Transversalen: Ceva Menelaos

1. Transversalen

Zie figuur 1.
Voor willekeurige punten P₁ en P₂ op een lijn t door het hoekpunt van hoek S vinden we bij beschouwing van de afstand van zo'n punt tot de benen van de hoek
P₁Q₁ : P₁R₁ = P₂Q₂ : P₂R₂

figuur 1

De lijn t is dus de verzameling van de punten die een vaste verhouding v hebben tot de benen van de hoek, mits t binnen de hoek S ligt.

Een dergelijke lijn t heet hoektransversaal (in een driehoek ook wel ceviaan genoemd).

2. Concurrente hoektransversalen in een driehoek (cevianen)

Zie figuur 2.

figuur 2

Voor de (punten op de) lijn t₁ geldt de verhouding v₁; voor de lijn t₂ geldt de verhouding v₂ ; voor de lijn t₃ geldt de verhouding v₃.
Voor het snijpunt S van t₂ en t₃ geldt dus voor de afstanden, opvolgend p, q, r, tot de zijden van de driehoek
   p : q = v₂ : 1
   q : r = v₃ : 1
Zodat p : q : r = v₂v₃ : v₃ : 1
Gaat nu de ceviaan t₁ ook door het punt S, dan is,
   r : p = v₁ : 1
zodat
   v₂v₃ : 1 = 1 : v₁

3. Stelling van Ceva

We kunnen een ceviaan ook kenmerken door de verhouding u₁ van de oppervlakte-delen waarin de driehoek door de ceviaan verdeeld wordt.

figuur 3

Zij (zie figuur 3)
   opp(ABA’) : opp(AA’C) = 1 : u₁
Daar deze driehoeken dezelfde hoogte (uit A) hebben, geldt
   1 : u₁= A’B : A’C
De verhouding u₁ wordt dus ook bepaald door de verhouding van de lijnstukken A'B en A'C ......(1)
Maar nu is ook (kijkend naar A’):
   1 : u₁ = pc : rb = p/r ^. c/b = (1/v₁) ^. c/b : 1
of te wel u₁ = c/b ^. v₁
Voor de andere verhoudingen hebben we u₂ = a/c ^. v₂ en u₃ = b/a ^. v₃.

Zodat, nog steeds ervan uitgaande dat de drie cevianen door ��n punt gaan, immers dan is v₁v₂v₃ = 1,
u₁u₂u₃ = 1 �
In deze vorm is de eigenschap bekend als de "beperkte" stelling van Ceva (Giovanni Ceva, 1647-1734, Itali�; geformuleerd in 1678).

figuur 4

We kunnen dus bij concurrente cevianen schrijven (zie figuur 4), volgens (1) hierboven :

PA/PB^.QB/QC^.RC/RA = 1

Het bovenstaande geldt alleen als de cevianen de zijden van de driehoek inwendig snijden.

We kunnen echter generaliseren door gebruik te maken van een afspraak van M�bius (August Ferdinand M�bius, 1790-1868, Duitsland; geformuleerd in 1827).

Definitie
Voor P op het lijnstuk AB geldt (ABP) = - PA/PB (zie figuur 5)
Voor P op een verlengde van het lijnstuk AB geldt (ABP) = PA/PB
Het getal (ABP) heet deelverhouding.

De "algemene" stelling van Ceva luidt dan, met gebruik making van deze definitie:

Stelling van Ceva
Voor drie door ��n punt gaande hoektransversalen van driehoek ABC die de (verlengden van de) zijden in P,Q,R snijden geldt
(ABP)(BCQ)(CAR) = -1 (noodzakelijk en voldoende)

� Klik hier voor een iets ander bewijs van het eerste deel van de Stelling van Ceva.

4.1. Bissectrices

Voor de bissectrices van een driehoek geldt (zie paragraaf 2):
v₁ = 1, v₂ = 1, v₃ = 1
Nu is: v₁v₂v₃ = 1, zodat volgens de "beperkte" stelling van Ceva de bissectrices concurrent zijn. �
Zie ook Opmerking 2.

We kunnen een en ander nog eens nader toelichten met de bissectricestelling:

Stelling
Een bissectrice van een driehoek deelt de overstaande zijde in stukken die zich verhouden als de zijden die de hoek insluiten.

figuur 6

Maak BS (met S op de bissectrice van A) gelijk aan AB.
Nu is: APC ~ SPB, waaruit volgt:

CP : BP = CA : BS = CA : BA = b : c

Voor de deelverhoudingen op de zijden vinden we

(ABR)(BCP)(CAQ) = (-b/a).(-c/b).(-a/c) = -1 �

Opmerkingen
[1] Zie de pagina "Stelling van Stewart" voor de lengtes van de bissectrices.
[2] Zie de pagina "Incirkel" voor een ander bewijs voor de concurrentie van de bissectrices.
[einde Opmerkingen]

4.2. Zwaartelijnen

Elke deelverhoudingen op de zijden zijn gelijk aan -1, met als product -1
Dus de zwaartelijnen zijn concurrent. �

Opmerkingen
[1] Zie paragraaf 7.1 voor de deelverhouding op de zwaartelijnen zelf.
[2] Zie ook de pagina "Concurrentie van zwaartelijnen" voor enkele andere bewijzen"
[3] Zie de pagina "Stelling van Stewart" voor de lengte van de zwaartelijnen.
[einde Opmerkingen]

figuur 7a

In deze driehoek geldt
AQ = c cos a, AR = b cos a, BP = c cos b
CQ = a cos g, BR = a cos b, CP = b cos g
zodat
(BCP)(CAQ)((ABR) =
= - (ccos b)/(bcos g) . (acos g)/(ccos a) . (bcos a)/(acos b) = -1 �

figuur 7b

Driehoek ARC ~ driehoek AQB (hh) zodat AR : AQ = AC : AB = b : c
Met deze verhouding en het feit dat de driehoek ARQ en ACB de hoek A gemeenschappelijk hebben vinden we
driehoek ARQ ~ driehoek ACB (zhz).
We vinden nu
hoek B = hoek AQR en hoek C = hoek ARQ

De lijnen BC en RQ heten antiparallel.

Op dezelfde manier als hierboven vinden we nu
BP : BR = c : a en CP : CQ = b : a
Zodat

4.3.3. Volgens Gudermann (Christoph Gudermann, 1798 - 1852, Duitsland; geformuleerd in 1835):

figuur 7c

Zijn AA' en BB' hoogtelijnen van driehoek ABC die elkaar snijden in het punt H (zie figuur 7c).
Spiegeling van de lijn A'B' in AA' en ook in BB' geeft driehoek A'B'C".
Van die driehoek is H het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
C is dus het snijpunt van twee buitenbissectricen van die driehoek (namelijk B'C en A'C).
A en B zijn de snijpunten van een binnen- en een buitenbissectrice.
C"H gaat als binnenbissectrice van A'B'C"door het punt C.
AB is DUS (*) een buitenbissectrice van A'B'C".
Gevolg:
CH en AB gaan door C" en staan dus als binnen- resp. buitenbissectrice loodrecht op elkaar.

4.4. Stelling van Pythagoras

Bij het bewijs van de stelling van Pythagoras (in boek I, propositie 47) van de Elementen van Euclides is gebruik gemaakt van de lijnen AE, BF en CD.
Deze lijnen zijn concurrent in het punt S (zie figuur 8).

figuur 8

Dit blijkt uit het volgende.

Bij AE vinden we
A₁CA ~ A₁BE, zodat CA₁ : BA₁ = CA : EB = b : a
Bij BF geldt
AB₁F ~ CB₁B, zodat AB₁ : CB₁ = AF = CB = b : a
En bij CD is
AC² = AD . AB en BC² = BD . BA, zodat AD : BD = b²/a².
Ook nu geldt dus voor de verhoudingen
u₁u₂u₃ = 1.
De lijnen zijn dus concurrent (beperkte stelling van Ceva). �

Opmerkingen
[1]
Heron van Alexandri� (10-75, Egypte) heeft (naar het schijnt) als eerste een bewijs van deze eigenschap gegeven.
Klik hier voor Heron's bewijs.

figuur 9

We gaan hierbij uit van de hoektransversalen naar de raakpunten van de ingeschreven cirkel van de driehoek.

Nu is
(ABC₁)(BCA₁)(CAB₁) = - p₁/p₂ . p₂/p₃ . p₃/p₁ = -1
De hoektransversalen gaan dus door �en punt, G.
Hoewel ook Ceva deze eigenschap kende, heet het punt G het punt van Gergonne (Joseph Gergonne, 1771-1859, Frankrijk).

Opmerkingen
[1]
Deze eigenschap is op te vatten als een bijzonder geval van de Stelling van Brianchon:
De verbindingslijnen van overstaande hoekpunten van een raaklijnenzeshoek (aan een kegelsnede; in dit geval een cirkel) zijn concurrent.
De punten A₁, B₁ en C₁ zijn in dit geval "ontaarde" hoekpunten van zo'n zeshoek.
[2]
Klik hier voor een iets uitvoeriger behandeling van het punt van Gergonne.
[3]
Zie ook de pagina "Barycentrische co�rdinaten"
[einde Opmerkingen]

figuur 10

Hierbij nemen we de hoektransversalen naar de raakpunten van de aangeschreven cirkels aan de zijden van de driehoek.
Zoals gebruikelijk schrijven we: 2s = a + b + c.
Nu is
AC₁ = s - b, BC₁ = s - a, BA₁ = s - b
CA₁ = s - b, CB₁ = s - a, AB₁ = s - c
zodat
(ABC₁)(BCA₁)CAB₁) =
= - (s - b)/(s - a) . (s - c)/(s - b) . (s - a)/(s - c) = -1.
Het gemeenschappelijk punt van de hoektransversalen is nu N, het punt van Nagel (Christian Heinrich von Nagel, 1803-1882, Duitsland).

Verwijzingen
Klik hier voor Cabri-werkblad "Over Spieker en Nagel" waarin enkele andere eigenschappen van het punt van Nagel worden behandeld.
Klik hier voor de pagina "Fuhrmann-cirkel" waarin het verband wordt behandeld tussen het punt van Nagel, het hoogtepunt van een driehoek en de Fuhrmann-cirkel.
Klik hier voor de pagina "Barycentrische co�rdinaten".

Opmerking
De eigenschappen van de raaklijnstukken kunnen we afleiden uit de volgende figuur (zie figuur 11).

figuur 11

AE + EF = c + x + b + y = c + b + a = 2s

AE = EF, zodat AE = s.

Dus: BE = s - c en CF = s - b

figuur 12

Kiezen we een variabel punt X(x, 0) op de lijn door de punten A(0, 0) en B(1, 0) dan kunnen we de grafiek van de deelverhouding (ABX) beschouwen.

Nu is
y = (ABX) = x / (x - 1)

Hieruit volgt direct dat de deelverhouding niet gedefinieerd is voor X = B (x = 1).

De grafiek heeft een horizontale asymptoot met vergelijking y = 1.

Definitie
Een transversaal van een driehoek is een lijn die elke zijde van een driehoek (of het verlengde ervan) snijdt in een niet-hoekpunt.

figuur 13

Met het lijnstuk CC’ (met C’ op l en CC’//AB) vinden we
BPR ~ CPC’, zodat BR : CC’ = PB : PC
en
RAQ ~ C’CQ, zodat AR : CC’ = AQ : CQ
Nu is
(ABR)(BCP)(CAQ) =
= RA/RB . (BCP)(CAQ) = AQ/BP . PC/CQ . (- PB/PC) . (-QC/QA) = 1 �

Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Menelaos (Menelaos van Alexandri�, 70 - 130, Egypte)

Bewijs: (zie figuur 14).LET OP: namen van de snijpunten op de transversaal verschillen in figuur 13 en 14.

figuur 14

Stel PR snijdt CB in een punt Q’.
Volgens de stelling van Menelaos is dan

(ABP)(BCQ’)(CAR) = 1

Dus, samen met het gegeven, volgt dan (BCQ) = (BCQ’). En daaruit volgt dan Q’ = Q. �

Bewijs:
Zij (ABP) = k. Dan is PA : PB = k : 1
Met PA + AB = PB hebben we dan kPB - PB = - AB = BA; zodat
PB = BA / (k - 1)
Hierdoor is het punt P dus uniek bepaald. �

Opmerking
Van deze eigenschap is stilzwijgend gebruik gemaakt in de toepassingen op de bissectrices, hoogtelijnen, ... hierboven.
[einde Opmerking]

figuur 16

De centra van de homothetie�n (vermenigvuligingen tov. een punt) zijn opvolgend (eveneens aangegeven met) G₁₂, G₂₃ en G₃₁.

(P₁P₂G₁₂) = a₁/a₂
(P₂P₃G₂₃) = a₂/a₃
(P₃P₁G₃₁) = a₃/a₁

Het product hiervan is nu gelijk aan 1.
De lijn door G₁₂, G₃₁, G₂₃ is dus een transversaal van driehoek P₁P₂P₃. �

7.3 Stelling van d'Alembert

Deze eigenschap genoemd in paragraaf 7.2 maar dan geformuleerd voor cirkels, wordt wel genoemd naar Jean d'Alembert, 1717-1783, Frankrijk.

Stelling van d'Alembert
Van drie cirkels liggen de uitwendige gelijkvormigheidspunten op een rechte lijn.
Twee inwendige (negatieve) gelijkvormigheidspunten en het daarbij niet behorende derde uitwendige (positieve) gelijkvormigheidspunt zijn eveneens collineair.

Opmerking
Deze stelling wordt in de literatuur ook wel aangegeven als de Cirkelstelling van Monge (naar Gaspard Monge, 1746-1818, Frankrijk).
De eigenschap werd namelijk door d'Alembert aan Monge voorgelegd en ook, als eerste, door Monge bewezen, via een 3-dimensionale voorstelling van het probleem: drie bollen waarvan de middelpunten in hetzelfde vlak liggen, die twee aan twee een kegel bepalen.
[einde Opmerking]

figuur 17

De drie cirkels K₁, K₂, K₃ zijn bepaald door hun middelpunten en stralen. Lijnen door overeenkomstige stralen bepalen de in- en uitwendige gelijkvormigheidspunten.
Volgens de eigenschap in paragraaf 7.2 zijn de uitwendige gelijkvormigheidspunten dus collineair.

Het product van de factoren van de verschillende homothetie�n moet positief zijn. Met andere woorden, het gestelde geldt eveneens voor twee inwendige en het overblijvende uitwendige gelijkvormigheidspunt. �

cirkel 1	cirkel 2	cirkel 3	as
+	+	+	P₁₂P₁₃P₂₃
+	-	-	P₂₃N₁₃N₁₂
-	+	-	P₁₃N₂₃N₁₂
-	+	-	P₁₂N₂₃N₁₃

Er zijn dus (maximaal) 4 collineatie-assen, ook wel gelijkvormigheidsassen genoemd.
[einde Gevolg]

Opmerking
De stelling van d'Alembert is onder andere van belang bij de oplossing van het algemene geval van het Raakprobleem van Apollonius (constructie van alle cirkels die raken een drie gegeven cirkels).
[einde Opmerking]

Definities
Twee driehoeken ABC en A'B'C' heten (punt)perspectief vanuit een punt P (Eng. copolair) als de lijnen AA', BB', CC' door het punt P gaan.
Twee driehoeken ABC en A'B'C' heten lijnperspectief (Eng. coaxial) als de snijpunten van de lijnenparen (AB, A'B'), (AC, A'C") en (CA, C'A') collineair zijn.

figuur 18a

De driehoeken ABC en A'B'C' zijn puntperspectief in het punt O
P,Q,P zijn de snijpunten van de overeenkomstige zijden.
Nu moeten P,Q,R collineair zijn.
We beschouwen de driehoeken BCO, CAO en OAB met opvolgend de transversalen QC'B', RC'A' en PA'B'.
Volgens de stelling van Menelaos hebben we dan
   (BCQ).(COC').(OBB') = 1
   (CAR).(AOA').(OCC') = 1
   (ABP).(BOB').(OAA') = 1
Vermenigvuldigen we de linker en rechter leden van deze uitdrukkingen, dan vinden we
   (BCQ)(CAR)(ABP) = 1
De punten P,Q,R zijn dus collineair.

Omgekeerd.
Stel P, Q, R zijn collineair. Zij O het snijpunt van AA' en CC'. We moeten nu laten zien, dat BB' ook door O gaat.
De driehoeken APA' en CQC' zijn puntperspectief met R als perspectiefpunt, immers de lijnen AC, PQ, A'C' gaan door R.
Volgens (het hierbovenstaande eerste deel van) de stelling van Desargues zijn dan de snijpunten van AP en CQ (=B), AA' en CC' (=O), PA' en QC' (=B') collineair.
O ligt dus op BB'. �

Opmerkingen
[1]
De stelling van Desargues (Girard Desargues, 1591-1661, Frankrijk; gepubliceerd in 1636), speelt een belangrijke rol (oa. als axioma) in de projectieve meetkunde en bij het onderzoek naar de gronslagen van de meetkunde.
Klik hier voor een ("projectief") bewijs van de stelling gebaseerd op een pooltransformtie.

[2]
Klik hier voor een behandeling van de Gegeneraliseerde stelling van Desargues.

figuur 18b

[3]
Een fraaie illustratie van de Stelling van Desargues vinden we in de stereometrie.
Een piramide T.A'B'C' wordt gesneden door een vlak ABC dat niet evenwijdig is met het grondvlak.
De beide vlakken ABC en A'B'C' snijden elkaar volgens een rechte lijn, waarop uiteraard de snijpunten P, Q, en R liggen.

7.5. De Stelling van Pascal voor cirkels

De stelling van Pascal (voor cirkels) (Blaise Pascal, 1623-1662, Frankrijk) is wellicht (naast de Cirkel van Feuerbach) de stelling waaraan de meest fraaie resultaten kunnen worden ontleend.
Algemeen geformuleerd luidt de stelling

Stelling van Pascal
Van een zeshoek (niet noodzakelijk convex) waarvan de hoekpunten op een kegelsnede liggen, zijn de snijpunten van de drie paren overstaande zijden verschillend en collineair (en omgekeerd)

De stelling kan algemeen bewezen worden door gebruik te maken van de theorie der projectieve meetkunde.
Maar als de hoekpunten van zeshoek liggen op een cirkel, dan kunnen we een eenvoudig bewijs geven op basis van de Stelling van Menelaos.

Stelling van Pascal voor cirkels
Van een zeshoek (niet noodzakelijk convex) waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, zijn de snijpunten van de drie paren overstaande zijden verschillend en collineair.

Klik hier voor een behandeling van deze stelling (inclusief een animatie) en enkele gevolgen ervan.