De formule van Binet en een stelling van Lucas

Binet | Lucas  ][  Gulden snede | Elementen | Meetkunde | Getallentheorie


Zie ook de pagina "Gulden snede en getallen van Fibonacci".

1. De formule van Binet terug

Stelling
Voor de getallen un met un+1 = un + un-1 (met n > 1, u1 = 1 en u2 =1) geldt
   sectio6_f.gif (1124 bytes)
(formule van Binet; naar Jacques Philippe Marie Binet, 1786-1856, geboren in Rennes, Frankrijk, gepubliceerd in 1843)

Bewijs:
De getallen un vormen de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
We schrijven op deze pagina p in plaats van f.
De getallen p = (1 + ÷5)/2 en p' = (1 - ÷5)/2 zijn de wortels van de vergelijking x2 - x - 1 = 0 (zie de pagina "Gulden snede").
Voor de formule van Binet kunnen we dus schrijven:
   sectio9_f.gif (781 bytes)
Op grond van p2 - p - 1 = 0 waaruit volgt dat p2 = p + 1 hebben we
   p3 = p2 + p = p + 1 + p =           2p + 1
   p4 = 2p2 + p = 2(p + 1) + p =     3p + 2
   p5 = 3p2 + 2p = 3(p + 1) + 2p = 5p + 3
   p6 = 5p2 + 3p = 5(p + 1) + 3p = 8p + 5
   ...
De coŽfficiŽnten en constanten in de rechter leden van de uitdrukkingen hierboven zijn opvolgende Fibonacci-getallen (hetgeen eenvoudig met volledige inductie kan worden aangetoond).
We kunnen dus schrijven:
   pn = F(n) . p + F(n-1)
Uiteraard geldt ook
   p' n = F(n) . p' + F(n-1)
Nu is
   pn - p' n = F(n) . p - F(n) . p' = F(n) . (p - p')
zodat
   F(n) = (pn - p' n) / (p - p')
Echter p - p' = ÷5, zodat we inderdaad vinden, dat
      sectio9_f.gif (781 bytes)
®

2. Een stelling van Lucas terug

Stelling (van Lucas)
Voor elementen un van de rij van Fibonacci geldt (voor "grote" waarden van n): un+1/un Ľ f

Bewijs:
Daarbij gebruiken we de formule van Binet en het feit, dat p / p' = - p2.
We schrijven F(n) = un, waarbij F(1) = 1 en F(2) = 1.
Nu is volgens de formule van Binet:
   sectio92_f.gif (4090 bytes)
Nu is
   sectio93_f.gif (632 bytes)
Deze uitdrukking neemt voor grote waarde van n onbegrensd toe, immers p > 1.
Het tweede lid in de uitdrukking voor F(n+1)/F(n) nadert daardoor tot 0.
Zodat
   sectio94_f.gif (773 bytes)
®


begin pagina

[sectioaurea2.htm] laatste wijziging op: 15-sep-01