Probleem van Poncelet-Brianchon

Formulering | Oplossing  | Download | Referentie  ][  Euler-cirkels | Meetkunde


1. Formulering van het probleem
Bepaal de meetkundige plaats van de hoogtepunten van de driehoeken die kunnen worden beschreven in een orthogonale hyperbool.

2. Oplossing van het probleem
We kiezen na schaling de orthogonale hyperbool met vergelijking
   xy = 1
Zij nu PQR een willekeurige driehoek die beschreven is in de hyperbool; dwz. PQR is een driehoek waarvan de hoekpunten op de hyperbool liggen.

figuur 1 poncbrian.gif (2269 bytes) Stel de x-coördinaten van de punten P, Q, R zijn opvolgend a, b, c.
De y-coördinaten zijn dan (in dezelfde volgorde) A = 1/a, B = 1/b, C = 1/c.

De richtingscoëfficiënt van de zijde QR is dan (B-C)/(b-c), of als we B en C vervangen:
   (1/b - 1/c) / (b-c) = -1/bc.
De richtingscoëfficiënt van de hoogtelijn op QR is dan bc.
Op basis hiervan is een vergelijking van deze hoogtelijn:
   y - A = bc(x - a)

Of verder uitgewerkt:
   y + abc = bcx + A
   y + abc = bc(x + A/bc)
   y + abc = bc(x + ABC) ...... (1)
Op eenvoudige manier is uit (1) de vergelijking van de hoogtelijn op PR af te leiden:
   y + abc = ac(x + ABC) ..... (2)
De coördinaten van het hoogtepunt H (we stellen ze x' en y') voldoen nu aan de vergelijkingen (1) en (2).
Gelijkstelling van de rechter leden geeft dan eenvoudig voor de x-coördinaat van H:
   x' = - ABC ...... (3)
Voor de y-coördinaat van H geldt dan:
   y' = - abc ...... (4)
Vermenigvuldiging van (3) en (4) geeft dan x'y' = 1.
De coördinaten van het punt H voldoen dus aan de vergelijking xy = 1.
Met andere woorden:
De meetkundige plaats van de hoogtepunten van driehoeken die ingeschreven zijn in een orthogonale hyperbool, is die orthogonale hyperbool zelf. ¨

Opmerkingen
[1]
Op de pagina "Euler-cirkels" is het probleem geformuleerd als (Stelling 5 op die pagina):

[5.1]
Als een orthogonale hyperbool door de hoekpunten van een driehoek gaat, dan ligt het middelpunt van die hyperbool op de cirkel van Euler van de driehoek.
[5.2]
Het hoogtepunt van de driehoek ligt op de hyperbool.

[2]
Op de pagina "Orthogonale hyperbool en driehoek" staat een projectief bewijs van de eigenschappen 5.1 en 5.2.

[3]
Een eerste oplossing van het probleem komt voor in
Annales de Gergonne, vol. XI, 1820-1821
Dit is een in 1810 door Joseph Diaz Gergonne (1771-1859, Frankrijk) gestart wiskundig tijdschrijft.

3. Download
Deze pagina is (in iets gewijzigde vorm) via deze website ook beschikbaar in PDF-formaat.
Download poncbrian.pdf [ca. 16Kb]

4. Referentie

H. DÖRRIE, 100 Great Problems of Elementary Mathematics, Dover Publcations, New York, 1965


begin pagina

[poncbrian.htm] laatste wijziging op: 19-06-01