Dynamische meetkunde op het WWW

Overzicht  ][ DK & meetkunde


Overzicht terug

Samenvatting terug
De ontwikkeling van dynamische meetkunde in het onderwijs is van invloed op veel educatieve pagina's op het Internet. Op die pagina's wordt nog weinig gebruik gemaakt van technologie die het mogelijk maakt meetkundige figuren te onderzoeken via animaties. Klassieke technieken voor animatie op het Web zijn vaak te beperkt of zijn moeilijk te implementeren.
Binnen het Cabri-Java Project wordt het wellicht mogelijk Java applets te ontwikkelen die gebruik maken van alle voordelen van dynamische meetkunde. Op dit moment wordt onderzocht of het mogelijk is een Java applicatie te ontwikkelen waarbinnen het creëren en het manipuleren van figuren mogelijk is.

Dynamische meetkunde en onderwijs terug
De ontwikkeling van de dynamische meetkunde staat in nauw verband met de ontwikkeling van "directe manipulatie".
De dynamische meetkunde vindt in feite al enige tijd terug zijn oorsprong toen wiskundigen als Clairault (XVIIIe eeuw) en enkele andere latere auteurs de gedachte ontwikkelden delen van figuren te laten bewegen om daarmee meetkundige eigenschappen te illustreren en stellingen te bewijzen.

Dynamische meetkunde met directe manipulatie is dikwijls geïmplementeerd in computer programma's om de gebruiker - leraar of leerling - de mogelijkheid te bieden intellectuele activiteiten te ontwikkelen gebaseerd op meetkundige kennis. Met andere woorden, de gebruiker wordt geplaatst in een "microwereld", op een manier die beschreven is door Seymour Papert in zijn befaamde boek "Mindstorms,Children, Computers, and Powerful Ideas" 1 ] (vergelijkbaar met de LOGO programmeeromgeving). In tegenstelling tot LOGO speelt in een microwereld die gebaseerd is op meetkunde (en meetkundige kennis), zoals dat het geval is in Cabri en Geometer's SketchPad, de wiskundige inhoud die onderwezen moet worden, een belangrijke rol. Door directe manipulatie kan de student zijn eigen constructies bouwen, daarbij gebruikmakend van de bij hem aanwezige meetkundige kennis en van representaties van meetkudinge objecten

Hoofdpunten van dergelijke dynamisch meetkundige omgevingen zijn

Gedurende vele jaren hebben enkele schrijvers [ 2, 3, 4, 5 ] het belang aangegeven van directe betrokkenheid van de student bij het gebruik van constructie-software voor meetkundige objecten. Onderzoek met name rond het softwarepakket Cabri-géomètre6 ] onderstreept de vooraanstaande rol van de persoonlijke inzet van de student. Daardoor kan deze zijn aandacht besteden aan het analyseren van de problemen die hem worden voorgelegd, op een active, dynamische manier. Cabri is niet alleen beschikbaar in verschillende talen op de Macintosh en andere platforms (zoals Windows 95), maar ook op grafische rekenmachines (zoals de TI-92, [ 7 ] ). Van het pakket zijn grote aantallen in gebruik; er zijn ook Cabri-werkgroepen, verspreid over de gehele wereld. Niet alleen het gebruik in de klas, maar ook bij zelf-studie heeft ertoe geleid, dat honderden gebruikers elkaar bij conferenties rondom deze software ontmoeten.

Het gereedschap voor dynamische meetkunde wordt ook op een vruchtbare manier gebruikt op andere terreinen van de wetenschap, zoals wiskundige ondersteuning bij modellen in de optica, electronica, mechanica, astronomie, ed..

[Voorbeeld Cabri-géomètre]

Dit type gereedschap blijkt ook goed te kunne worden gebruikt door manueel gehandicapten, niet alleen op school-niveau (bij individueeel onderwijs), maar ook in de sfeer van "remedial teaching" en afstandsonderwijs (TéléCabri project [ 8 ], een project voor kinderen die opgenomen zijn in een ziekenhuis).

Meetkunde op het WWW terug
Van af het ontstaan van het WWW biedt het WWW een goede mogelijkheid aan onderwijsgevenden om tot samenwerking te komen. Het is mogelijk cursussen, ed. uit te wisselen en discussie te voeren over allerlei onderwijskundige onderwerpen. Er zijn "maling-lists" opgezet, veel Web-pagina's bevatten informatie afkomstig uit alle delen van de wereld, waarvan sommige heel bijzondere dynamische meetkunde bevatten.

Andere onderwijs-experimenten waarbij het belangrijkste onderwijs-doel het ontwerpen van websites door leerlingen is, vinden nog steeds plaats. In een dergelijke omgeving nemen leerlingen actief deel aan het onderwijs-proces, waarbij ze samenwerken en konktakten onderhouden met leerlingen in andere landen, aldus hun groeiende kennis met elkaar delend.
Door deze, voor deze leerlingen, vaak nieuwe situatie, voelen sommige studenten in vergelijking met de gebruikelijke onderwijs-omgeving, veel prettiger, zeker in een context waar persoonlijk initiatief meer vereist is.
Ideeën om anderen te helpen die het niet zo goed doen op school, of die tijdelijke problemen ondervinden (bijvorbeeld als ze in een ziekenhuis zijn opgenomen) leiden er vaak toe, dat kinderen problemen en commentaar op het Web plaatsen, en ook uitwerkingen van huiswerk (zie bijvoorbeeld de pagina's van het Cabri-Project [ 6 ]) of zelfs eigen ontworpen spelletjes.

Hoe nu verder om de voordelen van de dynamische meetkunde en het WWW te combineren?
De eerste mogelijkheid is het probleem in geschreven vorm te formuleren (eventueel voorzien van scherm-afdrukken) en de oefeningen daarbij te laten uitvoeren met behulp van software zoals Cabri-géomètre. Een nadeel van deze methodiek is dat er tijd (van de leerlingen) verloren gaat bij het plaatsen van de benodigde meetkundige objecten op het scherm, voordat hij in staat is het werkelijke probleem te doorgronden. De spel-kant van het leerproces via het WWW gaat dan geheel verloren.

Een tweede mogelijkheid is directe overdracht van bestanden, afkomstig van de meekunde-software op het Web, te laten plaats vinden. Deze oplossing vereist wel enkele protocollen (zoals bijvoorbeeld MIME) voor die bestandsoverdracht. Daarbij dient het gebruik van de "browser" aan de leerling bekend te zijn, terwijl ook de Cabri-géomètre software op de client aanwezig moet zijn, en dit alles onder de voorwaarde, dat browser en de meetkunde-software tegelijk kunnen worden gebruikt. Als aan deze voorwaarden is voldaan, zal de student de mogelijkheden van de software volledig kunnen benutten. Echter, zijn eigen werk zal nog geen geïntegreerd deel uitmaken van de web-pagina, omdat telkens moet worden omgeschakeld van browser naar meetkunde-software, en omgekeerd (bivorbeeld om de instructies te lezen die op de web-pagina staan).

Aan beide hierboven aangegeven methoden kleeft dus het nadeel, dat er aan enkele voorwaarden moet worden voldaan voor een goed gebruik van de meetkunde-software op het WWW:

Tot een meer voldoening gevende oplossing is gevonden, kan natuurlijk een van beide methodes worden gebruikt, zoals bijvoorbeeld op de site AbraCAdaBRI [ 10 ], die bereikbaar is via het Cabri-Project.
Maar alle beheerders van deze sites zouden graag over de mogelijkheid beschikken animaties van meetkundige objecten direct op hun pagina's te plaatsen

Gebruikelijk ondersteuning van animaties terug
In deze paragraaf gaan we kort in op de ondersteuning van dynamische meetkunde op de website zelf.

QuickTime of AVI zijn formaten waarin animaties meestal via een serie van beelden afkomstig uit een bepaald software pakket kunnen worden opgenomen. Hoewel deze formaten op de verschillende platforms meer en meer gebruikt worden, zijn er toch enkele beperkingen. Voor het gebruik van dynamische meetkunde blijkt dat deze formaten eigenlijk ongeschikt zijn vanwege de grootte van de bestanden en de daarmee gepaard gaande traagheid van weergeven (vooral bij langzame verbindingen).
Deze problematiek kan voor een deel worden omzeild door animaties op te nemen als "animated Gifs". Deze methode wordt ondersteund door alle vandaag de dag gebruikte brwosers. ER zijn enkele programma's beschikbaar waarmee een serie "screen snapshots" acxhterelkaar kunnen worden "afgespeeld. Door het aantal kleuren in de plaatjes te beperken (4 of 5 kleuren is vaak al genoeg) kan de bestandsgrootte vaak kleiner gemaakt worden dan die van de overeenkomstige QuickTime of AVI bestanden. Op de officiële Cabri-site staan enkele voorbeelden van deze animaties.
Deze animaties hebben echter een belangrijk nadeel: de student kan alleen maar passief naar de beelden kijken; elke andere mogelijke betrokkenheid verdwijnt, en dat is een belangrijke voorwaarde, zoals blijkt uit recent onderzoek op het gebied van onderwijs.

Hoe creeren we een echte interactie tussen de leerling en een animatie-figuur op het Web?
Een eerste mogelijkheid wordt geboden door het gebruik van bekende programma's als Macromedia Shockwave, waarmee een serie geanimeerde beelden kan worden gemaakt gebaseerd op een interactief scenario. Het vrij gebruik van de Shockwave "plugin" via de bowser biedt onmiddellijke integratie via het Web. Deze wijze van integratie is toegepast op enkele pagina's van de site AbraCadaBRI [ 10 ], waarvan hieronder een scherm-afdruk.

[Shockwave animation]

Deze methode heeft echter enkele nadelen:

Een andere oplossing ligt (mogelijk) in een speciale plugin die de Cabri-omgeving opbouwt bij het lezen van een Cabri-figuur op de webpagina. Een dergelijke prlugin heeft echter ook zijn pro's en contra's. Aan de ene kant is het de beste manier om Cabri via het Web mogelijk te maken, maar aan de andere kant is het noodzakelijk deze plugin te herschrijven voor elk bestaand of toekomstig systeem. Dit laatste punt gevoegd bij het feit, dat ook plugins moeten worden geladen voorafgaande aan het gebruik ervan, leidt ertoe dat ook deze mogelijkheid moet worden verworpen.

Cabri-Java terug
De uiteindelijk te kiezen oplossing is te vinden in het gebruik van Java. Aan deze keuze liggen de volgende redenen ten grondslag:

Het project Cabri-Java is bij de huidige stand van zaken biedt de mogelijkheid een applet te genereren, waarmee een meetkundige figuur dynamisch kan worden bewogen, goed aansluitend bij de handelingen die in Cabri zelf voor dat zelfde doel moeten worden verricht. Daarbij worden echter nog wat problemen ondervonden die gelegen zijn in de Java ontwikkelingsomgeving zelf (JDK 1.0.2). Het is bijvoorbeeld niet mogelijk de muis-cursor te wijzigen in de standaard browsers; evenmin als het opreopen van menu's. Op grafisch niveau is ook het gestippeld of dik weergeven van lijnen niet gepland, tenzij dat zelf geprogrammeerd wordt, hetgeen echter niet efficient is in vergelijking met de eigen methoden die bestaan voor elke architectuur.
Al deze zaken worden mogelijk opgelost via JDK 1.2 en de nieuwe standaard Java 2D API.

Is Java eenmaal gekozen, dan rest alleen de manier vast te leggen waarop de verschillende paramaters die een niet te ingewikkelde meetkundige figuur bepalen, worden overgedragen aan de applet zelf. Een mogelijkheid daarvoor is het beschrijven van alle objecten en hun eigenschappen met behulp van PARAM "tags" van de applet. Van deze methode wordt gebruik gemaakt bij twee andere Java projecten voor dynamische meetkunde [ 11, 12 ]. Maar het wordt al snel moeilijk deze gegevens (met de hand) te creëren, terwijl ook de bijhehorende HTML bestanden snel groot worden.

Daarom is ervoor gekozen de bestanden die door Cabri zelf worden gegenereerd, op de server te plaatsen waardoor ze gelezen kunnen worden door de applet, daarbij slechts gebruikmakend van één PARAM tag die verwijst naar de bestandsnaam en de plaats op de server.
Het voordeel van deze oplossing is een eenvoudige manier om te publiceren. Echter, de Cabri-software moet wel voorhanden zijn. Maar dat is geen werkelijk beperking voor ontwikkelaars van websites die voor gebruik binnen het onderwijs zullen gaan dienen.

[Cabri-java figure]Hoe gaat het publiceren van een Cabri applet nu in zijn werk?

In de huidige, voorlopige, versie van CabriJava is het nu mogelijk figuren op het Web te plaatsen, waarbij de gebruiker de meetkundige figuren kan verplatsen door met de muis-cursor te "slepen" (drag), waarbij de meetkundige eigenschappen, die bij zijn toegekend tijdens het creëren van de figuur in Cabri, gehandhaafd blijven.
Een demonstratie-pagina, waarop deze mogelijkheden kunnen worden bekeken, is beschikbaar op de server van het Cabri-Java Project [ 13 ].

Hoewel nog niet alle mogelijkheden van de Cabri software geimplementeerd zijn (zaken als "Locus", "Conic", .. helaas nog niet) is er al een eerste onderwijskundig project gestart op de Mathematical Server van La Réunion [ 14 ].

Op dit moment wordt de sneilheid van CabriJava nadeling beïnvloed door de virtuele machines waarop de huidige browsers steunen. Maar een nieuwe generatie van van VM's (vitual machines) waarin JIT (Just-In-Time) compilatie-technieken zijn opgenomen, is in ontwikkeling; het verplaatsen van objecten is daardoor bijzonder goed mogelijk.

Toekomst terug
Naast het uitbouwen van de CabriJava applet met de meeste mogelijkheden die de Cabri software biedt, ontwikkelt het project zich naar twee kanten:

Referenties terug

  1. Papert, S.: "Mindstorms,Children, Computers, and Powerful Ideas" 1980 New-York
  2. Schneiderman, B.: "Direct Manipulation: a Step Beyond Programming Languages", IEEE Computer (16)8 57-69 1983
  3. Laborde, J.M.: "Des connaissances abstraites aux réalités artificielles, le concept de micromonde Cabri" dans Environnements Interactifs d'Apprentissage avec Ordinateurs, pp 29-41, Eyrolles Paris 1996
  4. Laborde, J.M. & Strasser, R.: "Cabri-Géomètre : A microworld of geometry for guided discovery learning", Zentrablatt für Didactik der Mathematik 5 p. 171-177, 1990
  5. Schumann, H.: "The design of microworlds in geometry based on a two-dimensoinal graphics system devised for second education", INT. J. MATH. EDUC. SCI. TECHNOL., 1993, VOL. 24, N°2, 231-250
  6. Official Cabri project site
    http://www.cabri.com
  7. Texas Instruments Cabri site
    http://www.ti.com/calc/docs/cabri.htm
  8. TeleCabri project site
    http://www.cabri.net/TeleCabri/
  9. Desigaux, M.: Collège Jules Flandrin
    http://www.cabri.net/TeleCabri/PassionRecherche/
  10. Martin, Y.: AbraCAdaBRI site
    http://www.cabri.net/abracadabri/
  11. Jackiw, N.: JavaSketchPad site
    http://mathforum.org/dynamic/java_gsp/
  12. Joyce, D.: Geometry applet site
    http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/Geometry/Geometry.html
  13. Kuntz, G.: Cabri-java project 1997
    http://www.cabri.net/cabrijava/
  14. Hakenholz, E.: First real experiment of Cabri-Java 1998
    http://www.ac-reunion.fr/pedagogie/covincep/icosaweb/GeomJava/activite/Quatre/Docs/Pytha/Pytha.htm
  15. Sun Microsystems: Java Foundations Classes
    http://java.sun.com/products/jfc/

Animaties terug
Van de illustraties op deze pagina staan de onderstaande animaties, waarbij gebruik gemaakt wordt van CabriJava, op deze website.


begin pagina

Bovenstaande is een Nederlandse bewerking van het artikel "Géométrie dynamique sur le Web" van Gilles Kuntz (Leibniz IMAG, Université de Grenoble, France), dat is ingezonden naar de INET'98 Conference (Genève, 22/7 - 24/7 1998)

Klik hier voor informatie op deze website over Cabri Geometry II.

[cabri_dgeom.htm] laatste wijziging op: 27-04-2002