Apollonius-cirkel(s), isodynamische punten

Overzicht  ][ Vierzijde  |  Meetkunde


Zie ook de pagina "Isodynamische punten"

Overzicht terug

  1. Definitie cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Constructie
  3. Apollonius-cirkels van een driehoek / Isodynamische punten
  4. Andere eigenschappen

1. Definitie terug
We zoeken de meetkundige plaats van alle punten P waarvan voor de afstanden van dat punt tot twee vaste punten A en B geldt:
   PA / PB = k
Als k = 1, dan geldt PA = PB. De gezochte meetkundige plaats is dan de middelloodlijn van AB.
We veronderstellen nu k 1.

figuur 1a  apolcirk1a.gif (319 bytes) Kiezen we nu (bijvoorbeeld) k = 2, dan kunnen we op de lijn AB (in ieder geval)twee punten P vinden waarvoor PA : PB = 2 : 1; zie de punten C en D in figuur 1a.

Hierin is: CA : CB = 2 :1 en DA : DB = 2 :1.
Maar er zijn natuurlijk meer punten P.

We moeten het punt P z kiezen, dat PA = 2 PB.
We kunnen de ligging van P nu onderzoeken door een cirkel te tekenen met middelpunt B en straal PA.
P moet nu op deze cirkel liggen (zie figuur 1b).

figuur 1b  apolcirk1b.gif (1173 bytes) Immers, als P op de cirkel (P, PA) ligt, dan is
PA : PB = 2 : 1.

Het bovenstaande is opgenomen in de nu volgende CabriJava-animatie.

|| Klik hier Animatie om met behulp van een animatie de meetkundige plaats van de punten P te vinden.

Stelling 1
De meetkundige plaats van de punten X, waarvoor XA : XB = k : 1 (met k 1) is een cirkel met CD als middellijn, waarbij C en D punten zijn die het lijnstuk AB in- en uitwendig verdelen in de verhouding k.
Deze cirkel heet de Apollonius-cirkel bij de verhouding k.

Bewijs:
(deel 1) Stel X is een punt van de meetkundige plaats.

figuur 2  apolcirk2.gif (1547 bytes) Zie nu figuur 2.

We kiezen: BC = a, CA = ka, XB = d, XA = kd.
Nu is dus XC bissectrice van hoek AXB, en XD is buitenbissectrice van die hoek (vanwege dezelfde verhouding tussen de stukken).
Dus hoek CXD = 90 .

Dus X ligt op de cirkel met middellijn CD (cirkel van Thales).

|| Klik hier Animatie om met behulp van een animatie de cirkels van Apollonius bij verschillende verhoudingen k te bekijken.

(deel 2) Stel X ligt op de cirkel met middellijn CD. Te bewijzen is nu: AX : BX = k : 1.

figuur 3  apolcirk3.gif (1929 bytes) Zie nu figuur 3.
Zijn A’, B’ de projecties van A, B op de lijn door D en X.
Nu geldt: BB’ : AA’ = 1 : k.
Ook is nu: B’X : XA’ = BC : CA = 1 : k.
Dus BB’X ~ AA’X, zodat
BX : AX = BB’ : AA’ = 1 : k.
Zodat AX : BX =  k : 1.

Opmerking
De meetkundige plaats van de punten waarvan afstanden tot twee rechte lijnen zich verhouden als a : b, bestaat uit twee rechte lijnen.
Zie hiervoor Isogonale verwantschap.
[einde Opmerking]

2. Constructie van de Apollonius-cirkel terug

Oplossing 1
Zijn C en D de punten die een lijnstuk AB in- en uitwendig verdelen in een verhouding v.
De punten A, B, C, D liggen dus harmonisch.
Wanneer we nu alleen het punt C kennen, dan kunnen we het punt D dus als vierde harmonische bij A, B en C construeren.
De cirkel van Apollonius bij AB en verhouding v is dan de cirkel met middellijn CD.

Oplossing 2
Is de verhouding gegeven door de lengte van twee lijnstukken p en q, dan verloopt de constructie het eenvoudigst op basis van gelijkvormigheid van driehoeken.

apolcirk8.gif (3717 bytes) Teken op een lijn door A het lijnstuk p, aanweerszijden van A. Teken op een lijn door B (evenwijdig met die door A) het lijnstuk q.
De verbindingslijnen van de eindpunten (zie nevenstaande figuur) snijden de drager van het gegeven lijnstuk AB in de punten C en D.
De punten C en D verdelen AB dan in- en uitwendig in stukken die zich verhouden als p : q.
De cirkel met middellijn CD is dan de gevraagde Apollonius-cirkel.

Zie CabriFAQ 43 voor een macro-constructie die op deze oplossing gebaseerd is.

3. Apollonius-cirkels van een driehoek / Isodynamische punten terug
Gaan we uit van een ongelijkzijdige driehoek ABC met zijden a, b, c.
Voor de punten X van de Apollonius-cirkel bij de verhouding b/a geldt XA : XB = b : a.
Het punt C ligt dus op die Apollonius-cirkel, evenals de snijpunten P en Q van de binnen- en buitenbissectrice van hoek C met de zijde AB.
Deze cirkel heet wel C-Apollonius-cirkel van driehoek ABC.
Er zijn dus drie Apollonius-cirkels bij een driehoek: AB met b/a, BC met c/b, CA met a/c (zie figuur 4, waarin slechts twee cirkels getekend zijn; de A- en de B-cirkel).

Stelling 2
De drie Apollonius-cirkels van een ongelijkzijdige driehoek snijden elkaar in twee punten.

Bewijs:
Zie figuur 4, waarin Ma en Mb de middelpunten zijn van de Apollonius-cirkels op BC en CA.

figuur 4  apolcirk4.gif (2079 bytes) We ordenen de zijden van de driehoek zo, dat a > b > c.
Voor het punt X op de Apollonius-cirkel van AC geldt:
   XA : XC = c : a.
Omdat c < a, geldt dat A binnen deze cirkel ligt.
Voor het punt X op de Apollonius-cirkel van BC geldt:
   XB : XC = c : b.
Omdat c < b geldt, dat B binnen deze cirkel ligt.
Beide cirkels hebben dus twee snijpunten. Stel dat P zo’n snijpunt is.
Voor P geldt: PB/PC = c/b n PA/PC = c/a.
Dus PA/PB = (c/a) / (c/b) = b/a.
Dus het punt P ligt ook op de Apollonius-cirkel van AB.

De beide gemeenschappelijke punten heten de isodynamische punten van de driehoek.
Zie verder de pagina "Isodynamische punten"

Stelling 3
Als in driehoek ABC geldt dat a > b > c, en Ra, Rb, Rc zijn de stralen van de Apollonius-cirkels, dan is
   1 / Rb = 1 / Ra + 1 / Rc

Bewijs (zie figuur 5):

figuur 5  apolcirk5.gif (2062 bytes) We drukken Ra eerst uit in de zijden van de driehoek.
Voor positieve k hebben we: kc + kb = a, zodat k = a / (b + c).
Dus BD = ac / (b + c)
EC - EB = a = lb - lc = l (b - c) waaruit volgt l = a / (b - c).
Dus EB = ac / (b - c).
DE = EB + BD  ac / (b + c) + ac / (b - c)
= (abc - ac2 + abc + ac2) / (b2 - c2)
= 2abc / (b2 - c2).

Ra = DE = abc / (b2-c2)
Evenzo: Rb = abc / (a2 - c2) en Rc = abc / (a2 - b2).

Dus 1 / Ra + 1 / Rc = (b2 - c2 + a2 - b2) / abc = (a2 - c2) / abc = 1 / Rb.

Stelling 4
De drie middelpunten van de Apollonius-cirkels van een driehoek zijn collineair.

Bewijs (zie figuur 6)

figuur 6  apolcirk6.gif (2618 bytes) Ma, Mb, Mc zijn de middelpunten van de Apollonius-cirkels van driehoek ABC.

Zijn P en Q de isodynamische punten van de driehoek.
Het lijnstuk PQ is van elk tweetal Apollonius-cirkels een gemeenschappelijke koorde.
De centraal van elk tweetal Apollonius-cirkels deelt die koorde middendoor.

Opmerking
De collineatie-as van de middelpunten van de cirkels van Apollonius heet de Lemoine-lijn (naar Emile Lemoine, 1840-1912, Frankrijk)
Zie verder de pagina "Isodynamische punten"
[einde Opmerking]

Stelling 5
De Apollonius-cirkels van een driehoek snijden de omgeschreven cirkel van die driehoek loodrecht.
figuur 7  apolcirk7.gif (3058 bytes) Bewijs:
Het bewijs hiervan kan gemakkelijk geleverd worden door gebruik te maken van harmonische ligging.
Klik hier voor het bewijs.

Opmerking
Stelling 5 komt ook ter sprake op de pagina "Isodynamische punten".
[einde Opmerking]

.
Stelling 6
De Apollonius-cirkels van een driehoek snijden elkaar twee aan twee onder hoeken van 60 .

Bewijs:
Dit bewijs verloopt op eenvoudige wijze door gebruik te maken van harmonische ligging en inversie.
Klik hier voor het bewijs.

newy.gif (116 bytes)Opmerking
Klik hier voor een synthetisch bewijs van Stelling 6 (hierin wordt gebruik gemaakt van de bissectrice-stelling en de cosinusregel).
Nb.
Dit bewijs staat in een PDF-bestand (ca. 81kB). Een dergelijk bestand kan alleen worden gelezen met Acrobat (R) Reader.
[einde Opmerking]

4. Andere eigenschappen terug
[1]
Apollonius-cirkels spelen, zoals opgemerkt bij enkele stellingen in paragraaf 3, ook een rol bij harmonische ligging.
Klik hier voor een bewijs van enkele van deze eigenschappen.
[2]
Zie ook de pagina "Isodynamische punten" voor enkele eigenschappen in samenhang met de Lemoine-lijn.
[3]
Op die pagina wordt ook bewezen, dat de voetpuntsdriehoek van een isodynamisch punt gelijkzijdig is (klik hier voor die stelling).


begin pagina
[apolcirk.htm] laatste wijziging op: 03-11-2004