Passermeetkunde

Overzicht ][ Inversie | Elementen | Meetkunde


Zie ook de pagina "Cabri: Euclidische passer en moderne passer"

0. Overzicht terug

  1. Inleiding (Elementen: prop. I-1, I-2, I-3)
  2. Passermeetkunde cabrisignal.gif (160 bytes)
         Stelling 1 (inverse) / Stelling 2 (lijnstukken) / Stelling 3 (omcirkel) / Stelling 4 (lijnen)
  3. Mascheroni en Mohr
        Voorbeelden cabrisignal.gif (160 bytes)
  4. Benaderingsconstructies van Mascheroni
  5. Referenties
  6. Download

1. Inleiding terug
Als Euclidische "werktuigen" worden bij meetkundige constructies alleen de passer en de liniaal toegelaten.
De liniaal stelt ons in staat rechte lijnen door twee punten te tekenen.
De passer is in dit geval een werktuig dat met een gegeven middelpunt een cirkel kan tekenen die door een punt gaat.
Opmerking
Wordt de Euclidische passer van het papier gelicht, dan klappen de benen onmiddellijk in.
Met een Euclidische passer is het dus niet mogelijk "afstanden over te brengen".
De "moderne" passer stelt ons echter in staat beide te doen.
We zullen hieronder laten zien, dat we "volgens Euclides zelf " de moderne passer in Euclidische constructies mogen toepassen.
[einde Opmerking]

We vinden al direct in Boek I van de Elementen van Euclides (in vertaling van DR. E.J. DIJKSTERHUIS):

Propositie I-1
Op een gegeven begrensde rechte een gelijkzijdigen driehoek te construeren.

Propositie I-2
Aan een gegeven punt een rechte te plaatsen, gelijk aan een gegeven rechte.

Opmerking
Euclides verstaat hier onder "rechte" wat wij "lijnstuk" noemen.
[einde Opmerking]

figuur 1 passer1.gif (1357 bytes) Bewijs van I-1:
Postulaat 3 (Elementen Boek I) luidt:
En dat met elk middelpunt en elke afstand een cirkel beschreven wordt.
Op basis hiervan is het dus mogelijk cirkels te tekenen met middelpunt A en met middelpunt B, met straal AB.
Euclides bewijst dan op grond van eerder gegeven postulaten en definities, dat AB = BC = CA. ¨
figuur 2 passer2.gif (1881 bytes) Bewijs van I-2:
Zij A het gegeven punt en BC het gegeven lijnstuk.
We moeten dan een lijnstuk construeren dat gelijk is aan BC, met A als beginpunt.
Volgens I-1 kan op AB een gelijkzijdige driehoek ABD worden getekend.
DA en DB kunnen worden verlengd (zie Postulaat 2).
Postulaat 3 (zie boven in het bewijs van I-1) geeft ons de mogelijkheid tot het tekenen van cirkel B(BC), die de lijn DB in E snijdt.
Cirkel D(DE) snijdt de lijn DA in F.
Nu is AF = BC. ¨

Merk op, dat in de bovenstaande cirkel-constructies alleen gebruik gemaakt is van een "Euclidische passer".

Propositie I-3 (Elementen) stelt ons nu in staat "afstanden over te brengen".

Propositie I-3
Wanneer twee ongelijke rechten (lijnstukken, DK) gegeven zijn, van de grootere een rechte, gelijk aan de kleinere, af te nemen.

Constructie:

figuur 3 passer3.gif (897 bytes) Zijn AB en CD de gegeven lijnstukken, waarbij AB > CD.
We construeren het lijnstuk AE dat gelijk is aan CD (volgens Prop. I-2).
Vervolgens snijdt de cirkel A(AE) het lijnstuk AB in het punt F.
Nu is AF = CD. ¨

Opmerking
We hebben nu de afstand CD overgebracht op AB. Ook hier is alleen gebruik gemaakt van een Euclidische passer.

Gevolg
We kunnen de Euclidische passer vervangen door een "gewone" (moderne) passer.

¤ Klik hier voor de pagina "Cabri: Euclidische passer en moderne passer". Op deze pagina wordt eveneens ingegaan op de equivalentie tussen constructies met een Euclidische passer en een moderne passer. Ook komen op die pagina enkele Cabri-constructies en -macro's aan de orde.

2. Passermeetkunde terug
We zullen hieronder aantonen, dat we de liniaal niet nodig hebben bij de elementaire Euclidische constructies.

Definitie
Een rechte lijn is het paar (A,B) waarbij A en B verschillende punten zijn in het Euclidische vlak.
(A, B) wordt ook wel geschreven als AB.

In deze definitie wordt de rechte lijn dus impliciet vast gelegd door twee punten. Elk tweetal verschillende punten bepaalt daardoor een rechte lijn (die we niet hoeven te tekenen).
Nodig is nu aan te tonen, dat we de liniaal kunnen missen bij penl-constructies (zie de pagina "Trisectie").
De basisproblemen bij Euclidische constructies zijn:

(i)    het vinden van de snijpunten van twee cirkels (elk gegeven door middelpunt en straal);
(ii) het vinden van het snijpunt van een lijn (vastgelegd door twee verschillende punten; zie definitie hierboven) en een cirkel;
(iii) het vinden van de snijpunten van twee lijnen (elk vastgelegd door twee verschillende punten).

Ad (i)
De oplossing hiervan is onmiddellijk duidelijk. Dit kan zonder liniaal.

Ad (ii) en (iii)
We zullen aantonen (in Stelling 4), dat we (ii) en (iii) kunnen terugbrengen tot (i) door inversie (zie voor Inversie de pagina "Inversie" en het Cabri-werkblad "Inversie").

Opmerking
De bewijsvoering met behulp van inversie is voor het eerst toegepast in 1890 door August Adler (1863-1923) in zijn artikel "Zur Theorie der Mascheronischen Konstruktionen" (Wiener Berichte Nr. 99).
[einde Opmerking]

We bewijzen eerst enkele hulpstellingen (stelling 1, stelling 2 en stelling 3).

Stelling 1 terug
Het is mogelijk  met passer alleen het inverse punt P' van een punt P tov. van een cirkel O te construeren.

Bewijs:

figuur 4 inv2d.gif (1730 bytes) De volgende constructiestappen zijn voldoende (bij gegeven inversiecirkel O en punt P):
   cirkel (P, PO)
2-3     bepaal de snijpunten Q en R met de inversiecirkel
   cirkel (Q, QO = r)
   cirkel (R, RO)
   P' is het tweede snijpunt van de beide laatste cirkels
 (stap 4 en 5)

De juistheid van de constructie volgt uit:
Wegens de symmetrie ligt P' op de lijn OP. De hoek QOP is altijd scherp, en daarom liggen P en P' aan dezelfde kant van O.
De driehoeken QOP' en QOP zijn beide gelijkbening en hebben de hoek O gemeen. Ze zijn dus gelijkvormig: QOP' ~ POQ, waaruit volgt
OQ : OP = OP' : OQ of OP' . OP = OQ2 = r2 . ¨

Opmerking
Dit bewijs staat ook op de pagina "Inversie". Daar staat eveneens een CabriJavapplet die de constructie, zoals die in figuur 4, illustreert.
[einde Opmerking]

Stelling 2 terug
[1] Het is mogelijk met passer alleen een lijnstuk AB te verlengen met een lijnstuk BC, waarbij BC = AB.
[2] Het is mogelijk met passer alleen het midden van een lijnstuk AB te construeren.

Bewijs:

figuur 5 passer4.gif (1940 bytes) [1]
Zij AB het gegeven lijnstuk (ook nu bepaald door de punten A en B).
Teken de cirkel A(AB).
Bepaal de cirkel A(AB) het punt P, dan met P(PA) het punt Q en tenslotte met Q(QP) het punt C.
Nu is AC een rechte lijn, waarbij AB = BC.
¨
figuur 6 passer5.gif (1815 bytes) [2]
Bepaal B' op BA zodat BA = AB', volgens Stelling 2.1.
Bepaal de inverse M van B' tov. de cirkel B(BA), volgens Stelling 1.
Nu is M het midden van AB.
Immers, zij r (=AB) de straal van de inversiecirkel. Dan is:
BM . BB' = BM . 2r = r2.
Waaruit volgt dat BM = ½ r.
¨
Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van de constructie.
.
Stelling 3 terug
Het is mogelijk met passer alleen het middelpunt van de cirkel door drie gegeven punten te construeren.

Bewijs:

figuur 7a passer7.gif (1982 bytes) Zijn A, B, C drie gegeven punten (die niet op dezelfde lijn liggen).
We kiezen de cirkel A(AB) als inversiecirkel.
De omcirkel van ABC gaat door inversie over in de lijn BC' (C' is het beeld van C bij deze inversie).
Het gezochte punt O gaat bij de inversie over in het inverse beeld van A bij de inversie tov. BC' (zie Toelichting).
O gaat dus over in het spiegelbeeld A' van A in de lijn BC' (het spiegelbeeld A' van A is te construeren met de cirkels B(BA) en C'(C'A)).
O is dus het beeld van A' bij de inversie in de cirkel A(AB).
¨
Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van de constructie.

Toelichting

figuur 7b passer7b.gif (5580 bytes) Zie figuur 7b.
Alle rechte lijnen p door het middelpunt M van een cirkel C worden bij een inversie (tov. een cirkel met middelpunt O) afgebeeld op cirkels die door O gaan.
Deze cirkelbundel heeft een tweede basispunt, namelijk het beeld M' van het punt M (bij de inversie tov. cirkel O).
De cirkels van deze bundel staan alle loodrecht op het beeld C' van de cirkel C.
We bekijken nu de inversie tov. de cirkel C'. De cirkels van de bundel worden nu afgebeeld op zichzelf (vanwege de orthogonaliteit).
M' is dan het beeld van O bij de inversie tov. de cirkel C'.
figuur 7c passer7c.gif (4303 bytes) Zie nu figuur 7c.
Ligt het punt O op cirkel C, dan is het beeld C' van C een rechte lijn.
Het beeld M' van M ligt dan spiegelsymmetrisch tov. de rechte lijn C' .

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van deze eigenschap.

Opmerking
Bovenstaande levert ook een passer-constructie van het middelpunt van een cirkel.

figuur 7d passer7d.gif (1483 bytes) Zie figuur 7d.
Zij C de cirkel waarvan het middelpunt onbekend is.
Kies een willekeurig punt A op C, dat middelpunt is van een cirkel die C in de punten P en Q snijdt.
A' is het beeld bij spiegeling van A in de lijn PQ.
Dan is het beeld O van A' bij inversie in cirkel A het middelpunt van cirkel C.
In de rechter figuur staat de hierop gebaseerde passer-constructie.
[einde Opmerking]
passer7e.gif (3331 bytes)

We kunnen nu op basis van Stelling 3 bewijzen:

Stelling 4 terug
[1] Het is mogelijk met passer alleen de snijpunten van een lijn en een cirkel te construeren.
[2] Het is mogelijk met passer alleen het snijpunt van twee lijnen te construeren.

Bewijs:

figuur 8a passer8.gif (1995 bytes) [1]
We kiezen de cirkel (die de lijn AB snijdt) als inversiecirkel.
A' en B' zijn de inversen van A en B tov die cirkel.
De punten A' en B' zijn volgens Stelling 1 met passer te construeren.
Het beeld van de lijn AB bij de inversie is de omcirkel van driehoek OA'B'.
De snijpunten P en Q van AB met de inversiecirkel zijn invariant.
P en Q zijn dus de snijpunten van de omcirkel van driehoek OA'B' en de inversiecirkel.
Volgens Stelling 3 is het middelpunt M van die omcirkel met passer te construeren.
De snijpunten zijn nu als snijpunten van de omcirkel en de inversiecirkel te construeren (zie figuur 8a).¨
Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van deze constructie.
figuur 8b passer8b.gif (3330 bytes) [2], zie figuur 8b.
AB en CD zijn de gegeven lijnen.
We kiezen een geschikte inversiecirkel O.
A', B', C', D' zijn de inversen van A, B, C, D tov. deze cirkel.
Het tweede snijpunt S' van de omcirkels van OA'B' en OC'D' (zie Stelling 3 voor de constructie van de cirkels P en Q) is het beeld van het snijpunt S van AB en CD.¨
Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van deze constructie.

Zie ook Voorbeeld 4.

3. Mascheroni en Mohr terug
Lorenzo Mascheroni (1750-1800, Italië) publiceerde in 1797 in Pavia het werk Geometria del compasso. Hij toonde daarin, op een andere manier als hierboven, aan dat iedere penl-constructie kon worden uitgevoerd met passer alleen.
Hij stelde zich niet tevreden met het bewijs van de mogelijkheid, maar hij gaf daarnaast een groot aantal interessante toepassingen op allerlei meetkundige problemen.
Ook gaf hij een aantal benaderde oplossingen (zie Paragraaf 4) van constructies die met penl niet exact uit te voeren waren.
Het werk van Mascheroni werd vooral in Frankrijk bekend door toedoen van Napoleon. Tijdens zijn Italiaanse veldtocht had hij Mascheroni ontmoet en hij raakte in diens werk geïntereseerd (Geometria is door Mascheroni opgedragen aan Napoleon).
Bij terugkomst in Frankrijk woonde hij op 10 december 1797 een bijeenkomst bij van het Institut National, waar ook Lagrange en Lapace aanwezig waren.
Naar het schijnt heeft hij hen een probleem (zie Voorbeeld 2) voorgelegd en de passerconstructie gedemonstreerd.
Laplace, die Napoleon's leermeester was geweest op de militaire school in Brienne, sprak toen: "Nous attendions tout de vous, général, excepté de leçons de mathématiques".
Een gevolg hiervan was weer dat, door de publiciteit in een Frans dagblad, zeer snel een Franse vertaling werd verzorgd, Géométrie du compas, door A.M. Carette (verschenen in 1798 bij Duprat in Parijs; 2e druk 1828).

Georg (Jørgen) Mohr (1640-1697, Denemarken) bracht een groot deel van zijn leven in Nederland door. In 1672 (dus 125 jaar voor Mascheroni) publiceerde hij Euclides Danicus (uitgegeven te Amsterdam in het Nederlands en in het Deens), dat geheel aan de passermeetkunde was gewijd. Hij toonde daarin ook aan, zij het meer theoretisch en minder eenvoudig dan Mascheroni, dat penl-constructies met passer alleen mogelijk zijn.
Het boek werd bij toeval ontdekt door een student van de Deense meetkundige Johannes Hjelmslev (1873-1950) en door de laatste als facsimile heruitgegeven in 1928 (mmv. det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab te Kopenhagen).
Klik hier voor oa. een levensbeschrijving van Mohr in het Deens en een afbeelding van de eerste bladzijde van Euclides Danicus.

Voorbeelden terug
Hieronder geven we een viertal voorbeelden van de constructies van Mascheroni.

  1. Een gegeven boog halveren cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Probleem van Napoleon - Een vierkant te construeren in een cirkel (2 constructies) cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. De middelevenredige te construeren bij twee lijnstukken
  4. Het construeren van het snijpunt van twee lijnen (2 constructies) cabrisignal.gif (160 bytes)

Voor een vijfde voorbeeld (met een afdruk uit Géométrie du compas, op een afzonderlijke pagina):

  1. Middelpunt van een cirkel

[1] terug
Een gegeven cirkelboog te halveren

figuur 9 passer9.gif (2985 bytes) De koorde wordt bepaald door de punten A en B op de cirkel met middelpunt O.
We geven de constructiestappen kort weer.
1 - Cirkel(O, AB)
2 - Cirkel(A, O) ...... dit geeft snijpunt C
3 - Cirkel(B, O) ...... dit geeft snijpunt D
4, 5 - Cirkel(C, B) en Cirkel(D, A) ...... deze geven snijpunt E
6 - Cirkel(C, OE) ...... dit geeft de snijpunten F en F'.
F en F' zijn punten die elk van beide bogen AB halveren.¨

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van deze constructie.

[2] terug
Probleem van Napoleon - Een vierkant te construeren in een cirkel

Dit probleem vertoont uiteraard veel gelijkenis met dat in Voorbeeld 1.

figuur 10a passer10.gif (2404 bytes) De cirkel met middelpunt O met daarop het punt P zijn gegeven.
Constructiestappen:
1 - Cirkel(P, O) ...... dit geeft punt A
2 - Cirkel(A, O) ...... dit geeft punt B
3 - Cirkel(B, O) ...... dit geeft punt C = R
4, 5 - Cirkel(P, B) en Cirkel(C, A) ...... geven snijpunt D
6 - Cirkel(P, OD) ...... dit geeft de punten Q en S.
PQRS is dan het gevraagde vierkant.¨

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van deze constructie.

Opmerkingen
[1]
Uitgaande van OP =1, zijn in deze figuur nu ook geconstrueerd:
PQ = Ö2, PB = Ö3.
De constructie van het punt D wordt gebruikt bij enkele benaderingsconstructies. Zie hiervoor Paragraaf 4.

figuur 10b passer10b.gif (2455 bytes) [2]
Deze constructie biedt echter ook wat meer.
Hebben we punt D eenmaal gevonden, dan kunnen we in de cirkel ook een regelmatige 24-hoek construeren.
Constructiestap:
7 - Cirkel(D, OP) ...... dit geeft het punt E (het midden van bg PQ).
Nu is bg AE = 60º - 45º = 15º.
Het waren juist de constructies voor het verdelen van de cirkel in een aantal gelijk bogen, waarmee Mascheroni zijn onderzoek is begonnen.

Nb.
8 - Cirkel(Q, OP) geeft de snijpunten F en G
Hierbij is bg PF = bg FA = 30º, terwijl FG het lijnstuk OQ loodrecht middendoor deelt.

figuur 10c passer10c.gif (2609 bytes) [3] - Tweede constructie
In [1] is het vierkant geconstrueerd met 6 extra cirkels.
Het is ook mogelijk de constructie uit te voeren met 5 extra cirkels (zie figuur 10c).
Constructiestappen:
1 - Cirkel(P, O) ...... dit geeft de punten A en B
2 - Cirkel(B, A) ...... dit geeft punt R
3, 4 - Cirkel(A, O) en Cirkel(P, O) ...... geven het punt C
5 - Cirkel(C, O) en Xirkel(B, A) ...... geven het punt D
6 - Cirkel(P, D) ...... geeft de punten Q en S.
Hierbij zij opgemerkt, dat alle gebruikte cirkels getekend zijn met een "Euclidische" passer.

[3] terug
De middelevenredige te construeren bij twee lijnstukken

We voeren deze constructie, van wege de leesbaarheid, in delen uit.
De constructie is gebaseerd op de eigenschap dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hoogtelijn op de schuine zijde gelijk is aan het produkt van de stukken waarin die zijde door de hoogtelijn wordt verdeeld (h2 = pq).

figuur 11a passer11a.gif (1958 bytes) AB en CD zijn de gegeven lijnstukken.
Allereerst moeten we AB verlengen met een lijnstuk ter lengte van CD.
1 - Cirkel(B, CD)
2 - snijdende Cirkel(A, willekeurige straal)
Dit geeft de punten E en F.
Het punt G wordt dan bepaald als midden van boog EF op cirkel 1 (zie hiervoor de constructie in Voorbeeld 1).
figuur 11b passer11b.gif (3262 bytes) Vervolgens moet het midden van het lijnstuk AG worden geconstrueerd.
Allereerst is AG verlengd met een stuk GH = AB. Zie hiervoor Stelling 2.1.
3 - Cirkel(A, AG)
4 - Cirkel(H, HA)
Deze cirkels snijden elkaar in de punten K en K'.
5 - Cirkel(K, KA)
6 - Cirkel(K', K'A)
Deze cirkels snijden elkaar in het punt M.
M is nu het midden van AG.
De cirkel met middellijn AG kan nu getekend worden.
figuur 11c passer11c.gif (1688 bytes) We spiegelen nu het punt M in B.
Dit doen we door het lijnstuk MB met BL = MB te verlengen (ook weer volgens Stelling 2.1).
7 - Cirkel(L, AM)
Deze snijdt cirkel M in het punt N.
Nu is BN middelevenredig tussen AB en BG = CD.
¨

[4] terug
Het construeren van het snijpunt van twee lijnen

In Stelling 4.2 hebben we laten zien hoe het snijpunt van twee lijnen kan worden geconstrueerd met behulp van inversie.
We laten nu de constructie van Mascheroni hieronder volgen (zie de figuren 12a en 12b).
Een tweede, eenvoudiger, constructie wordt beschreven in de Opmerking aan het eind.

figuur 12a             figuur 12b
passer12.gif (3487 bytes) passer12b.gif (2916 bytes)

We construeren eerst de spiegelbeelden C' en D' van C en D in AB (zie figuur 12a, rode cirkels).
Vervolgens bepalen we het parallellogram DD'EC (D'E // CD; blauwe cirkels die het punt E bepalen).
Nu geldt voor het, nu nog denkbeeldige, snijpunt S:
C'E : D'D = C'D' : D'S (gelijkbenige gelijkvormige driehoeken) ------ (1)
We moeten nu het lijnstuk D'S als vierde evenredige construeren.
Dat doen we in figuur 12b.
Om O zijn cirkels (blauw) getekend met stralen C'E en D'D. Het punt Q wordt bepaald met de cirkel P(C'D'), waarbij P een willekeurig punt op de cirkel is.
Met een willekeurige straal worden dan cirkels P en Q getekend die de punten P' en Q' geven.
In de figuur hebben we dan: OP = C'E, OP' = D'D en PQ = C'D'.
Nu zijn de driehoeken OPP' en OQQ' congruent.
Dus zijn de beide gelijkbenige driehoeken OPQ en OP'Q' gelijkvormig (gelijke tophoeken).
Hieruit volgt dan: OP : PQ = OP' : P'Q',
of
C'E : C'D' = D'D : P'Q' ------ (2)
Uit (1) en (2) volgt dan dat P'Q' = D'S.
In figuur 12a construeren we dan S met de (groene) cirkels D(P'Q') en D'(P'Q'). ¨

Opmerking - 2e constructie
Het is vreemd, dat Mascheroni voor de constructie van het snijpunt van de lijnen niet doorgaat op het eerste deel van bovenstaande constructie, namelijk de gebruikte lijnspiegeling.
Hieronder geven we een constructie waarbij drie keer gebruik gemaakt wordt van een lijnspiegeling, met tenslotte voor de constructie van het snijpunt toepassing van Stelling 3 (middelpunt van de cirkel door 3 punten).

figuur 13 passer13.gif (1697 bytes) A1, B1 zijn de beelden van A, B bij de spiegeling in de lijn CD.
C1, D1 zijn de beelden van C, D bij de spiegeling in de lijn A1B1.
B2 is het beeld van B1 bij de spiegeling in de lijn C1D1.
Het product van deze spiegelingen is een rotatie om het snijpunt van de spiegelassen.
De punten B, B1 en B2 liggen dus op een cirkel met als middelpunt het snijpunt van AB en CD.
We kunnen dus volgens Stelling 3 het middelpunt van de omcirkel van driehoek BB1B2 construeren. ¨

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van deze constructie.

4. Benaderingsconstructies van Mascheroni terug
Zoals reeds opgemerkt heeft Mascheroni ook een aantal benaderingsconstructies (met passer alleen) gevonden van problemen die niet met penl kunnen worden opgelost.
We behandelen op deze website:

Bij oplossing van de eerste twee problemen maakt Mascheroni gebruik van een constructie die is terug te vinden in Voorbeeld 2.

Klik hier voor Mascheroni's benaderingsconstructies (met CabriJavapplets).

Zie verder eventueel de webpagina "Trisectie van een hoek".

5. Referenties terug

Zie ook de pagina "Passermeetkunde: Over Georg Mohr".
Zie ook de pagina "Passermeetkunde: Géométrie du compas".
Zie ook de pagina "Cabri: Euclidische passer en moderne passer"

[1] A. BOGOMOLNY, Geometric construction with the compass alone (website van Cut-The-Knot, USA)
[2] H. DÖRRIE, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Publications, New York (1965)
[3] J-L. Juveneton, Cabri Java: construire avec le compas, (Académie de Grenoble, Frankrijk)
[4]     G.E. MARTIN, Geometric constructions, Springer-Verlag, New York (1998)
[5] D. PEDOE, Circles: a mathematical view, MAA, Washington (1995)
[6] S.C. VAN VEEN, Passermeetkunde, J. Noorduijn en Zoon N.V., Gorinchem (1951)
[7] HK. DE VRIES, Historische Studiën, deel 1, P. Noordhoff, Groningen (1926)

6. Download terug
De meeste Cabri-figuren op deze pagina kunnen in één bestand via deze website worden gedownload.
In het bestand zijn ook de figuren opgenomen van de CabriJavapplets en die van de pagina "Benaderingsconstructies".
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand, ca. 25Kb).


begin pagina
[passermeetk.htm] laatste wijziging op: 17-07-06