De lijn van Simson en een enveloppe

Inleiding | Stelling | Lijn | Enveloppe | Hypocycloïde  ][  Meer bijzonderheden | Meetkunde


Zie ook het Cabri-werkblad: De lijn van Simson
Zie ook de pagina "Meer bijzonderheden van de Simson-lijn"
Zie ook de pagina "Generalisatie van de Simson-lijn"
Zie ook de pagina "De lijn van Simson, het punt van Miquel en de lijn van Steiner"
Zie ook de pagina "Over de Simson-lijn van het Steiner-punt en van het Tarry-punt"

0. Inleiding terug

Lijn van Simson
De voetpunten van de loodlijnen uit een punt P op de zijden van een driehoek ABC liggen alle op een lijn (Simson's lijn of ook lijn van Wallace of voetpuntsrechte van P tov. driehoek ABC) dan en slechts dan als het punt P op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt.

Opmerking
Robert Simson (1687-1768, Schotland) zelf heeft met deze lijn niets van doen.
Door onderzoek van J.S Mackay is in 1890 vast komen te staan, dat de bedoelde lijn nergens in het werk van Simson voorkomt. De lijn wordt voor het eerst vermeld door Wallace (William Wallace, 1768-1843, Schotland) in 1799.
[einde Opmerking]


Enveloppe (Fr. enveloppe = wat tot inwikkelen dient). Omhullende, ook wel omhulde. De kromme (het oppervlak), waaraan alle exemplaren van een enkelvoudig oneindig stelsel krommen (oppervlakken) raken, verdient evenzeer den naam omhulde als dien van omhullende.
(Uit: Dr. E.J. Dijksterhuis, Vreemde woorden in de wiskunde, P. Noordhoff N.V., 1948, Groningen)

1. De "stelling van Simson" terug
Voordat we een en ander met betrekking tot de enveloppe van de lijnen van Simson bij een bepaalde driehoek zullen opmerken, kijken we eerst naar de (hier zogenaamde) stelling van Simson (naar analogie van de Simson-lijn vernoemen we deze stelling - Stelling 1 - naar Simson).
Bij het bewijs daarvan maken we gebruik van meetkundige transformaties (een ­nog­ weinig aan bod komend facet van het huidige meetkunde-onderwijs). We bewijzen:

Stelling 1
Zij l een willekeurige lijn in het platte vlak, en zijn l1, l2 en l3 de drie lijnen die symmetrisch liggen met l ten opzichte van de zijden van een gegeven (niet rechthoekige) driehoek ABC.
Zij T daarbij de driehoek die gevormd wordt door de lijnen l1, l2 en l3.
Nu geldt:
(a) Alle driehoeken T, die overeenkomen met verschillende posities van l ten opzichte van driehoek ABC, zijn gelijkvormig.
(b) Alle lijnen l waarbij de lijnen l1, l2 en l3 concurrent zijn in een punt P, gaan door het hoogtepunt H van driehoek ABC, waarbij de meetkundige plaats van de punten P de omgeschreven cirkel is van driehoek ABC.
(c) Alle lijnen l waarbij driehoek T een gegeven oppervlakte heeft, raken aan een cirkel met middelpunt H.

Bewijs: We kijken eerst naar de som (het na elkaar uitvoeren) van twee spiegelingen in twee snijdende lijnen. We zullen aantonen (zie figuur 1):
De som van twee spiegelingen in twee elkaar in O snijdende lijnen die een hoek met elkaar maken is een rotatie met O als centrum over een hoek 2.

figuur 1 Opmerking
Met de functie h(X) of h(AXB) geven we in hetgeen volgt de hoekgrootte aan van hoek X.
[einde Opmerking]

Zij A een willekeurig punt van het vlak, zij A1 het beeld van A in l1 en A' het beeld van A1 in l2. P en Q zijn opvolgend de snijpunten van de spiegelassen en de verbindingslijnstukken AA1 en A1A'. Nu is onmiddellijk duidelijk, dat OA = OA' en dat h(AOA') = 2.h(POQ).

Voor het bewijs van onderdeel (a) van de stelling van Simson kijken we naar figuur 2.

figuur 2 De lijn l2 wordt verkregen uit l1 als som van twee spiegelingen in opvolgend AB en BC. Hierdoor is de hoek tussen l1 en l2 gelijk aan tweemaal de hoek tussen AB en BC. De hoeken van driehoek T worden dus alleen bepaald door de hoeken van driehoek ABC en hangen dus niet af van de positie van de lijn l.
Zou driehoek ABC rechthoekig zijn, dan zijn twee van de lijnen l1, l2 en l3 evenwijdig. Daardoor vormen ze geen driehoek T.

Klik hier Anmatie voor een animatie van deze figuur.

We gaan nu verder met het bewijs van onderdeel (b), dat belangrijk is voor ons doel.
Voordat we dat doen kijken we eerst naar figuur 3.

figuur 3 In figuur 3 gaat de lijn l door het hoogtepunt van de driehoek. De lijnen l1, l2 en l3 zijn de gespiegelden van l in opvolgende de zijden AB, BC en CA.

Uit deze figuur kunnen we het vermoeden afleiden dat de lijnen l1, l2, l3 concurrent zijn in het punt P.
De rode lijn in de figuur is ontstaan door de lijn l om het punt H te laten draaien en daarbij de meetkundige plaats van de punten P te bepalen.
Hier rijst het vermoeden dat dit de omgeschreven cirkel van de driehoek is.

Klik hier Animatie voor een animatie van deze figuur.

We bewijzen beide vermoedens nu.

Bewijs van onderdeel (b)
Neem aan, dat de lijn l geroteerd is om een willekeurig punt M in het vlak.

De zijden van de driehoek T gaan dan altijd door de punten M1, M2 en M3 die symmetrisch liggen met M ten opzichte van de zijden van driehoek ABC; met andere woorden, driehoek T verandert zo, dat hij gelijkvormig blijft met zichzelf., terwijl de zijden steeds door drie vaste punten gaan (zie figuur 4, waarin het rotatiepunt M op de lijn l zelf gelegen is).

In dit geval hebben elk tweetal posities van de driehoek T eenzelfde rotatiecentrum O.

figuur 4 Gaat l1 door dat punt O (dat wil zeggen, dat l door het punt O' gaat dat symmetrisch ligt met O ten opzichte van de zijde AB), dan (en alleen dan) gaat driehoek T over in een punt, waardoor ook de lijnen l2 en l3 door O gaan.

We zien dus dat, in het algemeen, onder de lijnen die door een gegeven punt M gaan er slechts één lijn l is waarvoor l1, l2 en l3 concurrent zijn; als er twee van deze lijnen zouden zijn, zou dat betekenen, dat alle lijnen door M die eigenschap zouden hebben.

Zijn nu M en N twee punten en zijn l en l' de lijnen door die punten waarvoor l1, l2, l3 en l1', l2', l3' door één punt gaan. Als H nu het snijpunt is van l en l', dan geldt dat voor elke lijn door H de overeenkomstige lijnen l1, l2, l3 door één punt gaan.

(De lijnen l en l' kunnen niet evenwijdig zijn, omdat, als l1, l2, l3 door een punt O gaan, en als // l', dan de lijnen l1', l2', l3' evenwijdig zouden zijn aan de overeenkomstige lijnen l1, l2, l3 en op een afstand van O zouden liggen die gelijk is aan de afstand tussen l en l'; daarom kunnen ze niet door één punt gaan).

Als l door H gaat, dan gaan l1 en l2 door de punten H1 en H2 die symmetrisch liggen met H ten opzichte van de zijden van driehoek ABC. Omdat daarbij de hoek tussen l1 en l2 een vaste grootte geeft (zie het bewijs van onderdeel a), zien we dat het snijpunt P van de lijnen l1 en l2 een cirkel S beschrijft (de meetkundige plaats van de punten waaronder het lijnstuk H1H2 gezien wordt onder die vaste hoek).
We hebben dus het bestaan van een punt H aangetoond waarvoor geldt dat voor elke lijn door dat punt H de lijnen l1, l2, l3 door een vast punt gaan.
Er kunnen geen twee punten G en H bestaan, omdat er anders door elk punt M twee lijnen MG en MH zouden zijn waarbij voor elk van beide de overeenkomstige lijnen l1, l2, l3 door één punt zouden gaan.
Om in te zien, dat H het snijpunt is van de hoogtelijnen van driehoek ABC en S de omgeschreven cirkel daarvan is, is het voldoende op te merken, dat de lijnen l1, l2, l3 overeenkomend met de hoogtelijnen van ABC elkaar snijden in de hoekpunten van de driehoek.

Voor de volledigheid van de stelling van Simson geven we ook het bewijs van onderdeel (c), hoewel een en ander voor de rest van dit betoog irrelevant is.

figuur 5 Zie figuur 5.
Zij l een willekeurige lijn en zij l' een lijn die ermee evenwijdig is en gaat door het punt H. De lijnen l1', l2', l3' gaan dan door een punt P.
De afstand van dit punt P tot de lijnen l1, l2, l3 is gelijk aan de afstand van l en l' (zie bewijs van onderdeel b). Deze afstand is dus ook gelijk aan de afstand d van H tot l. De straal van de ingeschreven cirkel van driehoek T is dus gelijk aan d.
Omdat alle driehoeken T gelijkvormig zijn, volgt hieruit, dat de oppervlakte van driehoek T slechts afhangt van de afstand van H tot l.
Bij een vaste oppervlakte van T liggen alle lijnen l dus op een vaste afstand van H. Ze raken dus aan een cirkel met middelpunt H. ¨

2. Over de lijn van Simson terug

figuur 6 simson7.gif (2190 bytes) Gaan we uit van de omgeschreven cirkel van een driehoek, en kiezen we op die cirkel een punt P, dan kunnen we uit dat punt loodlijnen neerlaten op de zijden van de driehoek (of op het verlengde daarvan). De voetpunten van deze loodlijnen liggen dan op een rechte lijn, de lijn van Simson (zoals gezegd, ook wel lijn van Wallace (William Wallace, 1768-1843) of voetpuntsrechte genoemd).

Klik hier Animatie voor een animatie van de lijn van Simson.

We bewijzen nu de volgende stelling

.
Stelling 2
De voetpunten van de loodlijnen neergelaten vanuit een punt P op de zijden van een driehoek ABC liggen op een lijn desda het punt P ligt op de omgeschreven cirkel van ABC.

We geven van deze stelling drie bewijzen:
1. een bewijs gebaseerd op de "Stelling van Simson" (zie Stelling 1)
2. een bewijs dat gebruik maakt van de configuratie van Miquel
3. een bewijs dat een direct gevolg is van de Stelling van Ptolemaeus
4. een bewijs gebaseerd op koordenvierhoeken

figuur 7 Bewijs:

We geven vier bewijzen. In het eerste bewijs wordt gebruik gemaakt van de stelling van Simson; het tweede bewijs is gebaseerd op rotaties.

Eerste bewijs: Zie figuur 7. Zij l' de lijn die ontstaat uit l door vermenigvuldiging met de factor 2 ten opzichte van P.
Als de voetpunten van P tov. de zijden van ABC op de lijn l liggen, dan gaan de lijnen l1', l2', l3' die de gespiegelden zijn van l' in de zijden van ABC, door het punt P.

P moet dus liggen op de omgeschreven cirkel van ABC en l' moet door het hoogtepunt van ABC gaan (zie de stelling van Simson, onderdeel b).

Er bestaat een verband tussen de lijn van Simson en de negenpuntscirkel zoals we in stelling 3 zullen zien.

Tweede bewijs: (zie figuur 8)

figuur 8 Zijn N, L, M opvolgend de voetpunten op de zijden AB, BC, AC. We beschouwen nu de "driehoek" NLM.
Nu is h(PMA) = h(PNA) = 90o; N, M , A en P liggen dus op de Thales-cirkel met middellijn AP.
Dezelfde overwegingen leiden tot: P ligt op cirkel BNL en P ligt op cirkel CLM.
P is nu het punt van Miquel van de configuratie (LMN, ABC).
P is dus het rotatiecentrum van alle driehoeken L'M'N' die gelijkvormig zijn met LMN en waarvan de hoekpunten liggen op de zijden BC, CA en AB van driehoek ABC.

Verder is
(1) h(APB) = h(APN) + h(NPB) = h(AMN) + h(NLB)
omdat APN en AMN alsmede NPB en NLB omtrekshoeken zijn op dezelfde boog van een cirkel.
Maar nu is
h(AMN) = h(MCN) + h(MNC) en h(NLB) = h(NCB) - h(LNC)
zodat
(2) h(AMN) + h(NLB) = ( h(MCN) + h(NCB) ) + ( h(MNC) - h(LNC) ) = h(MCB) + h(MNL)
Vergelijken we nu vergelijking (2) met vergelijking (1) dan vinden we
h(APB) = h(MCB) + h(MNL)
Omdat P op de omgeschreven cirkel van ABC ligt is h(APB) = h(ACB) (omtrekshoeken op dezelfde boog). Dus h(MNL) = 0.
Maar dit betekent, dat M, N en L collineair zijn. ¨

Derde bewijs:
Voor dit bewijs wordt gebruik gemaakt van de gelijkvormigheid van voetpuntsdriehoeken en de stelling van Ptolemaeus.
Klik hier voor dit bewijs.

Vierde bewijs:

figuur 8(e) simson(e).gif (5861 bytes) In de figuur hiernaast zijn U, V, W de projecties van een punt P van de omcirkel van driehoek ABC op de zijden.
De vierhoeken PVCU en PUWB zijn dan koordenvierhoeken.

In PUWB is: h(BUW) = h(BPW) = u

In driehoek PVC is h(C) = h(B), zodat h(CPV) = u.
Immers ook ABPC is een koordenvierhoek.

In PVCU is h(CPV) = h(CUV) = u

Daarmee is: h(CUV) = h(BUW).

En dus liggen de punten U, V en W op dezelfde rechte lijn (overstaande hoeken). ¨

Zoals reeds is opgemerkt, bestaat er een verband tussen de lijn van Simson en de negenpuntscirkel (cirkel van Feuerbach).
We bewijzen

Stelling 3
Het snijpunt van de lijn van Simson en het lijnstuk PH ligt op de negenpuntscirkel.

Bewijs: (zie figuur 9)

figuur 9 Een en ander volgt eigenlijk direct uit het eerste bewijs van de vorige stelling. Daarin wordt de lijn l met de factor 2 vermenigvuldigd met als beeld de lijn l' die dan door H gaat (zie figuur 7). Zij nu Q het midden van PH.
Vermenigvuldigen we nu het punt P met H als centrum en factor ½, dan is het onmiddellijk duidelijk, dat het midden van PH op l ligt. Maar omdat de omgeschreven cirkel bij diezelfde vermenigvuldiging overgaat in de negenpuntscirkel, ligt Q dus ook op de negenpuntscirkel. ¨

Zie ook de pagina "Meer bijzonderheden van de Simson-lijn"

3. Over de enveloppe van lijnen van Simson terug
Wanneer het punt P verplaatst wordt over de omgeschreven cirkel van driehoek ABC wijzigt uiteraard ook de positie van de lijn van Simson.

figuur 10 In figuur 10 is een drietal van deze lijnen (s1, s2, s3) getekend.
Wat er nu precies gebeurt als het punt P de omgeschreven cirkel doorloopt is uit deze figuur nog niet duidelijk.
In hetgeen volgt zal echter blijken dat de lijnen een bijzondere kromme lijn insluiten.

Om meer inzicht te krijgen wat er gebeurt als een punt een cirkel doorloopt waarbij de positie van een lijn afhankelijk is van de positie van dat punt, bekijken we eerst de volgende eenvoudige constructie (zie figuur 11).

figuur 11                                    figuur 12

Binnen een cirkel met middelpunt O kiezen we een vast punt A. Het variabele punt P ligt op de cirkel. m is de middelloodlijn van het lijnstuk AP. We tekenen nu een groot aantal lijnen m bij verschillende posities van het punt P op de cirkel (zie figuur 12). Uit deze figuur blijkt nu, dat de lijnen m een figuur omsluiten.

figuur 13 Alle lijnen m raken aan een kromme lijn; in dit geval is die kromme lijn een ellips met de punten A en O als brandpunten (zie figuur 13).
Een kromme lijn die op deze manier ontstaat, heet enveloppe van de lijn m (omhullende, of wellicht beter omhulde; zie ook de definitie van Dijksterhuis aan het begin van dit artikel).
In figuur 13 is de ellips dus de omhulde van m (met betrekking tot P en de cirkel met middelpunt O).

Klik hier Animatie voor een animatie van deze figuren.

Iets dergelijks zal ook gebeuren met de lijn van Simson, als P de omgeschreven cirkel van de driehoek doorloopt (zie figuur 14 en figuur 15).
In figuur 14 hebben we een aantal posities van de lijn van Simson getekend. In figuur 15 staat alleen de omhulde. De vorm daarvan is alleen afhankelijk van de vorm van de driehoek.
We zien dat de vorm van de omhulde nogal gecompliceerd is. In figuur 15 is ook te zien, dat de zijden van de driehoek aan de omhulde van de lijnen van Simson raken.

figuur 14            figuur 15

Klik hier Ainimatie voor een animatie van de raaklijnen aan de enveloppe (als in figuur 14).

4. Over de hypocycloïde terug
In hetgeen volgt zullen we aantonen, dat de vorm van de omhulde van de lijnen van Simson bij een bepaalde driehoek een zogenoemde hypocycloïde is.

Hypocycloide (zie cycloide). Wanneer een cirkel over een anderen cirkel rolt, terwijl hij dezen inwendig (vd. upo) raakt, beschrijft ieder punt van zijn vlak een kromme, die gewone, verkorte of verlengde hypocycloide heet, al naar gelang het punt op, binnen of buiten den rollenden cirkel ligt. Men noemt tegenwoordig in den regel de gewonen hypocycloide zonder meer hypocycloide en vat de andere twee samen onder den naam hypotrochoide (< Gr. trocVoV = wiel). Wanneer echter de straal van den rollende cirkel groter is dan die van den vasten, spreekt men wel van pericycloide, opv. -trochoide (zie trochoide).
Uit: (Dr. E.J. Dijksterhuis, Vreemde woorden in de wiskunde, P. Noordhoff N.V., 1948, Groningen)

We laten allereerst zien hoe een hypocycloïde ontstaat als meetkundige plaats van een punt op een cirkel die binnen een vaste cirkel rolt (zie figuur 16).
In figuur 16 is C de vaste cirkel. De cirkel C1 rolt aan de binnenkant van deze cirkel, via het "rolpunt".A. We bekijken nu de meetkundige plaats van het punt P dat op de omtrek van C1 ligt. Het rollen van de cirkel C1 over C geschiedt "zonder wrijving". Dit betekent, dat vanuit de startpositie X (van het punt A en het punt P) de lengte van boog XA (op C) gelijk is aan de lengte van boog AP (op C1). In figuur 16 is bij een aantal posities van het punt A (na meer dan één omwenteling) de bijbehorende positie van het punt P weergegeven.

figuur 16            figuur 17

Klik hier Animatie voor een animatie van de hypocycloide als in figuur 16.

In figuur 17 staat de gewone hypocycloïde getekend (het punt P ligt op de rollende cirkel). De verhouding van de stralen van de cirkels C1 en C is in dit geval 1/3. Daardoor is het aantal keerpunten gelijk aan 3.
Wanneer we figuur 15 met figuur 17 vergelijken, dan zien we een duidelijke overeenkomst. Het vermoeden dat er in figuur 15 (bij de omhulde van de lijnen van Simson) sprake is van een hypocycloïde ligt voor de hand. Dit vermoeden wordt wellicht nog sterker, als we de omhulde van de Simson-lijnen construeren als de driehoek gelijkzijdig (zie figuur 18).

figuur 18 Zonder een wiskundig bewijs blijft het echter bij een vermoeden. Daarom zullen we hieronder een dergelijk bewijs laten volgen.

Voor dat bewijs (zie figuur 19) gaan we uit van een cirkel S1 met straal 1 die in het punt P inwendig raakt aan de cirkel S met straal 3. S1 rolt (zonder wrijving) langs de cirkel S. Een punt M op S1 beschrijft nu een hypocycloïde met drie keerpunten.

Voor deze hypocycloïde bewijzen we nu de volgende stelling.

.
Stelling 4
De raaklijn in een punt M van de hypocycloïde (gebaseerd op cirkels waarvan de verhouding der stralen 1/3 is) is een lijn van Simson van een driehoek A'B'C' die gelijkvormig is met de driehoek ABC, waarbij A, B en C de keerpunten zijn van de hypocycloïde.

Bewijs: De lijn s is de raaklijn aan de hypocycloïde in het punt M. Dus PM staat loodrecht op s. De lijn s snijdt daardoor de cirkel ook in het tegenpunt Q van O.
Zijn nu K en K' de snijpunten van s met de lijn NA en de lijn door het punt N1 evenwijdig met NA.
Het punt H is de project van Q op de lijn OA.
Zij nu h(PNA) = j.
Wegen de gelijkheid van de bogen AP en IM is dan h(PN1M) = 3j.
En dus is h(PQM) = 3j / 2 (mod p), waaruit volgt , dat h(KQN) = j/2 (mod p), immers PQM is buitenhoek van driehoek KQN.
Als gevolg hiervan hebben we
(1) QH / HK = tan(j/2).
(2) En dus is QH = sin(j), immers NQ = 1 (= 1/3 van NP).
Uit (1) en (2) volgt dan weer HK = QH / tan(j/2) = sin(j) / tan(j/2).
Omdat sin(j) = 2sin(j/2)cos(j/2) vinden we dan
HK = 2cos2(j/2).
We beschouwen nu de vermenigvuldiging met factor 2/3 en ten opzichte van N. Hierdoor gaat ABC over in driehoek A'B'C.

figuur 19 Zij nu verder A" het snijpunt van NA met de A'B'. Het punt A" is het beeld van het tegenpunt At van A op de omgeschreven cirkel. Dus NA' = 1. Dan is
A"H = A"N + NH = 1 + cos(j) = 2 cos2(j/2).
H is dus het midden van het lijnstuk KA". Omdat Q het midden is van KK', ligt K' dus op B'C'.
Dus K' is de loodrechte projectie van N1 op B'C' of anders gezegd, K' is het voetpunt van de loodlijn uit N1 op B'C'.

Op dezelfde manier (vervanging van A door B of C, en j door j + 2p/3 of j - 2p/3) kunnen we aantonen, dat de voetpunten van de loodlijnen uit N1 op de beide andere zijden van driehoek A'B'C' eveneens op s liggen.
Uit de vermenigvuldiging met 2/3 met centrum O blijkt verder, dat N1 gelegen is op de omgeschreven cirkel van driehoek A'B'C. s is dus de lijn van Simson van N1 bij driehoek A'B'C'. ¨

Gevolg

figuur 20 Dat de zijden van de driehoek aan de omhulde raken, wordt veroorzaakt door een bijzondere ligging van het punt P op de omgeschreven cirkel van de driehoek (zie figuur 20).

Als P namelijk samenvalt met het tegenpunt van een van de hoekpunten van de driehoek (in figuur 20 is P = Ct), dan is de vierhoek APBC een koordenvierhoek waarvan hoek A en hoek B recht zijn. De voetpunten van de hoogtelijnen uit P op de zijden BC en CA vallen dan samen met opvolgend B en A. De zijde AB is in dit geval dus de lijn van Simson behorend bij P. En zo'n lijn raakt immers aan de omhulde.

¤ Zie verder de pagina "Meer bijzonderheden van de Simson-lijn"
¤ Zie ook de pagina "Generalisatie van de Simson-lijn"
¤ Zie ook de pagina "Over de Siimson-lijn van het Steiner-punt en van het Tarry-punt"


De figuren op deze pagina zijn gemaakt met behulp van Cabri Geometry II.

begin pagina

[simson.htm] laatste wijziging op: 29-12-2008