Co?rdinatenstelsels in het platte vlak

Co?rdinatenstelsels in het platte vlak

Zie ook de pagina "Meer over barycentrische co?rdinaten"

Overzicht

Hoekco?rdinaten
Tripolaire co?rdinaten
Barycentrische co?rdinaten
Normaalco?rdinaten (trilineaire co?rdinaten)
    - Toegevoegde punten
    - Verband tussen barycentrische en normaalco?rdinaten
    - Rechte lijnen
Referenties

Download

Naast het gebruikelijke orthogonale (Carthesische) co?rdinatenstelsel waarmee de plaats van een punt in het platte vlak wordt vastgelegd door de afstand van dat punt tot twee (loodrecht op elkaar staande) snijdende lijnen, zijn er meer manieren om dat te doen.
We gaan daarbij telkens uit van een vaste driehoek ABC (de basisdriehoek of referentiedriehoek) en een punt P in het vlak van die driehoek.
We maken verder de volgende afspraak:
Met S(XYZ) wordt bedoeld de oppervlakte van de driehoek XYZ.

1. Hoekco?rdinaten

Definitie
De grootte van de hoeken BPC, CPA en APB zijn, in deze volgorde, de hoekco?rdinaten (ook wel angulaire co?rdinaten) van het punt P tov. driehoek ABC.
AB, BC en CA heten de referentiezijden van deze co?rdinaten.
De co?rdinaten kunnen worden uitgedrukt in graden of radialen.

Tekenafspraak
Het teken van zo’n co?rdinaat is positief als P en het hoekpunt tegenover de referentiezijde aan dezelfde kant van de referentiezijde liggen. Is dit niet het geval, dan is de co?rdinaat negatief.

Stelling 1
De hoekco?rdinaten (p, q, r), in radialen, van een punt P tov. een driehoek ABC voldoen aan
p + q + r ? 0 (mod 2p ).
of ook
Als P binnen de driehoek ligt, dan is p + q + r = 2p ; ligt P buiten de driehoek, dan is p + q + r = 0.

Bewijs:

Als P binnen de driehoek ligt vormen de hoeken een volle hoek (360?).
Ligt P buiten de driehoek, dan vormen (in het algemeen) twee van de hoeken samen de derde, die dan negatief wordt gerekend. ?
Constructie

Uit de definitie blijkt, dat elk drietal co?rdinaten (p, q, r) ??nduidig een punt P in het vlak bepaalt.
Voor de eerste co?rdinaat geldt dat P op de cirkel ligt met koorde BC waarbij BPC = p.
De tweede co?rdinaat bepaalt, via de hoek CPA, eenzelfde type cirkel op de koorde CA. Beide cirkels snijden elkaar behalve in C ook in P.
Uit Stelling 1 volgt dan dat ook de derde cirkel (die op de koorde AB) door het punt P gaat.
De plaats van een punt wordt dus door twee getallen, die kunnen dienen als hoekcoordinaten, vastgelegd. ?

Klik hier voor een CabriJavapplet bij deze paragraaf.

2. Tripolaire co?rdinaten

Definitie
De afstand AP, BP, CP van een punt tot de toppen van een driehoek ABC (de referfentiedriehoek) heten tripolaire afstanden.
Elke drie getallen p, q, r met p : q : r = PA : PB : PC worden tripolaire co?rdinaten van P (tov. ABC) genoemd.

Opmerking
Tripolaire co?rdinaten hebben geen teken.
[einde Opmerking]

Constructie
Bij gegeven (p, q, r) zijn P1en P2 de punten die het lijnstuk BC (in en uitwendig) verdelen in de verhouding q/r. De punten P1 en P2 zijn de snijpunten van de lijn BC met de Apollonius-cirkel op BC bij de verhouding q : r.
Op dezelfde manier kunnen we punten Q1 en Q2 op CA met verhouding r /p (en eventueel R1 en R2 op AB met verhouding p/q) vinden.
Deze cirkels snijden elkaar in de punten X en X'. ?

Gevolg
Er zijn twee punten die bedoelde tripolaire co?rdinaten hebben.
De drie cirkels hebben de koorde XX' gemeenschappelijk.
De punten B,C,P1,P2 vormen een harmonisch viertal, waaruit volgt, dat deze Apollonius-cirkels de omcirkel van ABC loodrecht snijden.
Het middelpunt O ligt dus op de lijn XX', waarbij OX? OX' = R² (R is dan de straal van de omcirkel).
De punten X en X' zijn dus elkaars beeld bij inversie tov. de omcirkel.
Ook is nu duidelijk, dat de middelpunten van de Apollonius-cirkels collineair zijn.
Opmerking
Omdat bij gegeven tripolaire co?rdinaten telkens twee punten X en X' bestaan met die co?rdinaten, is het werken met dit type co?rdinaten minder geschikt.
[einde Opmerking]
3. Barycentrische co?rdinaten

Zie ook de pagina "Meer over barycentrische co?rdinaten"

Definitie
De verhoudingen tussen de oppervlaktes van de driehoeken PBC, PCA, PAB worden de barycentrische co?rdinaten van P tov. de referentiedriehoek ABC genoemd.

Opmerking
Meestal wordt ??n van de co?rdinaten genormaliseerd op 1.
[einde Opmerking]

Klik hier voor een CabriJavapplet bij deze paragraaf.

Voorbeelden

[1]
We bekijken de hoekpunten A', B', C' van de centrumdriehoek van de referentiedriehoek ABC. Het zwaartepunt Z van de referentiedriehoek heeft de co?rdinaten (1 : 1 : 1), immers de oppervlaktes van de drie deeldriehoeken zijn voor het punt Z gelijk.
Z_b is het spiegelbeeld van B = (0 : 1 : 0) in het punt B', waardoor Zb = (1 : -1 : 1).

In dit geval geldt ook:
S(ABC) = S(ZBC) + S(ZCA) + S(ZAB)
zodat
1A + 1B + 1C = 3Z

[2]
Voor het incentrum I (het middelpunt van de incirkel) van de referentiedriehoek ABC hebben we:
S(IBC) = ? ra, S(ICA) = ? rb, S(IAB) = ? rc
Zodat
I_bary = a : b : c
Verder geldt: S(ABC) = S(IBC) + S(ICA) + S(IAB) = ? r(a + b + c) = rs
Zodat aA + bB + cC = 2(? raA + ? rbB + ? rcC) = 2I
[einde Voorbeeld]

? Zie verder de pagina "Meer over barycentrische co?rdinaten"

4. Normaalco?rdinaten (trilineaire co?rdinaten)

Definitie
Onder de absolute normaalco?rdinaten (p, q, r) van een punt P tov. een referentiedriehoek ABC verstaan we de afstanden p, q, r van P tot de zijden BC, CA, AB van de driehoek (in deze volgorde).
Onder de (relatieve) normaalco?rdinaten of (homogene) normaalco?rdinaten van een punt P verstaan we elk drietal p', q', r' dat evenredig is met de absolute normaalco?rdinaten van P.

Notatie:

absolute normaalco?rdinaten: P(p, q, r)
normaalco?rdinaten: P = p : q : r, of ook wel P(p : q : r).
Bij de absolute normaalco?rdinaten wordt soms een index r (van re?el) geplaatst om ze te kunnen onderscheiden van de relatieve co?rdinaten.
Meestal wordt een van de normaalco?rdinaten genormaliseerd op 1.
Normaalco?rdinaten worden ook wel trilineaire co?rdinaten of driehoeksco?rdinaten genoemd.
Tekenafspraak

Het teken van zo’n co?rdinaat is positief als P en het hoekpunt tegenover de referentiezijde aan dezelfde kant van de referentiezijde liggen. Is dit niet het geval, dan is de co?rdinaat negatief (of gelijk aan nul).

Klik hier voor een CabriJavapplet bij deze paragraaf.

Stelling 2
Voor de absolute normaalcoordinaten van P(p, q, r) en de zijden a, b, c van de referentiedriehoek geldt:
ap + bq + cr = 2S
waarbij S de oppervlakte is van de referentiedriehoek.

Gevolg
Bij gegeven p en q (en een gegeven basisdriehoek) ligt de waarde van r vast.
Hierdoor wordt een punt in het vlak vastgelegd door twee getallen die opgevat kunnen worden als absolute normaalcoordinaten van dat punt.

Constructie
Zijn p > 0 en q > 0 gegeven, dan ligt het punt P op de lijn evenwijdig met BC op (positieve) afstand p van BC.
P ligt dan ook op de lijn evenwijdig met CA en op (positieve) afstand q van CA.
P is dus het snijpunt van beide lijnen. ?

Stelling 3
De plaats van een punt P wordt eenduidig vastgelegd door drie homogene normaalcoordinaten.

Bewijs:

Zij P = p : q : r met p, q, r >0.
Het punt P is element van de verzameling van de punten X waarvoor de afstanden tot CA en AB zich verhouden als q : r.
Deze verzameling is een rechte lijn, welke bepaald wordt door het punt A en het punt S met d(S,CA) = q en d(S, AB) = r.
Het punt P ligt op de verzameling van de punten X waarvoor de afstanden tot AB en BC zich verhouden als r : p.
Deze verzameling is een rechte lijn die door B gaat en het punt T met d(T, AB)= r en d(T, BC) = p.

Het punt P is dan het snijpunt van de lijnen AS en BT. ?

Toegevoegde punten

Bij elk punt P(p:q:r) kunnen we de punten P_a(–p:q:r), P_b(p:–q:r), P_c(p:q:–r) vinden. Deze worden de toegevoegde punten van P genoemd.

Constructie
We gaan uit van een gegeven punt M(x : y : z) en construeren het bijbehorende toegevoegde punt M_a(-x : y : z).
Nu geldt ondermeer:
d(M_a,AB) / z = d(M_a,CA) / y
Hieruit volgt dat M_a op de lijn AM ligt.
En ook hebben we: d(M_a,BC) / x = d(M_a,AB) / z.
Hieruit volgt dat M_a ligt op een lijn door B, waarvan de punten dezelfde verhouding tot BC en AB hebben als de punten op BM, maar dan met tegengesteld teken. Deze lijn heet de ook wel harmonische rechte van MC tov. driehoek ABC.
Op dezelfde manier volgt uit d(M_a,CA) / y = d(M_a,BC) / x, dat M_a op een lijn door C ligt, de harmonisch toegevoegde lijn aan CM. ?

Stelsel toegevoegde punten

Een punt en de drie daaraan toegevoegde punten wordt wel een stelsel toegevoegde punten bij de referentiedriehoek genoemd.
Zo'n stelsel is commutatief: elk punt van het stelsel heeft de andere drie punten als toegevoegde punten.
Voorbeelden

	[1] Een drietal in een punt P concurrente cevianen van een driehoek en de vierde harmonische bij het hoekpunt, het punt P en het snijpunt van de ceviaan met de overstaande zijde.
	[2] Het middelpunt van de incirkel en de middelpunten van de aancirkels van een driehoek.
	[3] Het zwaartepunt en de hoekpunten van de anticentrumdriehoek (de anticentrumdriehoek A van een driehoek D is de driehoek waarvan driehoek D centrumdriehoek is (de zijden van driehoek A gaan door de toppen van driehoek D en zijn evenwijdig met de daarbij behorende overstaande zijde).

[einde Voorbeelden]

Verband tussen barycentrische en normaalco?rdinaten

Zij x_r de lengte van het loodlijnstuk uit P op BC. Dan is S(PBC) = ?ax_r.
Voor de eerste barycentrische co?rdinaat van P hebben we dan: X_bary(P) = ?ax_r ……(1)
Voor de eerste normaalco?rdinaat van P geldt: x_norm(P) = x = kx_r ……(2)
We vinden uit (1) en (2):
X_bary : Y_bary : Y_bary= ax : by : cz = ax_norm : by_norm : cz_norm

Omgekeerd:
x_norm : y_norm : z_norm = X_bary/ a : Y_bary/ b : Z_bary/ c

Voorbeelden

[1]
Z is het zwaartepunt van de referentiedriehoek ABC.
Z_bary= 1 : 1 : 1, zodat ax : by : cz = 1 : 1 : 1, waaruit ax = k; by = k; cz = k.
Dit geeft:
x = k/a = kbc/abc; y = k/b = kca/abc; z = k/c = kab/abc
Of:
x : y : z = bc : ca : ab
Met andere woorden: Z_norm = bc : ca : ab

[2]
Voor het incentrum van een driehoek geldt, dat de afstanden tot de zijden gelijk zijn, dus:
I_norm = 1 : 1 : 1, zodat
I_bary = a : b : c

[einde Voorbeelden]

? Zie ook de pagina "Meer over barycentrische co?rdinaten"

Rechte lijnen
Zijn P₁ en P₂ punten met afstanden x_r1 en x_r2 tot BC.
P is een punt van de lijn P₁P₂ waarbij P₁P : PP₂ = l .
Voor de afstand x_r van P tot BC vinden we dan:

Of algemeen voor P:

Dit is de "parameter-voorstelling" van de lijn P₁P₂.
Eliminatie van l hieruit geeft

Deze uitdrukking kunnen we ook schrijven in determinant-vorm:

Omkeerd, de vergelijking ux + vy + wz = 0 is een rechte lijn door de punten v : -u : 0, w : 0 : -u en 0 : w : -v.

Oneigenlijke rechte

Voor ieder punt P = x : y : z, met x = kx_r, etc., hebben we: ax_r + by_r + cz_r = 2S.
Hieruit volgt

tenzij ax + by + cz = 0
Punten P die hieraan voldoen, liggen op de "lijn" met vergelijking ax + by + cz = 0. Deze lijn noemen we de oneigenlijke rechte.
5. Referenties

[1]		O. BOTTEMA: Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde, Epsilon (Utrecht, 1997)
[2]		CLARK KIMBERLING: Triangle Centers and Central Triangles, Utilitas Mathematical Publishing Inc. (Winnipeg, Canada, 1998)
[3]		CLARK KIMBERLING: Encyclopedia of Triangle Centers - ETC (website).
[4]		TRAJAN LALESCO: La G?om?trie du Triangle, Librairie Vuibart (Parijs, 1952)
[5]		PAUL YIU: The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry, in: International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31 (2000) 569-578

? Zie ook de pagina "Meer over barycentrische co?rdinaten"

6. Download
De in de CabriJavapplets gebruikte figuren kunnen in ?en bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand; ca. 4kB).

[coordsyst.htm] laatste wijziging op: 01-jul-03