Meer over barycentrische co?rdinaten

Overzicht  ][  Co?rdinatenstelsels | Meetkunde | Anal.Meetkunde

Overzicht

Vermenigvuldiging

Isogonaal geconjugeerde

Vierkantswortelpunt

Mittenpunkt

8. Download

1. Bijzondere punten

Nb.
Een ceviaan van een driehoek is een lijn door een hoekpunt van die driehoek.

In de hiernaast staande figuur kunnen de co?rdinaten van de punten A', B', C' ook worden weergeven als: A' = 0.00 : 0.56 : 0.40 (vermenigvuldiging met k = 0.56) B' = 1.00 : 0.00 : 0.40 C' = 1.00 : 0.56 : 0.00

Gevolg

Nu geldt op BC: BGa = s-b, CGa = s-c Dus: Ga = 0 : s-c : s-b En ook: Gb = s-c : 0 : s-a Gc = s-b : s-a : 0 Of ook (na vermenigvuldiging met de juiste factoren): Ga = 0 : (s-a)(s-c) : (s-a)(s-b) Gb = (s-b)(s-c) : 0 : (s-a)(s-b) Gc = (s-b)(s-c) : (s-a)(s-c) : 0

Waarmee bewezen is dat de cevianen van de raakpunten van de incirkel (met de overstaande zijde) concurrent zijn.
Dit punt is het Gergonne-punt G (ook wel aangegeven met Ge) van de driehoek.
We hebben:
G = (s-b)(s-c) : (s-a)(s-c) : (s-a)(s-b)
of ook
G = 1/(s-a) : 1/(s-b) : 1/(s-c)

Op de zijde BC is BN1 = s-c, en CN1 = s-b, zodat N1 = 0 : s-b : s-c Analoog vinden we N2 = s-a : 0 : s-c N3 = s-a : s-b : 0 Volgens Stelling 1 zijn de lijnen AN1, BN2, CN3 concurrent in het punt Na = s-a : s-b : s-c Dit is dus het Nagel-punt van driehoek ABC.

We hebben nu verder, op basis van de barycentrische eigenschappen:
   
Of: 3Z = Na + 2I, of ook Z = ¹/₃ Na + ²/₃ I
In bovenstaande afleiding betekent , dat het rechterlid genormaliseerd is.
De laatste uitdrukking houdt in, dat het punt Z (het zwaartepunt van driehoek ABC) ligt op de lijn INa, en wel zo, dat
NaZ : ZI = 2 : 1

Opmerking
Zie verder ook de pagina "Isotomische verwantschap"
[einde Opmerking]

Zij E = K_a en D = O_a. Zij verder z = |AK_a| en s = |AO_a|.
Nu is:
   
Zodat K_a = 0 : b² : c²
Voor overeenkomstige punten K_b, K_c op de andere zijden vinden we dan
K_b = a² : 0 : c², K_c = a² : b² : 0
De lijnen AK_a, BK_b, CK_c zijn dus concurrent in een punt K met K = a² : b² : c², het Lemoine-punt van driehoek ABC.

2. Vermenigvuldiging

We beschouwen de cevianen BE1, CD2. Nu is, op basis van de constructie van de parallellogrammen:

Uit de stelling van Ceva volgt nu (voor het punt P):
   
zodat
   
X is dus het punt met X = 0 : y₁y₂ : z₁z₂
Met eenzelfde berekening via het punt Q vinden we eveneens het punt X, waarmee het gestelde is aangetoond. ?

Op basis van Stelling 1 gaan nu de cevianen AP_a, BP_b, CP_c door hetzelfde punt P, zodat we kunnen vastleggen:

We kunnen het punt P, uitgaande van P1 en P2 met de sporen daarvan op twee zijden, construeren door gebruik te maken van Hulpstelling 2. Klik hier voor een CabriJavapplet voor deze constructie.

3. Isotomisch geconjugeerde

Opmerking
Zie verder ook de pagina "Isotomische verwantschap"
[einde Opmerking]

4. Isogonaal geconjugeerde

Gevolgen

Klik hier voor een CabriJavapplet bij Stelling 5.

Opmerking
Zie ook de pagina "Isogonale verwantschap"
[einde Opmerking]

5. Vierkantswortelpunt

Volgens de bissectricestelling is BX' : CX' = BX" : CX". Zo dat     Is nu X = 0 : b : c, dan is X = 0 : ? b : ? c, waaruit het gestelde volgt.? Opmerking Op basis van Hulpstelling 7 kan voor een punt P binnen de referentiedriehoek het punt Q worden geconstrueerd met P2 = Q. Q is dan het "vierkantswortelpunt" van P (zie Voorbeeld). [einde Opmerking]

Voorbeeld
Te construeren:
het punt P binnen een driehoek waarvoor de afstanden tot de zijden evenredig zijn met de vierkantswortels van de lengten van die zijden.

Als normaalco?rdinaten van P hebben we nu, op basis de voorwaarde waaraan P moet voldoen:
P_norm = ? a : ? b : ? c.
De barycentrische co?rdinaten van P zijn dan P_bary = a? a : b? b : c? c
P is dus het vierkantswortelpunt van het punt Q = a³ : b³ : c³.
Maar voor Q geldt – en dat is onmiddellijk duidelijk –, dat Q = I ? K.
Waarmee de constructie kan worden uitgevoerd.

Opmerking
Het geconstrueerde punt P heet het vierkantswortelpunt van driehoek ABC.
In [Kimberling] wordt het dit punt aangegeven met X365.
[einde Opmerking]
[einde Voorbeeld]

6. Mittenpunkt
Het zogenoemde Mittenpunkt (Mt; Kimberling: X9) van een driehoek ABC wordt gedefinieerd als het gemeenschappelijk punt van de verbindingslijnen van de uitcentra U_i van die driehoek met het midden O_i van de bijbehorende zijde van de driehoek.

Opmerking
Zie ook de pagina "Uitcirkels"
[einde Opmerking

We weten Ibary = a : b : c, zodat Ua = -a : b : c. Voor de vergelijking van de lijn UaOa die gaat door de punten Ua en Oa = 0 : 1 : 1 vinden we (na enig rekenwerk): UaOa: (b-c)x + ay – az =0 Zo ook is de vergelijking van UbOb: UbOb: bx + (a-c)y – bz =0 Voor het snijpunt Mt van deze lijnen vinden we dan Mt = a(-a+b+c) : b(a-b+c) : c(a+b-c) of ook Mt = a(s-a) : b(s-b) : c(s-c) Eenvoudig is na te gaan, dat dit punt ook op de lijn UcOc met vergelijking cx – cy + (a-b)z =0 ligt.

We hebben gevonden dat Mt _bary = a(s-a) : b(s-b) : c(s-c)
We zien hieruit, dat Mt = I ? Na, waarin Na het Nagel-punt is van de driehoek.
Nu is
   
zodat
   
waaruit volgt, dat het Mt collineair is met het incentrum I (Kimberling: X1) en het Lemoine-punt K (Kimberling: X6). ?

Hulpstelling 8

Schrijven we , dan hebben we , etc. Zodat       We zien hieruit, dat het Mittenpunkt Mt ook collineair is met het zwaartepunt Z (Kimberling: X2) en het Gergonne-punt Ge (Kimberling: X7). ? Klik hier voor een CabriJavapplet als illustratie.

[einde Gevolg]

7. Referenties

8. Download
De in de CabriJavapplets gebruikte figuren kunnen in ?en bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand; ca. 4kB).

[barycoord.htm] laatste wijziging op: 07-aug-02