Ellips-constructies met Cabri [5]

Constructie  |  Bewijs   ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

5. Constructie gebaseerd op de verplaatsing van een lijnstuk (met vaste lengte) over twee snijdende lijnen
Johan de Witt (1625-1672), raadpensionaris van de Staten van Holland, voegt op 8 oktober 1658 aan een brief aan Frans van Schooten de Jongere (1615-1660) "eene aenspraecke aan UE" toe, waarin (in vertaling van Dr.A.W.Grootendorst) hij schrijft:

"Toen ik echter de leerboeken van de overige kromme lijnen -voorzover deze door de Ouden zijn overgeleverd en door jongeren zijn verklaard- nauwkeurig had bestudeerd, achtte ik het volslagen in te gaan tegen de natuurlijke orde -die men in de wiskunde zoveel mogelijk in acht moet nemen- dat men de oorsprong van deze krommen zoekt in een ruimtelijk lichaam en deze vervolgens overbrengt naar het platte vlak."

De Witt stoorde zich blijkbaar aan het feit, dat de bekende kegelsneden door de Grieken (onder wie Apollonius van Perga) de vlakke krommen via ruimtelijke beschouwingen genereerden, namelijk als doorsnijding van een kegel en een plat vlak.

In zijn boek "Elementa Curvarum Linearum" (Grondbeginselen van de Kromme Lijnen -voor het eerst uitgegeven in 1659 door Frans van Schooten de Jongere, als bijlage bij een vertaling van René Descartes' "La Géométrie") geeft Johan de Witt als eerste definities van de kegelsneden zonder daarbij gebruik te maken van een kegel (klik hier voor een samenvatting van de Elementa).

We geven de "definitie" van De Witt (opnieuw in vertaling van Dr.A.W. Grootendorst):

"Stel dat van een willekeurige rechthoekige driehoek één zijde - of deze nu de rechte hoek onderspant of tegenover één van de scherpe hoeken ligt - in deze hoek zodanig beweegt, dat elk eindpunt van deze bewegende zijde steeds ligt en blijft liggen op de zijde waarmee dit vanaf het begin verbonden was, terwijl deze zo nodig of naar de ene kant of naar de andere kant verlengd is.

Laat verder deze beweging voortgezet worden zowel over de nevenhoeken als over de overstaande hoek van de eerder genoemde hoek totdat de bewegende zijde is teruggekeerd in de beginstand.

Laat tenslotte door een willekeurig punt op deze lijn, of eventueel het verlengde daarvan, een kromme worden beschreven: […]"

Stelling
Indien de eindpunten A en B van een lijnstuk met vaste lengte opvolgend op de benen l en m van een hoek liggen en op het lijnstuk (of het verlengde ervan) een punt X ligt, dan is de meetkundige plaats van de punten X een ellips, als de punten A en B de lijnen l en m doorlopen.

Opmerking

figuur 5a ellipsd5.gif (1119 bytes)

De Witt gaat uit van een rechthoekige driehoek. Maar ook met een willekeurige driehoek wordt een ellips gegenereerd.
[einde Opmerking]

We geven hieronder weer de Cabri-constructiestappen voor een rechthoekige driehoek ABC.
Zie figuur 5b.

figuur 5b ellipsd5b.gif (3415 bytes)

Klik hier Animatie voor een animatie bij deze constructie.

Bewijs:
We geven het bewijs op de moderne manier.

figuur 5c ellipsd5c.gif (942 bytes)

A(a,0) en B(0,b) zijn punten op opvolgend de x- en y-as. Stellen we de vaste lengte van AB gelijk aan p, dan is
(5.1) … a2 + b2 = p2.
Zij X op (het verlengde van) AB zo gelegen, dat BX = kBA.
Voor de coördinaten van het punt X hebben we dan (zie figuur 5c):
   ellipsf12.gif (1743 bytes)
Hieruit vinden we
   ellipsf13.gif (1740 bytes)
Substitueren we dit in de betrekking (5.1), dan krijgen we, met weglating van de index X:
   ellipsf14.gif (1145 bytes)
Deling door p2 geeft dan:
   ellipsf15.gif (1207 bytes)
En dit is de vergelijking van een ellips.


begin pagina

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

[ellips5.htm] laatste wijziging op: 11-09-2010 (23-02-2000)