Volledige vierzijde en dubbelverhouding

Overzicht  ][  Stralenbundels | Transversalen | Meetkunde


Overzicht terug

  1. Inleiding 
  2. Dubbelverhouding en harmonische ligging 
  3. Eigenschappen 
  4. Apollonius-cirkels

1. Inleiding, definities terug

Definitie
De figuur bestaande uit vier elkaar snijdende lijnen en hun snijpunten heet volledige vierzijde.

We hebben in de hieronder staande figuur 1:

figuur 1  vierz1.gif (2459 bytes) zijden: z1, z2, z3, z4
hoekpunten: H12, H13, H14, H23, H24, H34
overstaande hoekpunten: het paar H12, H34, het paar H13, H24, het paar H14, H23
diagonalen: dit zijn lijnen door overstaande hoekpunten, dus d1, d2, d3

De figuur gevormd door de diagonalen heet diagonaal-driezijde met (diagonaal-)hoekpunten D12, D13 en D23.

Definitie
De figuur bestaande uit vier punten en hun verbindingslijnen heet volledige vierhoek.

We hebben in de hieronder staande figuur 2:

figuur 2  vierz2.gif (2384 bytes) hoekpunten: A1, A2, A3, A4
zijden: m12, m13, m14, m23, m24, m34
overstaande zijden: het paar m12, m34, het paar m13, m24, het paar m14, m23
diagonaalpunten: D1, D2, D3
diagonaal-driezijde (niet in de figuur): d12 (door D1 en D2), d13 (door D1 en D3), d23 (door D2 en D3)

De zogenoemde duale samenhang tussen beide vinden we terug in het onderstaande overzicht:

volledige vierzijde volledige vierhoek
zijden: z1, z2, z3, z4 hoekpunten: H1, H2, H3, H4
hoekpunten: H12, H13, H14, H23, H24, H34 zijden: m12, m13, m14, m23, m24, m34
diagonalen: d1, d2, d3 diagonaalpunten D1, D2, D3
hoekpunten diaogonaal-driehoek: D12, D13, D23 zijlijnen diagonaal-driezijde d12, d13, d23

We zien hieruit een 1-1-correspondentie tussen de begrippen punt en lijn.

Om deze dualiteit op te heffen kunnen eigenschappen "P ligt op de lijn l" en "l gaat door het punt P" vervangen door "het punt P en de lijn l zijn incident".

2. Dubbelverhouding en harmonische ligging terug
Van twee punten C en D op de lijn door de punten A en B is de ligging bepaald door de beide deelverhoudingen (ABC) en ABD; zie figuur3.

figuur 3  vierz3.gif (290 bytes)
Definities
[1] Onder de dubbelverhouding van de punten A,B en C,D verstaan we het getal (ABCD) = (ABC)/(ABD).

[2] Als (ABCD) = -1, dan zeggen we dat het puntenpaar A, B harmonisch ligt met het puntenpaar C, D.

Gevolg
   (ABCD) = CA/CB : DA/DB
[einde Gevolg]

Voorbeelden

figuur 4 vierz4.gif (1491 bytes) [1]
In driehoek ADT is BQ evenwijdig met AT en is BP=BQ.
De punten A, B, C, D is nu een harmonisch puntenviertal.

Bewijs:

Stel BP = q en AT = q.
Via gelijkvormigheid van driehoeken volgt nu
  (ABC) = CA/CB = - p/q en (ABD) = DA/DB = p/q,
zodat (ABCD) = -1. ¨

Opmerking
Op bovenstaande eigenschap kan een constructie van de vierde harmonisch bij drie collineaire punten worden gebaseerd.
Klik hier voor een beschrijving van die constructie.
[einde Opmerking]

figuur 5  vierz5.gif (1248 bytes) [2]
De binnen- en buitenbissectrice van een hoek van een driehoek leggen samen met de hoekpunten op de overstaande zijde een harmonisch puntenviertal vast.

Bewijs:

DA / DB = - b / a en EA / EB = b / a.
Dus (ABCD) = -1. ¨

[einde Voorbeelden]

Gevolg van de definitie
Voor het midden C van een lijnstuk AB geldt: (ABC) = -1. Voor de dubbelverhouding (ABCD) met een vierde harmonisch punt D geldt (ABCD) = -1.
Hieruit volgt: (ABD) = 1.
Het punt D is dan het oneigenlijk punt van de lijn AB.
Dus:
Het midden van een lijnstuk en het oneigenlijk punt van de drager van dat lijnstuk liggen harmonisch met de eindpunten van het lijnstuk.
[einde Gevolg]

Stelling 1
Bij elk drietal punten van een rechte lijn is er precies één vierde harmonisch punt.

Bewijs (zie figuur 6):

figuur 6  vierz6.gif (393 bytes) Stel AC = a, BC = b met a > b.
Stel nu BD = x.
Nu volgt uit (ABCD) = -1 dat
   a / b = (x + a + b) / x of (a - b) x = ab + b2

We onderscheiden:
(i) a <> b.
Nu kunnen we x uniek bepalen uit bovenstaande relatie: x = (ab + b2)/(a-b)

(ii) a = b.
In dit geval is C het midden van het lijnstuk AB. D is dus het oneigenlijk punt van het lijnstuk AB. ¨

Stelling 2
Twee diagonalen van een volledige vierzijde scheiden de hoekpunten op de derde diagonaal harmonisch.

Bewijs:

vierz21.gif (3324 bytes) AB, BC, CD, DA zijn de zijden van een volledige vierzijde.
E = AB /\ CD, F = BC /\ DA.
We moeten nu bewijzen, dat de hoekpunten E en F harmonisch gescheiden worden door de diagonalen AC en BD.
Zij verder P = AC /\ EF, Q = BD /\ EF, dqan moet dus gelden (EFPQ) = -1.

Uit de stelling van Menelaos en Ceva, toegepast op driehoek CEF met transversaal DBQ volgt:
(EFQ)(FCB)(CED) = 1 ......(1)
(EFP)(FCB)(CED) = -1 ......(2)
(2) gedeeld door (1) geeft dan direct:
(EFPQ) = -1 ¨

Opmerking
Stelling 2 staat ook (als Stelling 3 ) op de pagina "Stralenbundels".
Zie verder ook de pagina "Harmonikaal".
[einde Opmerking]

3. Overige eigenschappen terug

Overzicht
     3.1. Het harmonisch gemiddelde
     3.2. Het midden van een lijnstuk
     3.3. Loodrecht snijdende cirkels  cabrisignal.gif (160 bytes)

3.1. Het harmonisch gemiddelde terug

figuur 7  vierz3.gif (290 bytes)

Zie figuur 7.
Uit (ABCD) = -1 volgt (per definitie) (ABC)/(ABD) = -1, of (ABC) + (ABD) = 0.
Dus CA/CB + DA/DB = 0, waaruit we vinden: CA.DB + CB.DA = 0.
Herschrijving geeft:
   CA(AB-AD) + DA(AB-AC) = 0
   CA.AB - CA.AD + DA.AB - DA.AC = 0, waarbij CA.AD = AC.DA
   CA.AB + DA.AB = 2 CA.AD of AC.AB + AD.AB = 2 AC.AD
Deling door AB.AC.AD geeft dan
   1/AD + 1/AC = 2/AB.
1/AB is dus het rekenkundig gemiddelde van 1/AD en 1/AC. ¨

In dit geval noemen we AB het harmonisch gemiddelde van AC en AD.

3.2. Het midden van een lijnstuk terug

figuur 8  vierz8.gif (343 bytes)

Zie figuur 8.
Voor het midden M van een lijnstuk AB geldt MA = - MB.
In 3.1  hebben we gevonden
   AC.DB = AD.CB = 0, zodat
   (MC-MA)(MB-MD) + (MD-MA)(MB-MC) = 0
   (MC-MA)(MA+MD) + (MD-MA)(MA+MC) = 0
waaruit volgt
   MC.MD = MA2
en dus ook MB2 = MC.MD ¨

3.3 Loodrecht snijdende cirkels terug

figuur 9  vierz9.gif (1934 bytes) We gaan uit van twee elkaar loodrecht in S snijdende cirkels (zie figuur 9).
Bekijken we de macht van het punt M ten opzichte van cirkel C2.
Nu is MS2 = MD.MC
En dus ook, wegens MA = MS, MA2 = MD.MC
A,B,C,D is dus een harmonisch viertal.

Omgekeerd.
Is MD.MC = MA2 = MS2, dan volgt daaruit loodrecht snijding van de beide cirkels. ¨

Opmerkingen
[1]
Eigenschap 3.3, en het omgekeerde ervan, is als stelling geformuleerd in de volgende paragraaf.
[2]
Van die stelling wordt in de volgende paragraaf ook een animatie gegeven.  cabrisignal.gif (160 bytes)
[einde Opmerkingen]

4. Apollonius-cirkels en harmonische ligging terug

Voor de definitie van een Apollonius-cirkel van een driehoek zie de pagina over Apollonius-cirkels.

Stelling 3
Van twee paren collineaire punten liggen de punten van het ene paar diametraal op een cirkel, en gaat een tweede cirkel door de punten van het andere paar.
De punten paren scheiden elkaar harmonisch
   DESDA
de cirkels snijden elkaar loodrecht.

Bewijs: zie paragraaf 3, Overige eigenschappen, eigenschap 3.3. ¨

figuur 10  vierz10.gif (1698 bytes) Gevolg

C en D verdelen het lijnstuk AB in- en uitwendig in de verhouding v.
N1 (midden van CD) is middelpunt van de Apollonius-cirkel K1.

Zij nu K een willekeurige cirkel door A en B.
Volgens de stelling geldt nu, dat K en K1 elkaar loodrecht snijden.

Klik hier Animatie voor een animatie van deze eigenschap.

En een gevolg hiervan is weer een stelling die ook wordt genoemd op de pagina over Apollonius-cirkels.

Stelling 4
De Apollonius-cirkels van een driehoek snijden de omgeschreven cirkel van een driehoek loodrecht.

[einde Gevolg]


begin pagina
[vierzijde.htm] laatste wijziging op: 23-08-2002