Axioma van Wallis

Axioma van Wallis

[ Playfair's axioma | Evenwijdige lijnen | Euclides' Elementen | Propositie I-27 ]


Axioma
Bij een gegeven (willekeurige) driehoek ABC en een gegeven lijnstuk DE bestaat een driehoek DEF (waarvan dus DE een zijde is) die gelijkvormig is met driehoek ABC.

Op basis van dit axioma, afkomstig van John Wallis (1616-1703, Engeland) kan het 5e axioma van Euclides bewezen worden.
Het axioma van Wallis is daarmee dus equivalent met het 5e axioma van Euclides.

We zullen deze equivalentie aantonen: door een punt P buiten een gegeven lijn m is precies n lijn is die met m evenwijdig is.

Bewijs:
wallis.gif (3201 bytes) Zij P dus het gegeven punt buiten de lijn m.
Zij verder m' een lijn door P // m (via PQ _|_ m en m' _|_ PQ in P).
Zij nu n een tweede lijn door P.
We zullen nu aantonen dat de lijn n de lijn m snijdt.

We kiezen, zonder de algemeenheid geweld aan te doen, een lijn n door een punt R', waarvan de afstand tot m kleiner is dan |PQ|.
Voor een willekeurige punt R van n tekenen we de loodlijn RS op PQ.
(Merk op, dat we kunnen bewijzen dat RS uniek is.)

We passen nu het axioma van Wallis toe op driehoek PRS en op lijnstuk PQ: er is dus een punt T zo, dat PRS ~ PTQ.
We kiezen T aan dezelfde kant van PQ als R.
Uit de gelijkvormigheid volgt dan: TPQ = RPS.
Deze hoeken hebben de halve lijnen PQ en PS als gemeenschappelijk been.
Omdat T aan dezelfde kant van PQ ligt als R, ligt het punt T dus op n. ------(1)
Ook volgt uit de gelijkvormigheid: PQT = PSR, waaruit dan (zoals hierboven) volgt, dat T op m ligt. ------(2)
Uit (1) en (2) vinden we dan, dat T het snijpunt is van m en n.
Er is dus slechts en lijn door P evenwijdig met m.

Referenties

[1] Cut-the-Knot: The fifth Postulate, Attempts to prove
[2] MathWorld: Parallel Postulate
[3] David Royster: Hyperbolic geometry / Similar Triangles (University of North Carolina, Charlotte, NC, USA)

begin pagina
[wallis.htm] laatste wijziging op: 17-11-03