Probleem van Lemoine en de stelling van Kiepert

Overzicht  ][  Meetkunde


0. Overzicht begin pagina

  1. Het probleem en een oplossing
  2. Isogonalen en hun gevolg
  3. Hyperbool van Kiepert  cabrisignal.gif (160 bytes)
  4. Bijzonderheden van de hyperbool
       4.1. Hoogtepunt
       4.2. Zwaartepunt
       4.3. Punt van Fermat 
    cabrisignal.gif (160 bytes)
       4.4. Tweede punt van Fermat
       4.5. Napoleon-punten
       4.6. Punten van Vecten

       4.7. Orthogonaal
  5. De asymptoten van de hyperbool
  6. Referenties
  7. Download

1. Het probleem en een oplossing begin pagina

Probleem van Lemoine
Het volgende probleem is door Lemoine (Emile Lemoine, 1840-1912, Frankrijk) vermeld:

"Construire un triangle, connaissant les sommets des triangles equilatéraux construits sur les cotes"

(Frans: equilatéral = Nederlands: gelijkZIJDIG)

Iets ruimer geformuleerd:

Op de zijden van een driehoek ABC zijn gelijkBENIGE driehoeken ABC', BCA' en CAB' geconstrueerd (zie figuur 1).
Gevraagd wordt driehoek ABC te construeren als de punten A', B', C' gegeven zijn.
.
figuur 1 lemoine1.gif (1626 bytes) We geven hierbij direct maar een oplossing.
De tophoeken van de gelijkbenige driehoeken zijn x, y, en z.
Onder de aanname dat het probleem is opgelost, passen we de volgende rotaties toe:
   R1(C', -x), R2(A', -y), R3(B', -z)
Het minteken geeft hierbij aan dat we de negatieve rotatierichting kiezen.
In het algemeen is R3R2R1 een rotatie over de hoek x+y+z (zie de pagina "Rotaties").
Voor een willekeurig punt X in het vlak geldt dan (zie figuur 2):
   R3R2R1(X) = R3R2(X1)   = R3(X2) = X3.

En dus ook:

figuur 2 lemoine2.gif (2880 bytes)    R3R2R1(AX) = R3R2(BX1) = R3(CX2) = AX3
Hierbij is AX = BX1 = CX2 = AX3.
A ligt dus op de middelloodlijn van XX3.
Voor een tweede willekeurig punt Y hebben we op dezelfde manier:
   R3R2R1(AY) = AY3
Het punt A is dan het snijpunt van de middelloodlijnen van XX3 en YY3.
De punten B en C kunnen daarna geconstrueerd worden als R1(A) en R2(B).

Waarmee ook het probleem van Lemoine is opgelost.¨

Opmerking
Het probleem heeft een unieke oplossing als de beide middelloodlijnen elkaar snijden.
Zijn ze evenwijdig dan is er geen oplossing; in dit geval is x + y + z gelijk aan (een veelvoud van) 360º.
Als x + y + z = k·360º kan R3R2R1 ook de identieke afbeelding zijn. In dat geval zijn er oneindig veel oplossingen (elk punt van het vlak kan dan als het punt A gekozen worden).
[einde Opmerking]
__________
Referentie

Zie [4].
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
De verkregen figuur heeft (met een kleine beperking) nog een andere eigenschap (zie figuur 3), geformuleerd in Stelling 1 (genoemd naar Ludwig Kiepert, 1846-1934, Duitsland).

figuur 3 lemoine3.gif (1914 bytes)
Stelling 1 (Stelling van Kiepert)
Worden gelijkvormige gelijkbenige driehoeken ABC', BCA' en CAB' op de zijden van driehoek ABC beschreven, dan zijn AA', BB', CC' concurrent.

We zullen deze eigenschap in paragraaf 2 in een ander kader plaatsen (Stelling 1 volgt uit de daar vermelde Stelling 2).

Opmerking
Zie ook de pagina "Bijzondere gelijkvormige driehoeken" waarop de Stelling van Kiepert wordt gebruikt om de perspectiviteit van een driehoek en diens 1e Brocard-driehoek aan te tonen.
[einde Opmerking]

2. Isogonalen en hun gevolg begin pagina
We geven eerst een definitie die ook elders (zie de pagina "Isogonale verwantschap, ...") op deze website staat, zij het in een iets andere vorm.

Definitie
Twee hoektransversalen door hetzelfde hoekpunt van een driehoek zijn isogonaal (verwant) als ze elkaars beeld zijn bij spiegeling in de bissectrice van dat hoekpunt.

We bekijken nu de volgende situatie:

figuur 4 lemoine4.gif (2212 bytes)
Stelling 2
Zijn de lijnenparen (AB', AC'), (BC', BA'), (CA', CB') isogonaal  verwant tov. driehoek ABC (als in figuur 4), dan zijn de lijnen AA', BB', CC' concurrent.

Stelling 1 volgt nu onmiddellijk uit Stelling 2 voor a = b = c = j, waarbij j de basishoek is van de in Stelling 1 genoemde gelijkbenige (gelijkvormige) driehoeken.

Klik hier voor het bewijs van Stelling 2 (PDF-bestand; ca. 28 Kb)

3. Hyperbool van Kiepert begin pagina
We kunnen de situatie als in Stelling 1 nu als volgt construeren:

- Kies A' willekeurig op de middelloodlijn van BC
- Spiegel de lijnen A'B en A'C opvolgend in de bissectrices van hoek B en van hoek C
- Bepaal de punten B' en C' op de middelloodlijnen van opvolgend AB en CA.
- Teken de lijnen AB' en AC' (zie figuur 5).

figuur 5 lemoine5.gif (4473 bytes) figuur 6 lemoine6.gif (3276 bytes)

Het punt A' kan vrij gekozen worden op de middelloodlijn van BC.
De ligging van het punt K wordt bepaald door de ligging van A'.
In figuur 6 is de meetkundige plaats getekend van het punt K als A' de middelloodlijn van BC doorloopt.

Deze meetkundige plaats is een hyperbool die gaat door de punten A, B en C.
Deze hyperbool heet hyperbool van Kiepert van driehoek ABC (naar Ludwig Kiepert, 1846-1934, Duitsland).

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet bij deze constructie.

Opmerkingen
Zie ook Stelling 5 op de pagina "Euler-cirkels".
Zie ook de pagina "Orthogonale hyperbool en driehoek"
[einde Opmerking]

4. Bijzonderheden van de hyperbool begin pagina
Op de hyperbool van Kiepert liggen een aantal bijzondere punten.
We geven de grootte van de basishoeken van de gelijkvormige, gelijkbenige driehoeken op de zijden telkens aan met j, waarbij -p/2 £ j £ p/2.

4.1. Hoogtepunt
figuur 7 lemoine7.gif (2426 bytes) j = p/2 of j = - p/2
In figuur 7 is de situatie weergegeven voor j = p/2 - e .

Bij de bepaling van de Kiepert-hyperbool (met Cabri in de figuur hiernaast) is H het limiet-punt als A'® L¥ waarbij L¥ het oneigenlijk punt is van de middelloodlijn van BC.

  
4.2. Zwaartepunt
figuur 8 lemoine8.gif (2025 bytes) j = 0
In figuur 8 is de situatie weergegeven voor j = e .
 
4.3. Punt van Fermat
(uitwendig Fermat-punt of 1e Fermat-punt)
figuur 9 lemoine9.gif (3177 bytes) j = p/3
In figuur 8 is de situatie weergegeven voor j = p/3 .

Zie hiervoor het Cabri-werkblad "Het punt van Fermat".
Zie ook de pagina "Lester-cirkel".

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet ter illustratie.

 
4.4. Tweede punt van Fermat
(inwendig Fermat-punt of 2e Fermat-punt)
figuur 10

lemoine10.gif (2897 bytes)

j = -p/3

Het Tweede punt van Fermat wordt dus bepaald door de gelijkzijdige driehoeken inwendig op de zijden van driehoek ABC te construeren.

Zie ook de pagina "Lester-cirkel".

 
4.5. Napoleon-punten
figuur 11a lemoine11.gif (3262 bytes) Eerste Napoleon-punt: j = p/6 (uitwendig)
Tweede Napoleon-punt: j = -p/6 (inwendig)
In figuur 11a is alleen het 1e Napoleon-punt getekend.

 

Zie ook het Cabri-werkblad "Het punt van Fermat en de driehoek van Napoleon".

 
4.6. Punten van Vecten
Eerste punt van Vecten: j = p/4 (uitwendig)
Tweede punt van Vecten: j = -p/4 (inwendig)
De punten van Vecten vinden we door (uit- cq. inwendig) vierkanten te construeren op de zijden van de driehoek.

Zie ook de pagina "Figuur van Vecten".
Zie ook de pagina "De stelling van Van Aubel" voor het eerste punt van Vecten.

In [2] worden nog 10 andere punten genoemd die op de Kiepert-hyperbool liggen.

4.7. Orthogonaal
Doordat de hyperbool door het hoogtepunt van de driehoek gaat, is de Kiepert-hyperbool orthogonaal (zie ook paragraaf 5).
Overigens, er kan bewezen worden:

Stelling 3
Alle hyperbolen die gaan door de hoekpunten van een driehoek èn door het hoogtepunt van die driehoek, zijn orthogonaal.
De verzameling van de middelpunten is de negenpuntscirkel.

Zie ook de pagina "Probleem van Poncelet-Brianchon" en Stelling 5 op de pagina "Euler-cirkels".

5. De asymptoten van de hyperbool van Kiepert begin pagina
Zoals we in paragraaf 4 reeds zagen, liggen op de hyperbool van Kiepert een aantal bijzondere punten.
Ook de asymptoten van de hyperbool zijn bijzondere lijnen (zie figuur 12).

figuur 12 lemoine12.gif (4502 bytes) De lijn door het punt K van Lemoine (symmediaanpunt) en het omcentrum O wordt de Brocard-as genoemd.
De Brocard-as snijdt de omcirkel van de driehoek in de punten P1 en P2.
Nu geldt:

[1]
De lijnen van Simson van de punten P1 en P2 zijn de asymptoten van de Kiepert-hyperbool.

[2]
Het middelpunt van de Kiepert-hyperbool ligt op de negenpuntscirkel
(zie Stelling 3).

Opmerking
Ook uit het feit dat de punten P1 en P2 tegenpunten zijn op de omcirkel, volgt dat de Kiepert-hyperbool orthogonaal is.
[einde Opmerking]

6. Referenties begin pagina

[1] H.S.M. COXETER, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, New York, 1961
[2]    C. KIMBERLING, Triangle Centers and Central Triangles, Utilitas Mathematica Publishing Inc., Winnipeg (Canada); Congressus Numerantium 129, 1998
[3] Clark Kimberling's "Encyclopedia of Triangle Centers - ETC" - University of Evansville, USA
[4] I.M. YAGLOM, Geometric transformations, Vol. 1, pag. 37, Random House, New York, 1962

7. Download
De figuren gebruikt in de CabriJavapplets kunnen in een bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand; ca 4kB).


Met dank aan FLOOR VAN LAMOEN voor zijn opmerkingen en aanvullingen.

[lemoine.htm] laatste wijziging op: 04-07-05