Enkele proposities tbv. constructies

Prop I-13 | Prop I-38 | Prop I-42  ][  Elementen | Meetkunde


Deze pagina is opgenomen ten dienste van de pagina "Meetkundige constructies" (Bètasteunpunt voor Scholieren, Rijksuniversiteit Groningen).

Propositie I-13 terug
Indien een rechte, op een rechte opgericht, hoeken maakt, zal ze of twee rechte zijn of [hoeken] gelijk aan twee rechte maken.
(vertaling uit: Dr. E.J. DIJKSTERHUIS, De Elementen van Euclides)
.
propI13-1.gif (702 bytes) Opmerking
Op de moderne lezer maakt deze vertaling mogelijk een wat vreemde indruk. Mogelijk komt zelfs de vraag "Wat wordt hier nu bedoeld?" op.
PROKLOS verklaart de zinsnede "Indien ... maakt," met het feit, dat hierdoor uitgesloten wordt dat de opgerichte lijn door het eindpunt van het lijnstuk (voor de Grieken is een rechte lijn een lijnstuk) gaat.
De noodzaak om deze stelling te bewijzen is een gevolg van het ontbreken van het begrip "gestrekte hoek".
[einde Opmerking]

Bewijs (vertaling uit het Duits naar CLEMENS THÄR, Die Elemente, Darmstad, 1975):
Een rechte lijn AB, opgericht op de lijn CD, vormt de hoeken CBA en ABD.
Ik beweer dat de hoeken CBA, ABD of twee rechte hoeken zijn, of [samen] gelijk zijn aan twee rechte hoeken.
Is CBA = ABD, dan zijn ze gelijk aan twee rechte hoeken (dit is Definitie 10; dk)
Als dit niet zo is, trek dan BE door B loodrecht op CD; CBE, EBD zijn du twee rechte hoeken. Hier is CBE = CBA + ABE; daarom voegt men aan beide kanten EBD toe; dan is:
CBE + EBD = CBA + ABE + EBD.
Ook is:
DBA = DBE + EBA; daarom voegt men aan beide kanten ABC toe; dan is:
DBA + ABC = DBE + EBA + ABC
Zoals hierboven bewezen is, is CBE + EBD gelijk aan die drie hoeken.
Wat aan hetzelfde gelijk is, is ook aan elkaar gelijk (Axioma 1). Dus is ook
CBE + EBD = DBA + ABC. Maar CBE, EBD zijn twee rechte [hoeken].
Dus is ook DBA + ABC gelijk aan twee rechte hoeken.
Hetgeen bewezen moest worden. ¨

Propositie I-38 terug
Driehoeken op gelijke basis en tussen dezelfde parallelen zijn gelijk aan elkaar.
.
propI13-2.gif (1368 bytes) Bewijs (vertaling uit het Duits naar CLEMENS THÄR, Die Elemente, Darmstad, 1975):
De driehoeken ABC, DEF liggen op gelijke bases BC, EF tussen dezelfde parallellen BF en AD.
Ik beweer dat oppervlakte ABC = oppervlakte DEF.
Men verlengt AD naar beide kanten naar G, H, trekt door BG door B // CA en FH door F // DE.

Dan zijn GBCA en DEFH beide parallelogrammen; en GBCA = DEFH; want ze liggen gelijke basis BC, EF en tussen dezelfde parallelen (Propositie I-36). Verder is ABC van GBCA de helft; want deze wordt door de diagonaal AB gehalveerd (Propositie I-34). En FED is de helft van DEFH; want deze wordt door de diagonaal DF gehalveerd.
De helften van gelijk gehelen zijn aan elkaar gelijk. Dus ABC = DEF.
Hetgeen bewezen moest worden. ¨

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

Propositie I-42 terug
In een gegeven rechtlijnige hoek een parallelogram te construeren, gelijk aan een gegeven driehoek.
.
propI13-3.gif (1365 bytes) Constructie:
Zijn gegeven driehoek ABC en hoek D.
Dan bepaalt men het midden E van BC, maakt hoek CEF gelijk aan hoek D en trekt AG evenwijdig met BC en CG evenwijdig met EF.
Nu is de oppervlakte van driehoek ABC gelijk aan de oppervlakte van CEFH.  ¨

begin pagina

[propI13.htm] laatste wijziging op: 22-08-03