De logaritmische spiraal

Overzicht ][ Gulden snede | Meetkunde


Zie ook de pagina "Cabri-FAQ 28 - Hoe teken je een spiraal?"

Overzicht terug

  1. Poolcoördinaten
  2. Roteren en vermenigvuldigen
  3. Logaritmische spiraal
  4. Eigenschappen
  5. Loxodromen
  6. De logaritmische spiraal en de gulden rechthoek
  7. Draaivermenigvuldiging
  8. Vermenigvuldigings- en rotatiecongruent
  9. De logaritmische spiraal en de gulden driehoek
  10. Referenties

1. Poolcoördinaten terug

figuur 1 images/spiral1.gif (1651 bytes) De plaats van een punt P in een vlak kan niet alleen worden vastgelegd door een tweetal coördinaten (xy) tov. een orthonormaal assenstel, maar ook door de afstand r van P tot het punt O en de hoek t die OP maakt met de positieve x-as.

Deze coördinaten heten de poolcoördinaten van P: (r, t). Het verband tussen beide soorten coördinaten is als volgt:

2. Roteren en vermenigvuldigingen terug
We beschouwen nu de volgende afbeeldingen van het vlak op zichzelf:
R: (r, q ) ® (r, q  + v) waarbij v continu verandert over de verzameling R van de reële getallen
Het beeld van het punt (a,0) is dan de cirkel r = a.
R heet continue rotatie.

V: (x,y) ® (vx, vy) waarbij v continu verandert over de verzameling R van de reële getallen
Het beeld van (a,0) is dan de positieve x-as, als v > 0).
V heet continue vermenigvuldiging.

3. Logaritmische spiraal terug
De afbeelding D = VR heet continue draaivermenigvuldiging.
We laten nu de vermenigvuldigingsfactor v afhangen van de grootte van de rotatiehoek t:
m is de factor bij de draaiing over een hoek van 1 rad;
dus:
m2 is de factor bij draaiing over een hoek van 2 rad;
algemeen:
mv is de factor bij draaiing over een hoek van v rad.

Door D = VR wordt het algemene punt (r, q ) afgebeeld op het punt (mvr, q  + v).
Voor het beeldpunt van (a,0) hebben we dan:

Eliminatie van v hieruit geeft:
Deze poolvergelijking is de vergelijking van een kromme lijn.
De verzameling beeldpunten van het punt (a,0) heet logaritmische spiraal, ook wel equiangulaire spiraal (zie figuur 2).

figuur 2 images/spiral2.gif (3279 bytes) In figuur 2 is OA = a en m = 1,19.
Het punt X ligt op de x-as.
Het punt X’ ligt op de cirkel (O,OA) zodat bg(OX’) = t = OX (gericht).
Het punt Y ligt zo, dat OY = mqOX’.
De meetkundige plaats van het punt Y is dan de logaritmische spiraal (bij m).
Het punt O heet de pool van de spiraal. Het lijnstuk OA heet de hoofdstraal.

4. Eigenschappen terug
[1]

figuur 3 images/spiral3.gif (2565 bytes) Zij P (r, q ) een punt van de spiraal.
De hoek tussen de raaklijn in P aan de spiraal en de voerstraal OP zij f .
Nu is dr/dq = a . mqln(m) = r . ln(m) ……(1)
Zijn P en P’ twee punten van de spiraal, waarbij P’ zo gelegen is, dat de raaklijn p in P de limietstand is van de lijn PP’ als P’ naar P nadert (zie figuur 3).
In deze figuur is PN loodrecht op OP’.

Dan geldt:
sin(D q ) = PN/r, zodat PN = r.sin(D q ).
Voor kleine D q is sin(D q ) = D q , zodat ook PN = r. D q .
Nu vinden we eenvoudig:
……(2)
Uit (1) en (2) vinden we dan tan f = 1 / ln(m).
De hoek f (de hoek tussen brandpuntvoerstraal en raaklijn) is dus constant. Vandaar dat ook de naam equiangulaire spiraal (in figuur 2 is de hoek f ongeveer 80°).

Een andere schrijfwijze voor de poolvergelijking luidt op basis hiervan: r = aeq . cot ( f ).

[2]

Stelling
De logaritmische spiraal wordt door een vermenigvuldiging tov. zijn pool met de factor m2p afgebeeld op zichzelf.

Bewijs:
r. m2p = mt . m2p = a . mt+2p .¨

Zie ook de paragraaf Loxodromen.

[3]

Stelling
De logaritmische spiraal gaat door inversie tov. de cirkel (O, a) over in een logaritmische spiraal die het spiegelbeeld is van de oorspronkelijke spiraal in de hoofdstraal.

Bewijs:

figuur 4 images/spiral4.gif (4572 bytes) Zij Y’ het beeld van Y bij de bedoelde inversie.
Dan geldt (per definitie):
OY . OY’ = a2.
Dus:
OY’ = a2 / OY = a2 / r = a2 / (amq ) = am-q .

Het punt Y’ is dus het spiegelbeeld van een punt Ys van de oorspronkelijke spiraal in OA (de x-as).
¨

[4]
We passen de vermenigvuldiging V(O,m) toe op de spiraal. We krijgen dan een nieuwe spiraal V(S).
Hiervoor geldt:
r = m . amt = amt+1.
Maar hieruit volgt dus, dat voor de spiraal V(S) ook geldt dat deze kan ontstaan door een rotatie R(O,1).
Dus: V(S) = R(S).
Door de afbeelding VinvR gaat de spiraal dus over in zichzelf.

Gevolg
Als een spiraal wordt rondgedraaid, lijkt hij groter of kleiner te worden.

5. Loxodromen terug
In onderstaande figuur zijn de inversen van de spiraal tov. van een cirkel getekend.
Deze kromme lijnen heten loxodromen.

figuur 5a figuur 5b
images/spiral5a.gif (4210 bytes) images/spiral5b.gif (4279 bytes)

willekeurige inversiecirkel

middelpunt van de inversiecirkel op de spiraal

figuur 5c
images/spiral5c.gif (3860 bytes) In figuur 5c is het middelpunt van de inversiecirkel het puntspiegelbeeld van A in O.
Verder gaat de inversiecirkel door het punt O.

Opmerking
De loxodromen zijn in Cabri Geometry II bepaald via de optie Voorkeuren | Meetkundige plaats | Punten verbinden | U i t.
[einde Opmerking]

6. De logaritmische spiraal en de gulden rechthoek terug
We gaan uit van de gulden rechthoek ABCD. Hierin is dus AD = p . AB, waarbij p = (1 + Ö5)/2 (zie hiervoor de pagina "Gulden snede").
We merken nog op, dat voor p geldt: p2 – p – 1 = 0.

images/spiral6.gif (1694 bytes) We kiezen op AD het punt A1 en op BC het punt B1, met AA= AB = A1B1. Van de rechthoek is dus een vierkant afgesneden.
Nu is A1D = AD – AB = p.AB – AB = (p – 1)AB.
Vermenigvuldiging van beide leden met p geeft nu:
p . A1D = (p2 – p)AB.
Wegens de "gulden snede" is nu p2 – p = 1, zodat ook
CD = AB = p . A1D.
A1B1CD is dus eveneens een gulden rechthoek.

Van deze gulden rechthoek kunnen we weer een vierkant afsnijden, waardoor er weer een gulden rechthoek overblijft.
We krijgen daardoor dus een rij gulden rechthoeken:
ABCD, A1B1CD, A2B1CD1, A2B1C1D2, … (zie figuur 6b).

figuur 6b figuur 6c

images/spiral6b.gif (2126 bytes)

images/spiral6c.gif (2070 bytes)

Uit de constructie van de rij rechthoeken volgt, dat er een vermenigvuldiging V = (C, k) bestaat zodat V(ABCD) = A2B1CD1.
Uitgaande van AB = 1, is de vermenigvuldigingsfactor k gelijk aan AD/A2D= p/A1D = p / (p – 1) = p2, immers
p2 – p = p(p – 1) = 1.

Gevolg
De punten A, A2 en C zijn collineair.

Hulpstelling
In de gulden rechthoek ABCD, waarin ABEF een vierkant is, geldt AC_|_DE.

Bewijs:

figuur 6d images/spiral6d.gif (2176 bytes) Uit de gelijkvormigheid van de rechthoeken ABCD en ECDF volgt dat daarin BAC = CED. De driehoeken ABC en ECS hebben daardoor twee gelijke hoeken, zodat ABC~ESC. Hoek S is dus recht.
¨

7. Draaivermenigvuldiging terug
We bekijken nu in de gulden rechthoek ABCD de tweede rechthoek A1B1CD. Nu geldt volgens de hulpstelling dat AC _|_ B1D (zie figuur 7).

figuur 7 images/spiral7.gif (2702 bytes) Zij nu O het snijpunt van AC en B1D.
Passen we nu op ABCD een vermenigvuldiging V toe met centrum O en factor f = 1/p dan is
V(ABCD)=A’B’C’D’.
Nu is: A’D’ = CD en A’B’ = A1D.
Bij de rotatie R=(O, -90°) hebben we dus:
R(A’B’C’D’)=DA1B1C.

Zij nu F de samengestelde afbeelding van R en V, dus F = RV, dan is:
F(A) = D; F(B) = A1; F(C) = B1; F(D) = C.Verder hebben we:
OD = 1/p . OA, of OA = p . OD en ook A1A = p.A1D, zodat
OA : A1A = OD : A1D
of
OA : OD = A1A : A1D
Volgens de omgekeerde bissectricestelling is dan OA1 is de bissectrice van hoek AOD.
Zodat:
De lijnen A1C1 en BD1 gaan door O en delen de hoeken tussen B1D en AC middendoor.
De afbeelding F toegepast op de rij van gulden rechthoeken geeft dan de volgende rijen van toegevoegde punten:
   I  :®  A1 ®  D1 ®  C1 ®  B2 ®  …
   I I :®  D ®  C ®  B1 ®  A2 ®  …
De afbeelding F is een draaivermenigvuldiging met centrum O, factor 1/p en hoek -90° .
De inverse afbeelding van F is dus ook een draaivermenigvuldiging met centrum O, factor p en hoek +90° .
Overgang op poolcoördinaten (met pool O) geeft nu:
   F    : P(r, q ) ® P’(p / r, q - p /2)
   Finv: P(r, q ) ® P’(p . r, q + p /2)
waarbij we OD1 als x-as kiezen en OD1 = 1.
De poolcoördinaten van de punten uit serie I hierboven zijn dan:
B(p2, p ); A1(p, ½ p ); D1(1,0); C1(1/p, - ½ p ); B2(1/p2, - p ); …
Voor deze puntenrij hebben we dan de algemene formule:
   r = pn met q = ½ p n (n geheel)
De poolcoördinaten van de punten uit rij I voldoen dus aan: r = pq  / p

We hebben nu dus bewezen:

figuur 8a images/spiral8.gif (3398 bytes)
Stelling
De punten B, A1, D1, C1, … (serie I) liggen op de logaritmische spiraal met poolvergelijking:
r = pq  / p .
figuur 8b images/spiral8b.gif (3722 bytes) Gevolg
Ook de punten A, D, C, B1, … liggen op een logaritmische spiraal (zie ook de volgende paragraaf).
Kiezen we weer O als pool en nu OB1 als hoofdstraal (met OB1 = 1), dan hebben we:
   A(p3, 3p /2); D(p2, p ); C(p, p /2); B1(1, 0), …
De poolvergelijking van deze spiraal is dan ook nu (maar nu tov. de hoofdstraal OB1):
   r = pq  / p .
Beide spiralen zijn dus congruent.

8. Vermenigvuldigings- en rotatiecongruentie terug
We kiezen de dragers van de lijnstukken OD1 (OD= 1) en OA1 als assen van een coördinatenstelsel.

figuur 9 images/spiral9.gif (3011 bytes) Op basis van de in de vorige paragraaf gevonden poolcoördinaten vinden we nu als rechthoekige coördinaten:
   B2(-p-2, 0), C1(0, -p-1), A1(0, p), B(-p2, 0).
De lijnen B2A1 en C1B hebben dan opvolgend de vergelijkingen:
   
Op basis van de eigenschappen van p hebben we dan voor het snijpunt van beide lijnen:

B1(- ½, - ½ ) of in poolcoördinaten B1(Ö ½, -3p /4).
De punten A2, B1, C, D en A liggen dus op de spiraal r = 2- ½ pn met opvolgend de argumenten -5p /4 (n = -1), -3p /4 (n=0), -p /4 (n=1), p /4 (n=2), 3p /4 (n=3).
In dit geval geldt dat q = ¼ (2n – 3) p , waaruit volgt dat n = 2q /p +1½.
De tweede spiraal kan zodoende geschreven worden als r = 2- ½ p2q /p +1½.

Gevolg
Deze spiraal kan uit de eerste spiraal worden verkregen door een vermenigvuldiging tov. O met de factor a = 2- ½ p.
Maar ook: de tweede spiraal kan uit de eerst spiraal worden door een rotatie over de hoek plog(a).
Met andere woorden:
Beide spiralen zijn vermenigvuldigings- en rotatiecongruent.

9. De logaritmische spiraal en de gouden driehoek terug
Op dezelfde manier waarop hierboven de logaritmische spiraal is geconstrueerd in de gulden rechthoek, kan een logaritmische spiraal toegevoegd worden aan een gulden driehoek.

figuur 10 images/spiral10.gif (3571 bytes) De driehoeken ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, ... zijn gelijkvormig op basis van de constructie van de bissectrice van de hoeken B, C, D, E, F, G, …
De pool O van de spiraal is het snijpunt O van de zwaartelijnen CP (van driehoek ABC) en DQ (van driehoek BCD).
De hoek tussen deze lijnen is nu 72°.

10. Referenties terug

[1] H.S.M. COXETER, Introduction to Geometry, Wiley & Sons, New York (1961)
[2]     H.E. HUNTLEY, The Divine Proportion, Dover Publications Inc., New York (1970)
[3] ROBERT LAWLOR, Sacred Geometry, Thames & Hudson Ltd., Londen (1982)
[4] N.N. WOROBJOW, Die Fibonaccische Zahlen, VEB Verlag, Berlijn (1971; vertaling uit het Russisch)

Zie ook de pagina "Gulden snede".


begin pagina

[logspiraal.htm] laatste wijziging op: 12-jul-05