Complex bewijzen - 5 (Over bissectrices)

Overzicht  ][  Complexe vlak | Meetkunde


Overzicht van deze pagina terug

Naar pagina 1 | Naar pagina 2 | Naar pagina 3 | Naar pagina 4

  1. Het midden van een cirkelboog cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Bissectrices van een driehoek
  3. Straal van de incirkel en van de uitcirkels (Stelling van Feuerbach)
       14.1. Incirkel
       14.2. Uitcirkels

12. Het midden van een cirkelboog terug
We kiezen de punten A en B (affixen a en b) op de eenheidscirkel.
De punten met affixen a2 en b2 liggen dan ook op die cirkel.
De beide middens M van de bogen tussen a2 en b2 geldt dan m = ab en m = -ab.
Echter, de plaats van bijvoorbeeld m = ab op de kleinste of op de grootste boog ligt niet vast, immers de berekening verloopt via de argumenten modulo p.

Klik hier Aninatie voor een CabriJavapplet waarin dat wordt geïllustreerd.

13. Bissectrices van een driehoek terug
We kiezen de punten A, B, C op de eenheidscirkel (affixen a2, b2, c2).
We tekenen de bissectrices van de hoeken die elk gaan door het midden van die boog tussen de beide andere hoekpunten die het betreffende hoekpunt niet bevat.
We kiezen de ligging zo, dat de snijpunten van de bissectrices met de eenheidscirkel opvolgend zijn:
   -bc, -ca, -ab.
Voor de vergelijking van de bissectrice van A vinden we dan (zie paragraaf 6.5):
   x - a2bcx_ = a2 - bc ......(1)
Voor die van de bissectrice van B vinden we analoog:
   x - b2cax_ = b2 - ca ......(2)
Oplossing van het stelsel (1) en (2) naar x geeft:
   (b - a)x = a2b - b2c - ab2 + ac2 ......(3)
Duidelijk is dat het rechter lid van (3) deelbaar is door (b - a), waardoor
   x = -ab - bc - ca
Deze oplossing is symmetrisch.
Het snijpunt, dat we aangeven met I, ligt dus ook op de derde bissectrice van de driehoek.¨

We hebben dus bewezen:

Stelling 12
De (binnen)bissectrices van driehoek ABC zijn concurrent in I.
Het punt I is het middelpunt van de incirkel van de driehoek.
.
bissec2.gif (4098 bytes) Gevolg
Bekijken we de oplossing
   x = -ab - bc - ca
dan zien we dat I tevens het hoogtepunt is van de driehoek met als hoekpunten de "voetpunten" van de bissectrices op de omcirkel
(zie Samenvatting na Stelling 11; en zie ook de punten A',B',C' in onderstaande figuur).

De punten bc, ca, ab zijn de tegenpunten van deze hoekpunten op de eenheidscirkel (in onderstaande figuur aangegeven met A", B", C").
Het zijn de snijpunten van de buitenbissectrices van de hoeken van ABC met de omcirkel.

bissec3.gif (5904 bytes) Voor de punten A", B", C" hebben we:
A": z = bc
B": z = ca
C": z = ab
Een vergelijking van de lijn BB" is nu:
x + b2cax_ = b2 + ca ......(4)

We hadden reeds:
BI :    x - b2cax_ = b2 - ca
waarmee de loodrechte stand van BI en BB" nog eens bevestigd wordt.

De vergelijking van CC":
x + c2abx_ = c2 + ab ......(5)
Oplossing van (4) en (5) naar x geeft de affix van het punt Ia.

bissec4.gif (6071 bytes) We vinden:
Ia: z = -bc + ca + ab
Evenzo:
Ib: z = -ca + ab + bc
Ic: z = -ab + bc + ca

Opmerking
We zien hieruit dat ook Ia, Ib, Ic hoogtepunten zijn, en wel van opvolgend de driehoeken A'B"C", B'C"A", C'A"B".
[einde Opmerking]

14. Straal van de incirkel en van de uitcirkels (Stelling van Feuerbach) terug
   14.1 Incirkel
   14.2 Uitcirkels

Bij berekeningen komen de volgende "afkortingen" soms goed van pas:
s = a + b + c
t = ab + bc + ca
u = abc

14.1. Incirkel terug
BC: x + b2c2x_ = b2 + c2 ......(6)
De loodlijn hierop door I (z = - t) : x - b2c2x_ = -t + b2c2t_ ......(7)
Nu is t_ = 1/ab + 1/bc + 1/ca = c/u + a/u + b/u = s/u = s/abc
Zodat (7) overgaat in
   x - b2c2x_ = -t + bcs/a ......(8)
Oplossing van (6) en (8) naar x geeft de affix van het raakpunt van de incirkel op BC:
   z = ½(b2 + c2 - t +bcs/a)
Voor de straal r van de incirkel vinden we dan:
   bissecf1.gif (3972 bytes) ......(9)
Nb. Hierbij hebben we gebruik gemaakt van het feit dat |u| = 1.
Zij nu N het middelpunt van de negenpuntscirkel.
Dan is:
bissecf2.gif (2372 bytes) ......(10)
Bij de laatste afleiding is gebruik gemaakt van s_ = 1/a + 1/b + 1/c = t/u.
Voor d = NI vinden we uit (9) en (10):bissecf3.gif (516 bytes)
Nu is d < 1/2, zodat
r = 1/2 - d geeft d = 1/2 - r
¨

We hebben nu bewezen:

bissec5.gif (3120 bytes)

Stelling 13
De incirkel en de negenpuntscirkel van een driehoek raken elkaar inwendig.
bissec6.gif (4807 bytes) 14.2. Uitcirkels terug
Vervangen we in het bewijs voor de incirkel a door -a, dan gaan we uit van het punt Ia.
Geheel analoog volgt dan, dat de uitcirkel Ia (uitwendig) raakt aan de negenpuntscirkel. Dit geldt dan ook voor cirkel Ib en cirkel Ic.
Zodat:
 
Stelling 14
De uitcirkels en de negenpuntscirkel van een driehoek raken elkaar uitwendig.

Stelling 13 en 14 vormen samen de Stelling van Feuerbach.

Klik hier voor een synthetische behandeling van de Stelling van Feuerbach.


[bissec.htm] laatste wijziging op: 16-05-02

begin pagina