Stralenbundels
Overzicht ][ Vierzijde | Transversalen | DK & Meetkunde
figuur 1 |
Definities [1] Een stralenbundel (ook wel lijnenbundel genoemd) is een verzameling lijnen (niet noodzakelijk oneindig veel) die door ��n punt gaan. De lijnen worden ook wel stralen genoemd. Het punt heet de top van de stralenbundel. [2] Een stralenbundel bestaande uit vier stralen heet vierstraal. [3] Een transversaal van een stralenbundel is een lijn die niet door de top van de stralenbundel gaat en alle lijnen van de bundel snijdt. [4] Onder de dubbelverhouding T(abcd) van vier lijnen a, b, c, d in een stralenbundel (met top T) verstaan we de dubbelverhouding (ABCD) waarbij A,B,C,D de snijpunten zijn van opvolgend a,b,c,d met een transversaal van de bundel. Dus: T(abcd) = (ABCD). [5] Een vierstraal a,b,c,d met T(abcd) = -1 heet harmonische vierstraal. De harmonische vierstraal wordt ook zelf wel aangegeven met T(abcd) of met T(ABCD). |
Stelling 1 T(ABCD) is een vierstraal. Voorts is l de lijn door B evenwijdig met de toegevoegde straal (de straal door A). l snijdt de beide andere stralen in de punten P en Q. T(ABCD) = -1 desda PB= BQ |
Bewijs:
Zie figuur 2.
figuur 2 | Als T(ABCD) = -1, dan is (volgens de definitie) ook (ABCD) = -1. Stel dan AC = a en BC = b. Dus is AD = ka en BD = kb. BQ : TA = kb : ka = b : a BP : TA = b : a Waaruit volgt dat BP = BQ. Omgekeerd. Zij BP = BQ. Nu is BP : TA = BC : AC = b : a. Dus, wegens BP = BQ, hebben we BQ : TA = b : a, dus ook BD : DA = b : a Hieruit volgt dan BD = kb en DA = ka, zodat (ABCD) = CA/CB : DA/DB = (-b/a) : (kb/ka) = -1. � |
Stelling 2 Twee snijdende rechten a, b worden door de bissectrices c, d van de hoeken die ze met elkaar maken, harmonisch gescheiden. |
Bewijs:
figuur 3 | Zie figuur 3. Trek de lijn l evenwijdig met a. Gevolg |
Stelling 3 Twee diagonalen van een volledige vierzijde scheiden de hoekpunten op de derde diagonaal harmonisch. |
Bewijs: (zie figuur 4)
figuur 4 | ABCDEF is de volledige vierzijde (AB,BC,CD, DA). AC en BD zijn opvolgend de 1e en de 2e diagonaal. EF is de 3e diagonaal. Te bewijzen is nu dat (EFPQ) = -1. In driehoek CEF passen we de stelling van Menelaos toe op de transversaal DBQ. |
Dus, na deling van beide resultaten: (EFP)/(EFQ) = -1 of PE/FE : QE/QF = (EFPQ) = -1. �
Opmerking
Zie verder ook de pagina "Harmonikaal".
[einde Opmerking]
2. Constructies
Op basis van stelling 1 en stelling 3
in paragraaf 1 kunnen we nu een tweetal verschillende constructies geven voor de vierde
harmonische bij drie gegeven collineaire punten.
1e Constructie
figuur 5 | Zie figuur 5. Gegeven zijn de punten A, B, C, met C tussen A en B (dus
op het lijnstuk AB). |
Klik hier voor een stapsgewijze animatie van deze constructie.
Opmerkingen
[1] Voor het bewijs van deze constructie zie stelling 1.
[2] Bij deze constructie moet gebruik gemaakt worden van passer en liniaal.
[einde Opmerkingen]
2e constructie
figuur 6 | Zie figuur 6. Gegeven de punten A, B, C met C tussen A en B. |
Klik hier voor een stapsgewijze animatie van deze constructie.
Opmerkingen
[1] Voor het bewijs van deze constructie zie stelling 3.
[2] Bij deze constructie is alleen gebruik gemaakt van een liniaal.
[einde Opmerkingen]
Definitie Een harmonische vierhoek is een koordenvierhoek waarvan de producten van de overstaande zijden gelijk zijn. |
Stelling 4 Een harmonische vierstraal T(abcd) waarvan T op een cirkel ligt, bepaalt op die cirkel een harmonische vierhoek ABCD, waarbij A, B, C, D de snijpunten zijn van de stralen met de cirkel). |
Bewijs:
figuur 7 | Zie figuur 7. We kiezen de lijn door A en D als transversaal van de
vierstraal. De lijnen b en c snijden AD in B en C. De lengten van de zijden van vierhoek ABCD geven we (mogelijk wat verwarrend) ook aan
met a, b, c, d. |
Om dezelfde reden hebben we
TDC ~ TCD, waaruit volgt:
DC : CD = TC : TD, zodat c : c = TC : r
Door vermenigvuldiging volgt uit deze laatste resultaten, dat ac : ac =
TC : r.
Duidelijk is dat TBC ~ TCB, zodat BC : CB = TC : TB, waaruit
b : b = TC : s.
Combinatie hiervan met het vorige resultaat geeft:
ac : ac = b : b = bd : bd.
Uit (ACBD) = BA/BC : DA/DC =
-a / b : (-d) / (-c) = -1, vinden we ac
= bd.
Dit samen met het vorige resultaat geeft
ac = bd.
De producten van de overstaande zijden zijn gelijk. Dus is ABCD een harmonische vierhoek. �
Opmerking
Volgens de stelling van Ptolemaeus is dus ac = bd = � pq,
waarbij p en q de lengtes zijn van de diagonalen van de koordenvierhoek.
[einde Opmerking]