte van de straal van die cirkel is 1. |
|
figuur 3.1b | De cirkel (O, OA) snijdt de drager van het lijnstuk BC in het punt P. De cirkel (A, AP) snijdt de omcirkel in de punten A2 en A5, samen met A hoekpunten van de regelmatige vijfhoek. De hoekpunten A3 en A4 kunnen we vinden met de cirkels (A2, AA2) en (A5, AA2). |
o Klik hier voor enkele andere constructies van de regelmatige vijfhoek.
figuur 4 | Het pentagram (vijfhoekige regelmatige ster)
kan ontstaan door de zijden van een regelmatige vijfhoek twee aan twee te verlengen. We kiezen AB = 1 (de zijde van de regelmatige vijfhoek). Zijn R en r opvolgend de stralen van de omgeschreven cirkels van A'B'C'D'E' en ABCDE, dan kunnen we eenvoudig vinden:
|
(vii) | De lengtes van de lijnstukken D'B', D'E, B'A, AE, AX, XZ vormen een
meetkundige rij: D'B' = f 3 D'E = f 2 B'A = f AE = 1 AX = f -1 XZ = f -2 |
|
(viii) | De rij heeft ook een additieve eigenschap: de som van elk tweetal
opvolgende elementen is gelijk aan het volgende element in de rij: f + f 2 = f 3 |
|
(ix) | De lengte van de zijde van A'B'C'D'E' is gelijk aan f2. | |
(x) | R/r = f 2 | |
(xi) | De stervijfhoek en de regelmatige vijfhoek vormen de uitslag van een regelmatige vijfzijdige piramide met hoogte OE'. |
4. Enkele (onvermoede) vindplaatsen van Phi
figuur 5a | Driehoek ABC is rechthoekig in C. AC = 4, CB = 3 en AB = 5. De lijn door het hoekpunt B is de bissectrice van hoek B. Deze snijdt AC in het punt O. O is het middelpunt van de cirkel door het punt C. Omdat O op de bissectrice van B ligt, raakt deze cirkel ook aan AB (in het punt S). Dus: BS = 3 en AS = 2. De bissectrice snijdt de cirkel in de punten P en R en de lijn CS in Q (de hoek bij Q is recht). Volgens de bissectrice-stelling is BC/BA = CO/AO = 3/5 Dus CO = 3/8 . 4 = 3/2 (= straal) en AO = 5/2. Verdere berekeningen geven: |
BO = 3/2�5 (via driehoek BCO), zodat
BP = BO - PO = 3/2(�5 - 1)
BR = BP + PR = 3/2(�5 - 1) + 3 = 3/2(�5 + 1)
Hieruit volgt dan
BR / PR = (�5 + 1)/2 = f
Waaruit volgt, dat P = vmur(BR). �
figuur 5b | In nevenstaande figuur staat een andere constructie voor f in een 3-4-5-driehoek. De wijze van construeren spreekt voor zichzelf. |
figuur 6 | In figuur 6 is AB = PQ, waarbij PQ het raaklijnstuk is uit P aan de
cirkel met middelpunt O. Nu geldt voor de macht van het punt P tov. cirkel O: PA x PB = PQ2, zodat PA : PQ = PQ : PB, of PA : AB = AB : (PA + AB) We zien dus, dat A = vumr(PB). Verder geldt voor het punt C,
dat PC = PQ. |
We hebben nu:
AB : BC = AB : PA = f
Dus ook C = vumr(AB).
We lossen de vergelijking sin 2x = cos 3x op.
Hieruit volgt direct:
sin 2x = sin(p/2 - 3x)
zodat we (oa.) vinden x = p/10.
De vergelijking laat zich als volgt herleiden:
We laten de "trivale" oplossingen uit cos x = 0 voor wat ze zijn,
zodat nu:
Hieruit vinden we dan als (positieve) oplossing:
zodat
sin 18� = 1/(2f)
Wegens cos 36� = 1 - 2sin2 18� = 1 - 1/(2.Phi2), vinden we
(na enige herleiding)
cos 36� = f / 2
N.b.
Voor een afleiding van de goniometrische verhoudingen van de hoeken van 36� en 72� zie
het artikel "Over de hoeken van 36� en 72�", januari 2006.
Klik hier om
het artikel te downloaden (PDF-bestand; ca. 112 kB).
4.4. Phi als kettingbreuk
Op de pagina "Kettingbreuken" wordt een inleiding
gegeven tot de theorie van de kettingbreuken.
Uit f 2 = f
+ 1 volgt:
f = 1 + 1 / f
en dus ook
We vinden dus de oneindige kettingbreuk (zie de pagina "Kettingbreuken" voor de schrijfwijze):
f = ]1, 1, 1, 1, 1, ...[
De benaderende breuken Pk/Qk van f
kunnen we nu via een algoritme berekenen:
Hierin zijn de getallen ak de opvolgende waarden in ]a1, a2,
...[. Dus voor alle k hebben we in dit geval ak = 1.
k = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ... |
Pk / Qk = | 1/0 | 1/1 | 2/1 | 3/2 | 5/3 | 8/5 | 13/8 | 21/13 | 34/21 | 55/34 | ... |
Zie voor de tellers en noemers van de benaderende breuken paragraaf 6. Getallen van Fibonacci.
Zie ook de pagina "Logaritmische spiraal".
4.5 Een ring en een ellips - gulden ellips
We gaan uit van twee in O concentrische cirkels met stralen a en b (a
> b). De oppervlakte van de ring is gelijk aan pa2 - pb2 = p(a2 - b2) ......(1) De ellips met grote as gelijk aan 2a en kleine as gelijk aan 2b, en met O als middelpunt, heeft als oppervlakte pab ......(2) Wanneer beide oppervlaktes gelijk zijn, vinden we uit (1) en (2): a2 - b2 = ab a2- ab - b2 = 0 waaruit we vinden dat a / b = f Opmerking - We zouden zo'n ellips dan (bij gelijke oppervlaktes dus) een gulden ellips kunnen noemen. |
5. Gulden rechthoek en gulden driehoek
figuur 7a | Uitgaande van een vierkant ABCD met zijde 1 construeren we de punten E en
F via de cirkel O (het midden van BC) met straal OA (= ��5). Nu is EB = BG = CF = CH = ��5 - � = (�5 - 1)/2 = 1/f. Daardoor: AG = AB + BG = 1 + 1/f = (f + 1)/f = f. De zijden van rechthoek AGHD zijn dus 1 en f. We noemen een dergelijke rechthoek waarvan de zijden zich verhouden als 1 : f een gulden rechthoek. |
Opmerkingen
[1]
V(BGJF) = (1 + 1/f)(1/f) = 1/f + 1/f 2 = (f + 1)/f 2 = 1
[2]
Bovenstaande constructie van een gulden rechthoek is niet de meest eenvoudige. Hieronder
staat de meest gebruikte
figuur 7b | Uitgaande van vierkant ABCD met AB = 1 (O is het midden van AB) hebben
we: OC = ��5. Met OP = CO hebben we dan AP = � + ��5. N.b. |
[3]
Zie ook de pagina "Logaritmische spiraal", waarop
in de gulden rechthoek via verdeling daarvan in een kleinere rechthoeken een spiraal kan
worden getekend.
[einde Opmerkingen]
Gevolg
We bekijken de oppervlaktes (V) van de verschillende driehoeken in figuur 8.
V(ABC) = �AB . AC . sinA = �f 2sin 36�
V(ABD) = �BA . BD . sinABD = �
. f . 1 . sin 36� = �f sin
36�
V(BCD) = �BC . BD . sinCBD = �
. 1 . 1 . sin 36�
= � sin 36�
Zodat:
V(ABC) : V(ABD) : V(BCD) = f 2
: f : 1.
[einde Gevolg]
Opmerking
Zie ook de pagina "Logaritmische spiraal", waarop
in de gulden driehoek via verdeling daarvan in een kleinere driehoeken een spiraal kan
worden getekend.
[einde Opmerking]
6. Getallen van
Fibonacci
De (meetkundige) rij getallen
1, f, f 2,
...
heeft ook de additieve eigenschap un + 1 = un + un - 1
(met n = 2, 3, ...).
Dit volgt uit het feit, dat f 2 = f + 1.
Zo is f 3 = f . f 2 = f(f + 1) = f 2
+ f = 2f + 1
De rij kan dus ook geschreven worden als
1, f, 1 + f, 1 + 2f, 2 + 3f, ...
Definitie Rijen met de eigenschap un + 1 = un + un - 1 worden ook wel Lucas-rijen genoemd (naar Edouard Lucas - Francois Edouard Anatole Lucas, 1842-1891, Frankrijk). |
Geven we u1 en u2,
dan ligt de rij vast.
Twee voorbeelden:
[1]
u1 = 2, u2 = 1
Lucas-rij: 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...
De getallen in deze rij heten Getallen van Lucas (Lucas-numbers; zie ook Referenties).
[2]
u1 = 5, u2 = 2
Lucas-rij: 5, 2, 7, 9, 16, 25, 41, 66, 107, 173, 280, 453, 733, ..., 13153, 21282, ...
We berekenen van deze rij voor enkele waarden van n de uitdrukking un+1/un:
16 / 9 = 1,7777...
453 / 280 = 1,6178...
733 / 453 = 1,6181...
21282 / 13153 = 1,61803...
We zien, dat de waarden van un+1/un de waarde van f = (�5 + 1)/2 benaderen.
[einde Voorbeelden]
De rij van Fibonacci
We kiezen nu, als in de voorbeelden:
u1 = 1, u2 = 1
De eerste 40 termen van de bijbehorende Lucas-rij staan in de volgende tabel.
n | un | n | un | n | un | n | un | |||
1 | 1 | 11 | 89 | 21 | 10946 | 31 | 1346269 | |||
2 | 1 | 12 | 144 | 22 | 17711 | 32 | 2178309 | |||
3 | 2 | 13 | 233 | 23 | 28657 | 33 | 3524578 | |||
4 | 3 | 14 | 377 | 24 | 46368 | 34 | 5702887 | |||
5 | 5 | 15 | 610 | 25 | 75025 | 35 | 9227465 | |||
6 | 8 | 16 | 987 | 26 | 121393 | 36 | 14930352 | |||
7 | 13 | 17 | 1597 | 27 | 196418 | 37 | 24157817 | |||
8 | 21 | 18 | 2584 | 28 | 317811 | 38 | 39088169 | |||
9 | 34 | 19 | 4181 | 29 | 514229 | 39 | 63245986 | |||
10 | 55 | 20 | 6765 | 30 | 832040 | 40 | 102334155 |
Deze elementen van deze rij heten getallen van Fibonacci (zo genoemd
door Lucas in 1877).
Leonardo van Pisa (genaamd Fibonacci, Filius Bonaccii, wat "zoon van
Bonaccio" betekent) leefde ca. 1175-1250.
Fibonacci publceerde in zijn boek Liber Abaci het befaamde
"konijnenvraagtuk" waarvan de getallen van Fibonacci de oplossing zijn.
Ook voor de getallen van Fibonacci geldt, dat un+1/un de waarde van f = (�5 + 1)/2 benaderen:
u15/u14 = 1,618037
u25/u24 = 1,618033
We kunnen bewijzen dat
Klik hier voor een bewijs van de formule.
De formule werd het eerst gepubliceerd in 1730 door Abraham de Moivre (1667-1754, geboren in Vitry,
Frankrijk).
De formule wordt echter vaak aangeduid als de formule van Binet (naar Jacques Philippe Marie Binet, 1786-1856, geboren in
Rennes, Frankrijk). Binet bewees de formule in 1843.
We kunnen inderdaad ook bewijzen, dat
Stelling Voor elementen un van elke Lucas-rij geldt (voor "grote" waarden van n): un+1 / un � f |
Klik hier voor een bewijs van deze stelling voor de rij van Fibonacci.
Opmerking
Een eenvoudig bewijs van de stelling voor de rij van Fibonacci kan ook worden geleverd
door f te ontwikkelen in een kettingbreuk.
Zie voor een aanzet daartoe paragraaf 4.4. Phi als kettingbreuk.
[einde Opmerking]
Zie ook de pagina "Logaritmische spiraal".
[1] | HANS B�R: Tekengalerij (http://members.chello.nl/~jlmbar/) | |
[2] | H.E. HUNTLEY: The Divine Proportion. Dover Publications Inc., New York (1970) | |
[3] | ROBERT LAWLOR: Sacred Geometry. Thames & Hudson Ltd., Londen (1982) | |
[4] | N.N. WOROBJOW: Die Fibonaccische Zahlen. VEB Verlag, Berlijn (1971; vertaling uit het Russisch) |
- Referenties op Internet kunnen worden gevonden met de sleutelwoorden "golden
section ratio fibonacci";
oa. over Lucas-numbers en Fibonacci-numbers
(door R. Knott - Surrey University,
Guildford, UK).
[sectioaurea.htm] laatste wijziging op: 16-02-10