Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Het punt van Fermat en de driehoek van Napoleon


Formulering van het probleem
We gaan uit van een driehoek waaraan als enige beperking wordt opgelegd, dat alle hoeken kleiner moeten zijn dan 120º.
We zoeken binnen de driehoek een punt F waarvoor som van de afstanden tot de hoekpunten zo klein mogelijk is (zie figuur 1).

figuur 1  fermnap1.gif (1708 bytes)

Opdracht 1

Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

Intermezzo 1
In hetgeen volgt zullen we een aantal malen op een lijnstuk een gelijkzijdige driehoek moeten construeren.
Een macro hiervoor wordt hieronder beschreven.

figuur 2a  fermnap2.gif (973 bytes)

De macro:GelijkzDriehoek staat nu ook in het Macro-menu.

Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Verder zoeken - het punt van Fermat
Het probleem bij het vinden van de minimale waarde van Fsom ligt voor een deel in het feit, dat de drie lijnstukken eenzelfde eindpunt (namelijk het punt F) hebben.
We construeren daarom een figuur waarin FA + FB + FC op en andere manier kan worden bekeken.

figuur 2b  fermnap3.gif (2654 bytes)

In figuur 2b is driehoek ABC’ een gelijkzijdige driehoek die "uitwendig" beschreven is op de zijde AB.
Driehoek BFF’ is eveneens gelijkzijdig en "naar buiten" beschreven op het lijnstuk BF.

Kies nu weer het werkblad waarop een gedeelte van figuur 2 staat (je eerste werkblad; via het Venster-menu).

We noemen het punt binnen de driehoek waarvoor de som van de afstanden tot de hoekpunten van de driehoek minimaal is, het punt van Fermat van de driehoek (ook wel Fermat-punt; naar Pierre de Fermat, 1601-1665).
Het Fermat-punt van een driehoek wordt ook wel het punt van Torricelli (Evangelista Torricelli, 1608-1647) genoemd. Het probleem is namelijk door Fermat ter oplossing aan Torricelli voorgelegd.
De oplossing van Torricelli is in 1659 gepubliceerd door Viviani, een leerling van Toricelli.

Opdracht 2 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

We zullen nu proberen een constructie van de ligging van het punt F te vinden (en niet een benadering ervan, zoals hierboven).

Opdracht 2

figuur 3 fermnap4.gif (2455 bytes)

Ga ervan uit dat de punten F en F’ op het lijnstuk CC’ liggen (zie figuur 3)

Opdracht 2 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 3
Op basis van opdracht 2 kunnen we nu het Fermat-punt van een driehoek ABC construeren.
Hieronder staan de constructiestappen.

Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Intermezzo 2
Voor het tekenen van de omgeschreven cirkel (omcirkel) van een driehoek is het gebruik van een macro erg handig, temeer daar dat in hetgeen volgt nog een enkele keer voorkomt.
Wellicht staat op de disk(ette) die je gebruikt, al een dergelijke macro. Mogelijke namen zijn CIRCSCR.MAC, OMCIRKEL3P.MAC of CIRKEL3P.MAC (zie ook de pagina macro:Omcirkel3P)
Je kunt die macro opnemen in je huidige constructie via het Bestand-menu.

De macro staat daarna als laatste in het Macro-menu.

Opdracht 4 (facultatief)
Je kunt natuurlijk de macro ook zelf construeren.

figuur 4 fermnap5.gif (1276 bytes)

De macro:Omcirkel3P is nu te vinden in het Macro-menu van je huidige constructie.

Een eigenschap van het Fermat-punt
Hierboven (in opdracht 3) is het Fermat-punt van driehoek ABC gevonden met behulp van een gelijkzijdige driehoek op de zijde AB.
Natuurlijk had je daarvoor ook een gelijkzijdige driehoek op de zijde BC of op de zijde CA kunnen kiezen (zie figuur 5).

figuur 5 fermnap6.gif (2684 bytes)

Opdracht 5 - isogonaal punt

Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Merk op, dat nu hoek AFB = hoek BFC = CFA = 120º.
Het punt F heet vanwege deze eigenschap ook wel het isogonaal punt van de driehoek: elke zijde wordt vanuit F onder dezelfde hoek (nl. 120º) gezien.

De Napoleon-driehoek van een driehoek
We bekijken nu de driehoek met als hoekpunten de middelpunten van de omcirkels van de buitenwaarts op de zijden van driehoek ABC beschreven gelijkzijdige driehoeken (zie driehoek PQR in figuur 6).

figuur 6 fermnap7gif.gif (2708 bytes)

Deze driehoek heet de Napoleon-driehoek van driehoek ABC.
De driehoek is inderdaad genoemd naar de Franse keizer Napoleon Bonaparte (1768-1821). Verondersteld wordt dat deze in ieder geval enige belangstelling heeft gehad voor de wiskunde.

Opdracht 6

Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Tenslotte: rekenen aan Fsom
Natuurlijk is de waarde van Fsom afhankelijk van de lengtes van de zijden van de driehoek.
Stel a, b, c zijn de lengtes van de zijden van de driehoek. Verder is O de oppervlakte van driehoek ABC.


Download
De in het werkblad gebruikte Cabri-figuren kunnen via deze website in één bestand worden gedownload (de naamgeving van de figuren in dit bestand wijkt af van de naamgeving in dit html-werkblad).

Naast de figuren zijn ook de gebruikte macro's in het bestand opgenomen, alsmede enkele figuren waarin andere eigenschappen van het Fermat-punt en de Napoleon-driehoek worden getoond.
Ook zijn figuren opgenomen met de stelling van Thébault, de stelling van Van Aubel (zie de betreffende webpagina) en de stelling van Napoleon-Barlotti, die deels terug te voeren zijn op constructies en eigenschappen die behandeld zijn in dit werkblad.
Klik hier om het downloaden van het bestand te starten [34Kb, ZIP-formaat].

Het werkblad zelf is ook in PDF-formaat beschikbaar:
pdf.gif (272 bytes) fermatnapo.pdf [65Kb]


begin pagina
[fermatnapo.htm] laatste wijziging op: 13-02-2009 (27-12-2004)