Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Over Spieker en Nagel

  1. Zomaar een constructie?
         Opdracht 1
  2. Omtrekdeellijnen
         Opdracht 2
  3. Drie omtrekdeellijnen
         Opdracht 3
         Opdracht 4
  4. S is een bijzonder punt, het middelpunt van de Spieker-cirkel
         Opdracht 5
         Opdracht 6
         Opdracht 7
  5. Eigenschappen van het punt van Nagel
         Opdracht 8
         5.1. De eerste eigenschap
                     Opdracht 9
                     Opdracht 10
         5.2. De tweede eigenschap
                     Opdracht 11
                     Opdracht 12
         5.3. Te bewijzen: PB = s - c
         5.4. Stap voor stap naar het bewijs
                     Opdracht 13
  6. Conclusie
  7. Naschrift
  8. Download

1. Zomaar een constructie?

figuur 1 spina1.gif (1038 bytes)

Opdracht 1

Zomaar een vraag:
Is het punt D een bijzonder punt van de driehoek?

Vermoedelijk heb je op deze vraag geantwoord met "nee" of met "ik weet het (nog) niet".
Maar een bijzonder punt is het zeker wel.
Voordat we daarop ingaan maken we eerst een (niet-officiële) notatieafspraak.

figuur 2 spina2.gif (334 bytes) Afspraak
Met [PQR] bedoelen we de lengte van het gebroken lijnstuk van P via Q naar R; dus
[PQR] = |PQ| + |QR|.

We laten de beide absoluut strepen bij de lengtes van lijnstukken in hetgeen volgt weg tenzij er misverstand kan ontstaan over wat bedoeld is.

2. Omtrekdeellijnen
Nu dan verder met de bijzondere positie van het punt D bij driehoek ABC.
Voor het punt D (zie figuur 1) blijkt nu te gelden:    CD = [DAB]

Nu geldt dus ook (het volgt eenvoudig uit bovenstaande bewering over het punt D):
   [A'CD] = [A'BAD]

De punten A' en D (daar ging het om) zijn dus zo op de omtrek gelegen, dat ze de omtrek halveren.
We noemen A'D daarom een omtrekdeellijn van driehoek ABC.
Natuurlijk is het zaak de eigenschap van het punt D te bewijzen. Zie daarvoor Opdracht 2.

Opdracht 2

figuur 3 spina3.gif (1717 bytes)

3. Drie omtrekdeellijnen
Opdracht 3

figuur 4 spina4.gif (1450 bytes)

Inderdaad, er geldt

Stelling
De omtrekdeellijnen van een driehoek gaan door één punt.

We zullen deze stelling bewijzen in:

Opdracht 4

figuur 5 spina5.gif (1314 bytes)

Kijk eens naar de hierboven staande figuur (figuur 5).
Hierin is I het snijpunt van de bissectricen van de driehoek (het middelpunt van de incirkel).
Z is het zwaartepunt van driehoek ABC.
Het punt S is ook al getekend, maar we gaan voorlopig alleen uit van I en Z.
We kiezen Z als centrum van een vermenigvuldiging d met factor -½.

Het gemeenschappelijk punt I van de bissectricen van driehoek ABC ligt (natuurlijk) op AA".

4. S is een bijzonder punt, het middelpunt van de Spieker-cirkel
We kiezen opnieuw (zoals hierboven in Opdracht 4) de vermenigvuldiging d met centrum Z en factor -½.
We construeren nu het beeld van driehoek ABC.

Opdracht 5

figuur 6 spina6.gif (1424 bytes) figuur 7 spina7.gif (1583 bytes)

Zie figuur 6.

Driehoek A'B'C' (zie nu figuur 7) noemen we de centrumdriehoek (ook wel zwaartepuntsdriehoek) van driehoek ABC.

We hebben nu (dus):

Stelling
Het punt S, het snijpunt van de omtrekdeellijnen van driehoek ABC, is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de centrumdiehoek van driehoek ABC
of, anders geformuleerd:
Een deellijn van de centrumdriehoek van driehoek ABC is omtrekdeelliijn van driehoek ABC.
.
figuur 8 spina8.gif (1825 bytes) figuur 9 spina9.gif (983 bytes)

De ingeschreven cirkel (zie figuur 8) van de centrumdriehoek heet wel de Spieker-cirkel van driehoek ABC (genoemd naar de Duitse 19e eeuwse wiskundige Theodor Spieker).

Ook geldt nu (zie figuur 9):

Stelling
De punten I (middelpunt van de incirkel), Z (zwaartepunt) en S (middelpunt van de Spieker-cirkel) van een driehoek liggen op één lijn, waarbij IZ : ZS = 2 : 1.

De genoemde lijn heet ook wel de lijn van Nagel van driehoek ABC.
Deze reden daarvoor is gelegen in het feit, dat er nog een vierde bijzonder punt op deze lijn ligt, namelijk het punt van Nagel (genoemd naar de Duitse wiskundige Christian Heinrich von Nagel, 1803-1882).
In Opdracht 7 zullen we het "punt van Nagel" van een driehoek construeren.

Eerst nog even een kleine opdracht tussendoor.

Opdracht 6

figuur 10 spina10.gif (1138 bytes)

Het feit dat beide driehoek hetzelfde zwaartepunt hebben, kunnen we verderop in dit werkblad gebruiken.

Opdracht 7 - constructie van het punt van Nagel

figuur 11 spina11.gif (993 bytes)

We gaan uit van de punten I en S van driehoek ABC (zie figuur 11).

Gevolg
S ligt midden tussen I en N.

Hiermee is het punt van Nagel geconstrueerd.

5. Eigenschappen van het punt van Nagel
Het punt van Nagel heeft ook enkele andere eigenschappen.
De eerste (hier te vermelden) eigenschap is snel af te leiden door gebruik te maken van de vermenigvuldiging dN met centrum N en factor ½.

Opdracht 8
Driehoek A1B1C1 is het beeld van driehoek ABC onder de afbeelding dN.

figuur 12 spina12.gif (1388 bytes)

5. 1. De eerste eigenschap
We keren nu de zaak min of meer om en bewijzen

Stelling
Het middelpunt (I) van de incirkel van een driehoek (ABC) is het punt van Nagel van de centrumdriehoek van die driehoek (ABC).

Opdracht 9

figuur 13 spina13.gif (263 bytes)

Bekijk de ligging van de punten I, Z, S en N van driehoek ABC (zie figuur 13).

Nb.
Het maakt dus niet uit (zie Opdracht 6) of we Z als zwaartepunt van driehoek ABC of van de centrumdriehoek nemen; ze vallen immers samen.

Opdracht 10
Laat de inhoud van Opdracht 9 nu goed tot je doordringen.
Kijk dan naar de volgende algemene procedure:

  1. Ga uit van het middelpunt (noem het P, maar vervang deze naam door een passende in een specifieke situatie) van de incirkel van een driehoek.
  2. Voer met het zwaartepunt van de driehoek als centrum (noem het hier maar Q) een vermenigvuldiging uit met factor - ½.
  3. Noem het beeld van Q in dit geval R.
  4. Welk punt van de driehoek is het punt R?

5.2. De tweede eigenschap
Deze eigenschap zullen we formuleren na de volgende opdracht.

Opdracht 11

figuur 14 spina14.gif (1730 bytes)

Zo maar een vraag:
Is het punt P een bijzonder punt van driehoek ABC?

Er geldt (inderdaad):

Stelling
Een lijn door het hoekpunt van een driehoek en het punt van Nagel van die driehoek is een omtrekdeellijn van die driehoek.

Ook deze stelling zullen we via enkele opdrachten bewijzen. Wel moeten we daarbij enig rekenwerk in (aan) driehoek ABC verrichten.

Opdracht 12

figuur 15 spina15.gif (1557 bytes)

Ga uit van een driehoek waarin de punten I, Z en N zijn geconstrueerd. Zie figuur 15.
Gebruik weer de vermenigvuldiging dZ met centrum Z en factor -½.

Afspraak
De omtrek a+b+c van een driehoek stellen we gelijk aan 2s.
Dus 2s = a + b+ c.

Ons doel vanaf nu: het berekenen van de lengte van het lijnstuk BP (zie figuur 15).
Als P inderdaad een omtrekdeellijn is, dan moet gelden:
   [PBA] = s = PB + BA = PB + c.

5.3. Te bewijzen: PB = s - c
We kunnen dit bewijzen door wat rekenwerk in driehoek ABC te verrichten.
We bewijzen allereerst in een hulpstelling iets over de raaklijnstukken aan de ingeschreven cirkel van een driehoek.

figuur 16 spina16.gif (2251 bytes)
.
Hulpstelling
Zie figuur 16 voor het gebruik van de verschillende lengtes.
In driehoek ABC geldt:
[1]   O(ABC) = rs
[2]   x = s - a, y = s - b, z = s - c

Bewijs:
[1]
O(IBC) = ½ ra, O(ICA) = ½ rb, O(IAB) = ½ rc.
Optelling geeft
O(ABC) = ½ ra + ½ rb + ½ rc = ½ r (a + b + c) = ½ r . 2s = rs.
[2]
Voor de omtrek (*) geldt: x + y + z = s
en verder ook y + z = a
Dus, na substitutie, hebben we x = s - b. Op dezelfde manier vinden we de uitdrukkingen voor y en z.

(*) Nb.
Bewijs eventueel zelf (nog eens) dat de raaklijnstukken (zoals het lijnstuk x uit A) vanuit aan punt aan een cirkel aan elkaar gelijk zijn.

5.4. Stap voor stap naar het bewijs
De rest van het bewijs van de stelling uit paragraaf 5.2 delen we op in enkele stappen (zie bij elke stap figuur 15).

Opdracht 13
[Stap 1]
Bewijs met behulp van de cosinusregel, toegepast in driehoek ABC, dat spinaf1.gif (335 bytes).
Aanwijzing. Kijk naar driehoek ABD voor cos(B).

[Stap 2]
Bewijs, met gebruikmaking van de hulpstelling, dat EA' = ½ a - (s - b).

[Stap 3]
AD is hoogtelijn van driehoek ABC. We kunnen dus AD eveneens gebruiken om O(ABC) uit te rekenen.
Bewijs, met gebruikmaking van de hulpstelling, dat spinaf2.gif (189 bytes).

[Stap 4]
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken ADP en IEA' (zie Opdracht 12) volgt:
   DP : EA' = AD : IE = AD : r.
Leid hieruit af, dat spinaf3.gif (333 bytes).

[Stap 5]
Bewijs nu, uitgaande van BP = BD + DP, dat BP = s - c.

6. Conclusie
Iets anders geformuleerd dan hierboven (in paragraaf 5.2) hebben we dus bewezen:

Stelling
Het Nagel-punt van een driehoek is het snijpunt van de omtrekdeellijnen die door de hoekpunten gaan.

Er is niets tegen om het punt S, het snijpunt van de omtrekdeellijnen die door de middens van de zijden gaan, het Spieker-punt te noemen.
We hebben dus al eerder bewezen (in paragraaf 3):

Stelling
Het Spieker-punt van een driehoek is het snijpunt van de omtrekdeellijnen die door de middens van de zijden gaan.

In figuur 17 zien we alle laatst behandelde punten en lijnen nog eens bij elkaar.

figuur 17 spina17.gif (2322 bytes)

7. Naschrift
Ook over de punten P, Q en R (als eindpunten van de omtrekdeellijnen door de hoekpunten) is nog wel wat op te merken.
We vermelden hier (zonder bewijs weliswaar):

Stelling (zie fguur 18)
De punten P, Q en R zijn de raakpunten van de uitcirkels (uitwendig aan de zijden rakende cirkels) aan de zijden van de driehoek
of anders geformuleerd
De lijnen door de raakpunten van de uitcirkels op de zijden van een driehoek en gaande door de tegenoverliggende hoekpunten zijn concurrent in het punt van Nagel van de driehoek.
.
figuur 18 spina18.gif (2463 bytes) Opmerkingen
[1]

Deze eigenschap wordt bewezen op de pagina "Transversalen" als toepassing van de Stelling van Ceva.

[2]
Klik hier voor een behandeling van het verband tussen het punt van Nagel en de Fuhrmann-cirkel.
Klik hier voor een behandeling van het punt van Spieker in samenhang met de aancirkels van een driehoek.

Klik hier voor de samenhang tussen de incirkel van een driehoek en de Negenpuntscirkel.


8. Download
De Cabri-figuren die op deze pagina zijn gebruikt, kunnen in één bestand via deze webpagina worden gedownload.
In dat bestand zijn ook enkele Cabri-macro's en enkele andere figuren opgenomen.
Klik hier om het downloaden te starten [ZIP-bestand, 23Kb].

Deze pagina is (in iets gewijzigde vorm) ook beschikbaar in PDF-formaat.
Download spina.pdf [ca. 92 Kb]


begin pagina

[spina.htm] laatste wijziging op: 20-03-2005