Ellips-constructies met Cabri [8]

Ellipsograaf  |  Constructie  |  Bewijs  ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

vorige Vorige begin Begin

8. Ellipsograaf
Vermoedelijk op basis van de door Johan de Witt (1625-1672) gegeven (zie paragraaf 5) definitie is door Frans van Schooten de Jongere (1615-1660) een apparaat ontwikkeld waarmee een ellips kan worden getekend; dit apparaat staat bekend onder de naam "ellipsograaf van Van Schooten" (zie figuur 8a en figuur 8b).

figuur 8a ellips8a.gif (9840 bytes)      figuur 8b ellips8b.gif (6146 bytes)

Twee stangen zijn in het punt B scharnierend aan elkaar verbonden. In het punt E is een schrijfstift bevestigd.
Het eindpunt A van de ene stang is scharnierend bevestigd in de oorsprong. Het punt D van de andere stang kan alleen horizontaal worden bewogen langs een lat KL..
In het "Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione Scientifica" te Modena (ItaliŰ) bevindt zich ook een dergelijk apparaat (zie figuur 9).

figuur 9 ellips9.jpg (8238 bytes)

Constructie
We kunnen in Cabri een model van deze ellipsograaf maken.
In figuur 8a kan het punt D op KL precies de lengte van AB+BD afleggen.
De maximale lengte van KL is dus 4 . AB.

figuur 10 ellipsd10.gif (1721 bytes)

De ellips wordt nu bepaald door de punten E en E’, als het punt D het lijnstuk KL doorloopt.
Nb.
Cabri tekent ook een lijnstuk door A loodrecht op de lijn KL.

Klik hier Animatie voor een animatie bij deze constructie.

Bewijs
Ook nu is een bewijs op zijn plaats.
Stel de co÷rdinaten van het punt D (op de lijn KL) zijn (2d,0).
Stel X ligt op BD, zodat DA=ka (zie figuur 11):

figuur 11 ellipsd11.gif (1243 bytes)

Voor de co÷rdinaten van het punt B hebben we dan:

   ellipsf16.gif (1247 bytes)

Hieruit volgt dan ellipsf17.gif (1167 bytes).

Voor het punt E volgt hieruit, vanwege de verhouding : 1 op het lijnstuk DB:

(8.1) ... ellipsf18.gif (1356 bytes)waaruit dus volgt: ellipsf19.gif (1266 bytes).

Eliminatie van d uit deze laatste betrekkingen levert dan de vergelijking van de ellips:

   ellipsf20.gif (1142 bytes)of ellipsf21.gif (1199 bytes).

Opmerkingen
[1]
Voor k = 1 (het punt E valt dan samen met B) gaat deze vergelijking in:
   ellipsf22.gif (1039 bytes)
Dit is de vergelijking van de cirkel met middelpunt A en straal a.
[2]
Voor k = 2 is de betrekking niet gedefinieerd.
In dit geval geldt ellipsf23.gif (1195 bytes); zie betrekking (8.1).
De meetkundige plaats van de punten E is in dit geval dus de y-as.
[einde Opmerkingen]


begin pagina

vorige Vorige begin Begin

[ellips8.htm] laatste wijziging op: 08-06-2000