Complex bewijzen - 4

Overzicht  ][  Complexe vlak | Meetkunde


Overzicht van deze pagina terug

Naar pagina 1 | Naar pagina 2 | Naar pagina 3

  1. (Generalisering van de) Negenpuntscirkel
       10.1 Negenpuntscirkel
       10.2 Generalisering cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Referenties

Naar pagina 5

10. (Generalisering van de) Negenpuntscirkel terug
Zie ook de pagina "Over de cirkel van Feuerbach en de lijn van Euler".
Zie ook de pagina "Euler-cirkels".

10.1. Negenpuntscirkel terug
We kiezen A, B, C op de eenheidscirkel; de affixen van zijn opvolgend a, b, c.
Hierdoor is |a| = |b| = |c| = 1.

bewijs41.gif (3958 bytes) We stellen nu h = a + b + c (voor het punt H, dat nu nog geen hoogtepunt is).
Nu is h - a = b + c. Het punt H ligt dus op de loodlijn door A op BC, en wel zo, dat |h - a| = 2OD, immers d = (b+c)/2.
H ligt ook op de loodlijn uit B op CA (h - b = a + c) en op de loodlijn uit C op AB (h - c = a + b).
h is dus de affix van het hoogtepunt van driehoek ABC.
Zij nu N het midden van OH, met n = .h = (a+b+c).
ND = |n - d| = |(a+b+c) - (b+c)| = |a|/2 = .
Ook de afstand van N tot het midden van beide andere zijden is dan .
## N is dus het middelpunt van de cirkel door de middens van de zijden van de driehoek.

Zij p (de affix van) het midden van AH. Dus p = (a + h)/2.
NP = |h - (a + h)| = |a|/2 = .
## De bedoelde cirkel gaat ook door de middens van de "bovenste" hoogtelijnstukken.

a' is (de affix van) het tweede snijpunt van de hoogtelijn uit a met cirkel abc.
aa' _|_ bc. Dus (a - a') / (b - c) is imaginair.
Zodat bewijs4f1.gif (772 bytes)
Vervangen we hierin a_ door 1/a, dan krijgen we:
bewijs4f2.gif (1457 bytes)
zodat 1 + bc/aa' = 0, waaruit we vinden a' = -bc/a.
Nu is
BA' = |b + bc/a| = |b/a|.|a+c| = |a+c|
BH = |b - (a+b+c)| = |-a-c| = |a+c|.
Driehoek BHA' is gelijkbenig. Voor het midden E (met affix e) van HA' hebben we dan:
e = (h + a') = (h - bc/a)
NE = |h - h + (bc)/(2a)| = (|b|.|c| / (2|a|) = .
## De bedoelde cirkel gaat dus ook door de voetpunten van de hoogtelijnen van de driehoek.

We hebben dus bewezen:

Stelling 11
Van een driehoek liggen de middens van de zijden, de middens van de bovenste hoogtelijnstukken en de voetpunten van de hoogtelijnen (op de zijden) op een cirkel (negenpuntscirkel of cirkel van Feuerbach).

Samengevat
We hebben nu in een willekeurige driehoek A1A2A3 op de eenheidscirkel de volgende relaties:

middelpunt 0
zwaartepunt = 1/3(a1 + a2 + a3)
middelpunt negenpuntscirkel = 1/2(a1 + a2 + a3)
hoogtepunt = a1 + a2 + a3
straal omcirkel = 1/2

Zie ook Pagina 5 (Over bissectrices) voor de Stelling van Feuerbach.

10.2. Generalisering terug

bewijs42.gif (4885 bytes) We gaan nu uit van vier punten Ai (i = 1, 2, 3, 4) op de eenheidscirkel.
Kiezen we telkens drie punten hieruit, dan krijgen we vier driehoeken (die alle de eenheidscirkel als omcirkel hebben).
We vinden voor de negenpuntscentra Fj met affix fj:
van A1A2A3: f4 = 1/2(a1 + a2 + a3)
van A1A2A4: f3 = 1/2(a1 + a2 + a4)
van A1A3A4: f2 = 1/2(a1 + a3 + a4)
van A2A3A4: f1 = 1/2(a2 + a3 + a4)

Voor het punt F met affix f = 1/2(a1 + a2 + a3 + a4) geldt nu:
|f - f1| = |f - f2| = |f - f3| = |f - f4| = 1/2
De negenpuntscirkels van de genoemde driehoeken gaan dus alle door het punt F, maw. de punten Fj liggen op een cirkel met middelpunt F en straal 1/2.
Deze cirkel wordt wel de Euler-cirkel van A1A2A3A4 genoemd. Het middelpunt van de cirkel heet wel het Euler-punt van de vierhoek.

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet bij het bovenstaande.

Opmerking
Zie ook de pagina "Euler-cirkels" op deze website.
Daar wordt een meer meetkundige behandeling van bovenstaande en volgende eigenschap gegeven.
Zie ook de pagina "Koordenvierhoeken", paragraaf 2.2.2. Voetpuntsrechten en negenpuntscirkels.
[einde Opmerking]

bewijs43.gif (5101 bytes) We kunnen natuurlijk ook hier verder gaan.
Uitgaande van  vijf punten op de eenheidscirkel kunnen we bij keuze van telkens vier punten vijf vierhoeken kiezen, elk met een Euler-cirkel.
De middelpunten van deze Euler-cirkels liggen weer op een cirkel, de Euler-cirkel van de vijfhoek A1A2A3A4A5 (met ook weer straal 1/2).

Klik hier Animatie voor een CabriJavapplet bij het bovenstaande.

En zo we kunnen doorgaan ...

11. Referenties terug
[1] J.L. Coolidge, A treatise on the circle and the sphere, Chelsea Publishing Company (New York, 1971)
[2] Liang-shin Hahn: Complex Numbers and Geometry, MAA, 1994
[3] M. Koecher, A. Krieg: Ebene Geometrie, Springer Verlag, 2000
[4] Wells, D: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, Penguin (Londen, 1991)
[5] Y.M. Yaglom, Geometric Transformations II, Random House (New York, 1968)


Klik hier voor de volgende pagina
begin pagina

[bewijs4.htm] laatste wijziging op: 12-05-02