De stelling van Miquel

Overzicht  ][  Meetkunde


0. Overzicht terug

  1. De stelling
         Stelling 1
  2. Punt van Miquel / Stelling 2
  3. Wat meer
         3.1. Oneindig veel Miquel-configuraties / Stelling 3a //  Stelling 3b - formule van Miquel // Stelling 3c - Gelijkvormige driehoeken
         3.2. Een tweede bewijs van Stelling 2
         3.3. De punten P, Q, R zijn collineair / Stelling 4

Zie ook de pagina "Punten van Brocard"
Zie ook
de pagina "Verband tussen de punten van Brocard, het punt van Lemoine en een punt van Miquel".
Zie ook het Cabri-werkblad "Koordenvierhoeken en enkele stellingen van Miquel"

Opmerking - Met h(XOY) wordt op deze pagina de hoek XOY bedoeld; O is hoekpunt.


1. De stelling terug
In 1838 publiceerde Auguste Miquel (Frankrijk) de volgende fraaie stelling.

Stelling 1 terug
Drie cirkels S1, S2, S3 hebben precies n gemeenschappelijk punt N. Elk paar cirkels heeft dan een tweede snijpunt: P, Q, R. A is een willekeurig punt op S1. AP snijdt S2 verder nog in B. BQ snijdt S3 verder nog in C.
Nu zijn A, C en R collineair.
.
figuur 1 De verbindingslijnstukken AB, BC, CA vormen dus een driehoek.

Klik hier Animatievoor een CabriJavapplet van stelling 1.

Klik hier voor het bewijs van Stelling 1.

2. Punt van Miquel terug
De omgekeerde stelling luidt:

Stelling 2 terug
Zij ABC een driehoek. De punten P, Q en R zijn willekeurige punten op (opvolgend) de zijden AB, BC en CA. De cirkels APR, BPQ en CQR gaan door n punt (het punt van Miquel bij de configuratie ABC/PQR).
De driehoek gevormd door de middelpunten van deze cirkels is gelijkvormig met driehoek ABC

We bewijzen eerst stelling 1 (zie figuur 1). Klik hier voor het bewijs van Stelling 2.

Bewijs: Zijn r1, r2, r3 en O1, O2, O3 de stralen en middelpunten van S1, S2, S3.
Het punt B kan verkregen worden uit A door een draaivermenigvuldiging met factor k1 = r2/r1 en over h(O1NO2).; het punt C kan verkregen worden uit B door een draaivermenigvuldiging met factor k2 = r3/r2 over h(O2NO3).
Is nu C' het beeld van C bij een draaivermenigvuldiging met factor k3 = r1/r3 over h(O3NO1). De som van deze drie draaivermenigvuldigingen is een translatie, omdat
k1k2k3 = r2/r1 . r3/r2 . r1/r3 = 1 en h(O1NO2) + h(O2NO3) + h(O3NO1) = 360o.
Deze translatie voert elk punt A van de cirkel S1 dus over in een punt C' van dezelfde cirkel. Dat wil dus zeggen dat S1 op zichzelf wordt afgebeeld. Dus C' wordt uit A verkregen door de identieke afbeelding. Met andere woorden C' = A.

Stelling 1 kan eenvoudig worden uitgebreid tot een willekeurig aantal cirkels die door hetzelfde punt gaan.
Dus, zoals in figuur 2, waarin we vier cirkels zien die elkaar in het gemeenschappelijke punt N snijden.

figuur 2 figuur 3a

Klik hier Animatievoor een CabriJavapplet van figuur 2.

Tenslotte geven we het bewijs van Stelling 2 (zie figuur 3a).

Bewijs van Stelling 2: Als driehoek PQR een gelijkvormigheidstransformatie ondergaat, waarbij de hoekpunten zich bewegen over de zijden AB, BC en CA van driehoek ABC, dan hebben alle posities van PQR een gemeenschappelijk centrum van rotatie dat op de cirkels S1, S2, S3 ligt. Daarom gaan deze drie cirkels door n punt.
Vierhoek ARNP is een koordenvierhoek van S1.
Dus h(APN) + h(ARN) = 180o. Daaruit volgt dat h(APN) = h(CRN).
Zo vinden we dat ook h(CRN) = h(NQB).
Dit heeft tot resultaat dat h(AO1N) = h(BO2N) = h(CO3N). De gelijkbenige driehoeken AO1N, BO2N, CO3N zijn dus gelijkvormig.
O1O2O3 kan dus uit ABC worden verkregen door een draaivermenigvuldiging (met centrum N, hoek O1NA en factor NO1/NA).

Opmerkingen
[1]
Zie de paragraaf "Wat meer" voor een tweede (eenvoudiger?) bewijs van Stelling 2.
[2]
Een bijzondere Miquel-configuratie wordt geleverd door de punten van Brocard.
[3]
Er bestaat een verband tussen het Miquel-punt bij de punten van Brocard en het punt van Lemoine van een driehoek.
Klik hier voor een beschrijving van dat verband.
[4]
De stelling van Miquel kan als uitgangspunt dienen voor een "elementair" bewijs van de stelling van Pascal (voor cirkels).
Klik hier voor het downloaden van een geZIPt Word document waarin bedoeld bewijs gebaseerd op koordenvierhoeken en omtrekshoeken is opgenomen [ca. 38kB].
[einde Opmerkingen]

3. Wat meer terug
3.1. Oneindig veel Miquel-configuraties
We kunnen bij elk punt P in het vlak van driehoek ABC meerdere Miquel-configuraties vinden.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet waarin deze bewering kan worden onderzocht.

We hebben dus:

Stelling 3a terug
Elk punt P bepaalt oneindig veel Miquel-configuraties bij een gegeven driehoek.

Bewijs: zie figuur 3b.

figuur 3b miquel3b.gif (2201 bytes) Bij gegeven P en variabele P1 op de zijde BC kunnen we P3 (op AB) en daarna P2 (op AC) construeren: eerst via de omcirkel van PBP1 (geeft het punt P3) en daarna de omcirkel van PAP3 (geeft P2).
De aangegeven hoeken zijn gelijk.

Een ander gevolg is weergegeven in Stelling 3b.

figuur 3c miquel3c.gif (4533 bytes)
Stelling 3b - formule van Miquel
Er geldt (zie figuur 3c): A2PA3 = A2A1A3 + P2P1P3

Bewijs: (het lijnstuk PP1 is niet getekend)
A2PA3 = A2PP1 + P1PA3 = A2P3P1 + P1P2A3

Maar, met n(X) in de betekenis van nevenhoek van X,

A2P3P1 + P1P2A3  = 180 - n(A2P3P1) + 180 - n(P1P2A3)
 = 360 - ( n(A2P3P1) + n(P1P2A3) )
 (in vierhoek P1P2A1P3) = A1 + P1
Stelling 3c
Alle Miquel-driehoeken bij een gegeven Miquel-punt P zijn direct-gelijkvormig, waarbij P het gelijkvormigheidspunt is.

Bewijs:
Uit Stelling 3b volgt direct, dat de hoeken van driehoek P1P2P3 onafhankelijk zijn van de ligging van de punten Pi; immers, A2PA3 is vast (bij vaste ligging van P); zo ook is A1. Dus ook P1; enz.
Verder geldt: P2P3P = P2A1P = A3A1P, waaruit volgt dat P gelijkvormigheidscentrum is.

3.2. Een tweede bewijs van Stelling 2 terug
We kunnen Stelling 2 ook bewijzen met de eigenschappen van de koordenvierhoek .
Zie figuur 4.

figuur 4 miquel4.gif (2885 bytes) De punten P, Q, R liggen willekeurig op de zijden van driehoek ABC.
O1 en O2 zijn de omcirkels van APR en BQP.
Deze snijden elkaar nogeens in het punt M.
We tonen nu aan, dat de punten CRMQ eveneens concyclisch zijn.
We hebben BQM = x, CRM = y, APM = z.

APMR is een koordenvierhoek: y = z.
BQMP is een koordenvierhoek: x = z.
Dus x = y.
Zodat ook CRMQ een koordenvierhoek is.

In koordenvierhoek APMR is A = bg PMTR.
De punten S en T zijn opvolgend de middens van de bogen PM en MT.
Dus O2O1O3 = bg SMT = bg PMTR = A.
Evenzo bewijzen we dat de andere hoeken van driehoek O1O2O3 gelijk zijn aan hoek B en koek C.
Driehoek O1O2O3 is dus gelijkvormig met driehoek ABC.  

Opmerking
In het tweede bewijs van stelling 2 is gebruik gemaakt van het feit, dat het punt M binnen driehoek ABC ligt.
Ook als M buiten de driehoek ligt (zie figuur 5), of als de punten P, Q, R op het verlengde van de zijden liggen blijft de stelling gelden.

Klik hier Animatie voor een animatie van het bovenstaande.

figuur 5 miquel5.gif (2824 bytes) Nu is z = t en z = x, zodat x = t.
s = 180 - x
y = 180 - t
zodat y = s.
Waaruit weer volgt, dat CQRM een koordenvierhoek is.

[einde Opmerking]

3.3. De punten P, Q en R zijn collineair terug
Natuurlijk is stelling 2 ook juist als de punten P, Q, R collineair zijn (zie figuur 6).

figuur 6 miquel6.gif (2752 bytes) Bij driehoek ABC is de Miquel-configuratie (PQR, ABC) getekend.
Het punt M is het punt van Miquel van deze configuratie.

Beschouw nu driehoek PBQ.
De punten A, C en R zijn punten op de zijden van deze driehoek.
De Miquel-cirkels van deze configuratie zijn:
BCA, QRC en PRA.
De beide laatste cirkels gaan door het punt M.
Cirkel ABC, de omcirkel van driehoek ABC, gaat dus ook door M! 

We kunnen dit ook algemeen formuleren:

Stelling 4 terug
De omcirkels van de driehoeken die gevormd worden door vier elkaar snijdende lijnen (niet in n punt), hebben een gemeenschappelijk snijpunt.
Dit punt heet wel het punt van Miquel van de volledige vierhoek.

Opmerking
Zie voor een ander bewijs van Stelling 4 de pagina "Draaivermenigvuldiging".
[einde Opmerking]

Toelichting

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet van stelling 4.

figuur 7 miquel7.gif (3014 bytes) Zij P het gemeenschappelijk punt van de omcirkels van de driehoeken.
De loodlijnen uit P op de vier lijnen hebben de snijpunten W, X, Y, Z met die lijnen.

Voor driehoek 134 is XZW de Simson-lijn van P.
Voor driehoek 124 is XYW de Simson-lijn van P.
De punten W, X, Y, Z zijn dus collineair.

Deze lijn is de lijn van Simson van elk van die driehoeken.
Deze lijnen vallen dus bij een volledige vierhoek samen.

Opmerking
Zie ook de pagina "De lijn van Simson, ...".
[einde Opmerking]

[einde Toelichting]


De afbeeldingen en animaties op deze pagina zijn gemaakt met behulp van Cabri Geometry II.

begin pagina
[miquel.htm] laatste wijziging op: 18-04-2004