De cosinusregel

Overzicht  ][  Sinusregel  |  DK & Meetkunde


Zie ook de pagina Cosinusregel (2)

Overzicht

  1. De cosinusregel
  2. Bewijs
  3. Pythagoras
  4. Animatie

1. De cosinusregel terug

Stelling
Voor een driehoek ABC met zijden a, b, c en de hoek g tegenover de zijde c geldt
   c2 = a2 + b2 - 2ab . cos g

Opmerkingen
[1]
De cosinusregel is een generalisatie van de stelling van Pythagoras voor niet-rechthoekige driehoeken. De stelling van Pythagoras kan uit de cosinusregel worden afgeleid als een bijzonder geval.
Toch wordt bij de meeste bewijzen van de cosinusregel gebruik gemaakt van de stelling van Pyhtagoras.
Hieronder zullen we echter de stelling van Pythagoras als een afzonderlijk geval van de cosinusregel beschouwen, nl. als g = 0.

[2]
¤ Klik hier voor een bewijs van de cosinusregel gebaseerd op de Stelling van Ptolemaeus.

[einde Opmerking]

2. Het bewijs terug
Bij het bewijs maken we gebruik van de macht van een punt ten opzichte van een cirkel. Klik hier voor een definitie van dit begrip
We bekijken de lengte van het lijnstuk c, waarij we a en b als bekend veronderstellen, als functie van de hoek g.

We onderscheiden nu drie gevallen
(1) g is scherp, en de andere hoeken eveneens
(2) g is stomp
(3) g is scherp en één van de beide andere hoeken is stomp

(1) g is scherp, en de beide andere hoeken eveneens (driehoek ABC is dus een scherphoekige driehoek)
We construeren nu de drie hoogtelijnen van de driehoek en de cirkels met middellijnen BC en AC.
Het voetpunt van de hoogtelijn uit C (op AB) is het punt P. P verdeelt de zijde AB in stukken AP = x en PB = y.
Q is het voetpunt van de hoogtelijn uit A, R is het voetpunt van de hoogtelijn uit B (zie figuur 1)

figuur 1 figuur 2

Omdat hoek APC recht is, ligt P op de cirkel AC; om dezelfde reden ligt P ook op de cirkel BC. Evenzo ligt Q op cirkel AC en R op cirkel BC
Nu is CR = a cos g, en CQ = b cos g.

Uit de eigenschap van de macht van A tov. de cirkel BC vinden we nu AP . AB = AR . AC, of
   xc = (b - a cos g. b
Uit de macht van B tov. de cirkel AC concluderen we BP . BA = BQ . BC, of
   yc = (a - b cos g. a
Tellen we nu deze identiteiten bij elkaar dan vinden we
   (x+y) . c = a2 + b2 - 2ab cos g, of
   c2 = a2 + b2 -2ab cos g

(2) g is stomp
Ook nu tekenen we de hoogtelijnen uit de driehoekpunten van driehoek ABC. De voetpunten van de hoogtelijnen uit A en B vallen in dit geval "buiten" de driehoek.
Omdat g stomp is, geldt nu CR = -a cos g en CQ = -b cos g.
Uit de machten van de punten A en B tov. de cirkels vinden we nu
   xc = b (b - a cos g)
   yc = a (a - b cos g)
Ook nu geeft optelling van beide identiteiten: c2 = a2 + b2 - 2ab cos g.

(3) g is scherp, en bijvoorbeeld hoek A is stomp (zie figuur 3)

figuur 3 Nu is nog steeds CR = a cos g en CQ = b cos g.
Uit de machten van A en B tov. de cirkels vinden we nu
   xc = b (a cos g - b)
   yc = a (a - b cos g)
Trekken we nu de eerste identiteit van de tweede af dan vinden we weer
   c2 = a2 + b2 - 2ab cos g ¨

3. Stelling van Pythagoras terug
Uit de cosinusregel vinden we voor g = 90º nu heel eenvoudig c2 = a2 + b2, immers cos 90º = 0.

Overigens kunnen we het bewijs van de stelling van Pythagoras direct uit afleiden uit de eigenschappen van van de macht van punt A en punt B ten opzichte van de cirkels (zie figuur 4)

figuur 4 AC raakt nu aan de cirkel BC en BC raakt aan de cirkel AC.
Uit de macht van A tov cirkel BC volgt nu
   xc = b2
en uit die van B tov. cirkel AC
   yc = a2
Optelling van beide identiteiten geeft nu
   c2 = a2 + b2 ¨

4. Animatie terug
Van de figuren die hierboven gebruik zijn, kunnen we via een animatie de overgang naar de verschillende gevallen onderzoeken.
Klik hier Animatie voor een animatie van de figuren die bij de afleiding van de cosinusregel met behulp van machten zijn gebruikt.


begin pagina
[cosregel.htm] laatste wijziging op: 05-01-2005