Meer over barycentrische coördinaten

Overzicht  ][  Coördinatenstelsels | Meetkunde | Anal.Meetkunde


Overzicht terug

  1. Bijzondere punten
         - Gergonne-punt
         - Nagel-punt
         - Symmediaan-punt (Lemoine-punt)     
  2. Vermenigvuldiging cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. Isotomisch geconjugeerde
  4. Isogonaal geconjugeerde cabrisignal.gif (160 bytes)
  5. Vierkantswortelpunt cabrisignal.gif (160 bytes)
  6. Mittenpunkt cabrisignal.gif (160 bytes)
  7. Referenties
  1. Download

1. Bijzondere punten terug

Definitie
Onder het spoor van een punt P verstaan we het snijpunt van een ceviaan door P met de overstaande zijde van de referentiedriehoek.

Nb.
Een ceviaan van een driehoek is een lijn door een hoekpunt van die driehoek.

In de hiernaast staande figuur kunnen de coördinaten van de punten A', B', C' ook worden weergeven als:
A' = 0.00 : 0.56 : 0.40 (vermenigvuldiging met k = 0.56)
B' = 1.00 : 0.00 : 0.40
C' = 1.00 : 0.56 : 0.00

Gevolg

Stelling 1
Is P = x : y : z, dan geldt voor de sporen A', B', C' van P:
      ……(1)
Omgekeerd:
Hebben de punten A', B', C' barycentrische coördinaten zoals in (1), dan zijn de lijnen AA', BB', CC' concurrent in een punt met coördinaten
x : y : z.

Het Gergonne-punt van een driehoek terug
De punten Ga, Gb, Gc zijn de raakpunten van de incirkel van driehoek ABC met de zijden.
Zie ook de pagina "Gergonne-punt en Gergonne-driehoek"

Nu geldt op BC: BGa = s-b, CGa = s-c
Dus: Ga = 0 : s-c : s-b
En ook:
Gb = s-c : 0 : s-a
Gc = s-b : s-a : 0
Of ook (na vermenigvuldiging met de juiste factoren):
Ga = 0 : (s-a)(s-c) : (s-a)(s-b)
Gb = (s-b)(s-c) : 0 : (s-a)(s-b)
Gc = (s-b)(s-c) : (s-a)(s-c) : 0

Waarmee bewezen is dat de cevianen van de raakpunten van de incirkel (met de overstaande zijde) concurrent zijn.
Dit punt is het Gergonne-punt G (ook wel aangegeven met Ge) van de driehoek.
We hebben:
G = (s-b)(s-c) : (s-a)(s-c) : (s-a)(s-b)
of ook
G = 1/(s-a) : 1/(s-b) : 1/(s-c)

Het Nagel-punt van een driehoek terug
Het Nagel-punt van een driehoek is het gemeenschappelijk snijpunt van de cevianen van de raakpunten van de uitcirkels (aangeschreven cirkels) met de overstaande zijden.
Zie hiervoor ook de pagina "Uitcirkels".

Op de zijde BC is BN1 = s-c, en CN1 = s-b, zodat
N1 = 0 : s-b : s-c
Analoog vinden we
N2 = s-a : 0 : s-c
N3 = s-a : s-b : 0
Volgens Stelling 1 zijn de lijnen AN1, BN2, CN3 concurrent in het punt
Na = s-a : s-b : s-c
Dit is dus het Nagel-punt van driehoek ABC.

We hebben nu verder, op basis van de barycentrische eigenschappen:
   
Of: 3Z = Na + 2I, of ook Z = 1/3 Na + 2/3 I
In bovenstaande afleiding betekent , dat het rechterlid genormaliseerd is.
De laatste uitdrukking houdt in, dat het punt Z (het zwaartepunt van driehoek ABC) ligt op de lijn INa, en wel zo, dat
NaZ : ZI = 2 : 1

Opmerking
Zie verder ook de pagina "Isotomische verwantschap"
[einde Opmerking]

Symmediaan-punt (Lemoine-punt) terug
De zwaartelijnen AOa, BOb en COc worden gespiegeld in de bissectrices van de bijbehorende hoeken.

Zij E = Ka en D = Oa. Zij verder z = |AKa| en s = |AOa|.
Nu is:
   
Zodat Ka = 0 : b2 : c2
Voor overeenkomstige punten Kb, Kc op de andere zijden vinden we dan
Kb = a2 : 0 : c2, Kc = a2 : b2 : 0
De lijnen AKa, BKb, CKc zijn dus concurrent in een punt K met K = a2 : b2 : c2, het Lemoine-punt van driehoek ABC.

Opmerkingen
[1] De normaalcoördinaten van K zijn dus Knorm = a : b : c
[2] Zie ook de pagina "Isogonale verwantschap"
[einde Opmerking]

2. Vermenigvuldiging terug

Hulpstelling 2
Bij twee punten Xi = 0 : yi : zi (i = 1,2) op BC zijn verder gegeven de parallellogrammen XiEiADi (Ei op CA; Di op AB).
Dan geldt:
De punten A, Q = BE1 /\ CD2, P = BE2 /\ CD1 zijn collineair en deze ceviaan snijdt BC in het punt
X = 0 : y1y2 : z1z2

Bewijs:

We beschouwen de cevianen BE1, CD2.
Nu is, op basis van de constructie van de parallellogrammen:
   

Uit de stelling van Ceva volgt nu (voor het punt P):
   
zodat
   
X is dus het punt met X = 0 : y1y2 : z1z2
Met eenzelfde berekening via het punt Q vinden we eveneens het punt X, waarmee het gestelde is aangetoond. ¨

Definitie
Voor de punten Pi = xi : yi : zi (i = 1,2) definiëren we de sporen Pa, Pb, Pc met
Pa = 0 : y1y2 : z1z2
Pb = x1x2 : 0 : z1z2
Pc = x1x2 : y1y2 : 0

Op basis van Stelling 1 gaan nu de cevianen APa, BPb, CPc door hetzelfde punt P, zodat we kunnen vastleggen:

Definitie
Onder het (barycentrisch) product P = P1 Ä  P2 met Pi = xi : yi : zi (i = 1,2) verstaan we het punt
P = x1x2 : y1y2 : z1z2.
Daarbij gebruiken we een vaste referentiedriehoek.
.
image134.gif (5634 bytes) We kunnen het punt P, uitgaande van P1 en P2 met de sporen daarvan op twee zijden, construeren door gebruik te maken van Hulpstelling 2.

Klik hier Applet voor een CabriJavapplet voor deze constructie.

3. Isotomisch geconjugeerde terug

          

Definitie
De cevianen van de spiegelbeelden van de sporen van een punt P in de middens van de zijden zijn concurrent in een punt Q. Dit punt Q heet de isotomisch geconjugeerde van P.
De isotomisch geconjugeerde van P geven we, in dit verband, vaak aan met P-1.
.
Stelling 3
Is P = x : y : z, met P niet op de zijden van de referentiedriehoek, dan is P-1 = 1/x : 1/y : 1/z.

Bewijs:
Voor Pa geldt: Pa = 0 : y : z, zodat BPa = az / (y + z) en CPa = ay / (y + z).
Nu is:
BQa = a – BPa = ay / (y + z)
CQa = a – BPa = a – ay / (y + z) = az / (y + z)
Dus Qa = 0 : z : y = 0 : 1/y : 1/z
Waaruit volgt dat Q = P-1 = 1/x : 1/y : 1/z. ¨

Opmerking
Zie verder ook de pagina "Isotomische verwantschap"
[einde Opmerking]

4. Isogonaal geconjugeerde terug

Definitie
De spiegelbeelden van de cevianen van een punt P in de bissectrices van de referentiedriehoek zijn concurrent in een punt Q. Dit punt Q heet de isogonaal geconjugeerde van P.
De isogonaal geconjugeerde van P geven we, in dit verband, vaak aan met P*.
.
Stelling 4
Is P = x : y : z, met P niet op de zijden van de referentiedriehoek, dan is de isogonaal geconjugeerde van P het punt
P* = a2/x : b2/y : c2z.

Bewijs:
Voor Pa hebben we Pa = 0 : y : z, waaruit volgt dat BPa : CPa = z : y

Met andere woorden Q = P* = a2/x : b2/y : c2/z ¨

Gevolgen

Stelling 5
[1] De isogonaal geconjugeerde van Z = 1 : 1 : 1 is het Lemoine-punt van de driehoek: K = a2 : b2 : c2.:
[2] Voor ieder punt P geldt P Ä P* = K.

Bewijs:
[1] Zie de paragraaf Symmediaan-punt.
[2] Zie paragraaf 2. Vermenigvuldiging. ¨

Klik hier Applet voor een CabriJavapplet bij Stelling 5.

Stelling 6
Voor het incentrum I van een driehoek geldt: I2 = I Ä I = K.

Bewijs:
I = a : b : c, zodat I2 = a2 : b2 : c2. ¨

Opmerking
Zie ook de pagina "Isogonale verwantschap"
[einde Opmerking]

5. Vierkantswortelpunt terug

Hulpstelling 7
Zij X een punt op het lijnstuk BC van driehoek ABC. De loodlijn in X op BC snijdt de cirkel met middellijn BC in X". De bissectrice van hoek BX"C snijdt BC in X'.
Dan is X' Ä X' = X.

Bewijs:

Volgens de bissectricestelling is BX' : CX' = BX" : CX".
Zo dat
   
Is nu X = 0 : b : c, dan is X = 0 : Ö b : Ö c, waaruit het gestelde volgt.¨

Opmerking
Op basis van Hulpstelling 7 kan voor een punt P binnen de referentiedriehoek het punt Q worden geconstrueerd met P2 = Q.
Q is dan het "vierkantswortelpunt" van P (zie Voorbeeld).
[einde Opmerking]

Klik hier Applet voor een CabriJavapplet voor de constructie van het vierkantswortelpunt.

Voorbeeld
Te construeren:
het punt P binnen een driehoek waarvoor de afstanden tot de zijden evenredig zijn met de vierkantswortels van de lengten van die zijden.

Als normaalcoördinaten van P hebben we nu, op basis de voorwaarde waaraan P moet voldoen:
Pnorm = Ö a : Ö b : Ö c.
De barycentrische coördinaten van P zijn dan Pbary = aÖ a : bÖ b : cÖ c
P is dus het vierkantswortelpunt van het punt Q = a3 : b3 : c3.
Maar voor Q geldt – en dat is onmiddellijk duidelijk –, dat Q = I Ä K.
Waarmee de constructie kan worden uitgevoerd.

Opmerking
Het geconstrueerde punt P heet het vierkantswortelpunt van driehoek ABC.
In [Kimberling] wordt het dit punt aangegeven met X365.
[einde Opmerking]
[einde Voorbeeld]

6. Mittenpunkt terug
Het zogenoemde Mittenpunkt (Mt; Kimberling: X9) van een driehoek ABC wordt gedefinieerd als het gemeenschappelijk punt van de verbindingslijnen van de uitcentra Ui van die driehoek met het midden Oi van de bijbehorende zijde van de driehoek.

Opmerking
Zie ook de pagina "Uitcirkels"
[einde Opmerking

We weten Ibary = a : b : c, zodat Ua = -a : b : c.
Voor de vergelijking van de lijn UaOa die gaat door de punten Ua en Oa = 0 : 1 : 1 vinden we (na enig rekenwerk):
UaOa: (b-c)x + ay – az =0
Zo ook is de vergelijking van UbOb:
UbOb: bx + (a-c)y – bz =0
Voor het snijpunt Mt van deze lijnen vinden we dan
Mt = a(-a+b+c) : b(a-b+c) : c(a+b-c)
of ook
Mt = a(s-a) : b(s-b) : c(s-c)
Eenvoudig is na te gaan, dat dit punt ook op de lijn UcOc met vergelijking
cx – cy + (a-b)z =0
ligt.

Gevolg
Uit het bovenstaande volgt direct dat de normaalcoördinaten van het Mittenpunkt worden gegeven door:
Mt norm = s-a : s-b : s-c

We hebben gevonden dat Mt bary = a(s-a) : b(s-b) : c(s-c)
We zien hieruit, dat Mt = I Ä Na, waarin Na het Nagel-punt is van de driehoek.
Nu is
   
zodat
   
waaruit volgt, dat het Mt collineair is met het incentrum I (Kimberling: X1) en het Lemoine-punt K (Kimberling: X6). ¨

Hulpstelling 8

Bewijs:
a = 2s – b – c = (s – b) + (s – c)
Het linkerlid van de uitdrukking is dus gelijk aan:
(s – a)(s – b) + (s – a)(s – c) + (s – b)(s – c)
En dit is weer gelijk aan het rechter lid van de uitdrukking. ¨

Gevolg

Schrijven we , dan hebben we
, etc.
Zodat
   
 
We zien hieruit, dat het Mittenpunkt Mt ook collineair is met het zwaartepunt Z (Kimberling: X2) en het Gergonne-punt Ge (Kimberling: X7). ¨

Klik hier Applet voor een CabriJavapplet als illustratie.

[einde Gevolg]

7. Referenties terug

[1] O. BOTTEMA: Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde, Epsilon (Utrecht, 1997)
[2]      CLARK KIMBERLING: Triangle Centers and Central Triangles, Utilitas Mathematical Publishing Inc. (Winnipeg, Canada, 1998)
[3] CLARK KIMBERLING: Encyclopedia of Triangle Centers - ETC (website).
[4] PAUL YIU: The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry, in: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31 (2000) 569-578

8. Download terug
De in de CabriJavapplets gebruikte figuren kunnen in éen bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand; ca. 4kB).


begin pagina
[barycoord.htm] laatste wijziging op: 07-aug-02