Sinus, cosinus en tangens als functies
Goniometrische functies

Overzicht  ][  DK & Analyse


Zie ook de pagina "Cyclometrische functies"
Zie ook de pagina "Over de secans en cosecans"

Overzicht

  1. Sinus-functie cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Cosinus-functie cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. Tangens-functie cabrisignal.gif (160 bytes)
  4. Eigenschappen
         4.1. Goniometrische verhoudingen en goniometrische functies
         4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
         4.3. Enkele eigenschappen van de cosinus-functie
         4.4. Enkele eigenschappen van de tangens-functie
         4.5. Stelling van Pythagoras voor de goniometrie
  5. Functiewaarden cabrisignal.gif (160 bytes)
  6. Vreemde woorden
  7. Afgeleiden

1. Sinus-functie terug
We gaan uit van een cirkel met straal 1 waarvan het middelpunt op de x-as ligt (eenheidscirkel).
De omtrek van de cirkel is dus gelijk aan 2p.
Op de cirkel kiezen we een punt A dat tegen de wijzers van de klok in over de cirkel beweegt. Het startpunt van A is het punt O (zie figuur 1).
We kiezen nu een punt X op de x-as waarvoor geldt dat OX = lengte van de boog OA.
Het punt X legt daardoor op de x-as dezelfde afstand af, als het punt A op de cirkel.

figuur 1 We meten nu de afstand van het punt A tot de horizontale middellijn van de cirkel.
Dat is dus de lengte van het lijnstuk AB, waarbij we de afstand negatief rekenen als A onder de horizontale middellijn ligt.

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

Het punt P beschrijft nu een kromme lijn, een zogenoemde sinusoïde.

Dit is de grafiek van de functie f(x) = sin x.

Klik hier Animatie voor een animatie van het bovenstaande.

We hebben dus gevonden voor waarden van x tussen 0 en 2p:

figuur 2a

We breiden het domein van de sinusfunctie uit tot alle reële waarden van x door de functie periodiek te maken.
Een dergelijke uitbreiding verkrijgen we door de definitie

   sin(x + k 2p) = sin x  voor k = ±1, ±2, ±3, ...

Het getal 2p heet de periode van de functie.
De grafiek van sin x heeft daardoor dus de volgende gedaante

figuur 2b f(x) = sin x

2. Cosinus-functie terug

figuur 3 Voor het verkrijgen van de functie cos x gaan we op dezelfde manier te werk als bij de sinusfunctie.
Echter nu nemen we voor AB de afstand van het punt A tot de verticale middellijn van de cirkel. Daarbij kiezen we deze afstand positief als A rechts van die middellijn ligt en negatief als A er links van ligt (zie figuur 3).

In dit geval beschrijft het punt P ook een kromme lijn. Deze is gelijkvormig met die welke we gevonden hebben bij de sinusfunctie. Het is dus eveneens een sinusoïde.

Het is in dit geval echter de grafiek van de functie f(x) = cos x.

Klik hier Animatie voor een animatie van deze functie.

Hier vinden we dus, eveneens voor waarden van x tussen 0 en 2p:

figuur 4a

Ook van deze functie breiden we het domein uit tot alle reële getallen met

   cos(x + k . 2p) = cos x  voor k = ±1, ±2, ±3, ...

De cosinus-functie is dus eveneens een periodieke functie. Het getal 2p heet de periode van de functie.
Daardoor heeft de grafiek van cos x de volgende gedaante:

figuur 4b f(x) = cos x

Opmerking
De sin-functie en de cos-functie behoren tot de verzameling zogenoemde goniometrische functies.
[einde Opmerking]

3. Tangens-functie terug
Naast de sin- en cos-functie definiëren we op dezelfde manier als hierboven nog een derde goniometrische functie, nl. de tangens-functie of kortweg de tan-functie.

figuur 5 We trekken nu een lijn door het middelpunt van de eenheidscirkel en het variabele punt A. Deze lijn snijdt de yas in het punt A'. Als y-coördinaat van het punt P nemen we dit keer de lengte van het lijnstuk A'O. Als A' boven de x-as ligt nemen we de positieve waarde; ligt A' daarentegen onder de x-as dan kiezen nemen we de y-coördinaat negatief.

Ook nu beschrijft het punt P een kromme lijn (dit is echter geen sinusoïde!)..

Dit is de grafiek van de functie f(x) = tan x.

Klik hier >Animatie< voor een animatie van deze functie.

We hebben dus gevonden voor waarden van x tussen 0 en 2p:

figuur 6a

Merk echter op, dat voor de waarden x = ½p (A heeft een kwart cirkel doorlopen) en x=1½p (A heeft driekwart cirkel doorlopen) de lijn door het middelpunt en A evenwijdig loopt met de y-as. In dit geval bestaat het punt A' dus niet.
De tan-functie is niet gedefinieerd voor de waarden x = ½p en x=1½p.

Ook van de tan-functie breiden we het domein uit voor alle reële waarden van x. Dit keer met

   tan(x + k . p) = tan x  voor k = ±1, ±2, ±3, ... en uiteraard x + k . p ¹ ½p en ¹p.

De tangens-functie is dus een periodieke functie met een periode gelijk aan p.
Daardoor heeft de grafiek van tan x de volgende gedaante:

figuur 6b f(x) = tan x

4. Eigenschappen terug
4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies terug
We zullen hieronder nagaan welk verband er bestaat tussen de goniometrische verhoudingen die gedefinieerd zijn in een rechthoekige driehoek en de hierboven besproken functies.
Deze goniometrische verhoudingen, die dezelfde namen hebben als de beschouwde functies, geven we aan met SIN, COS en TAN.

figuur 7 In figuur 7 is de eenheidscirkel getekend met middelpunt O.
De omtrek van de cirkel is dus 2p.
A is een punt van deze cirkel. We stellen de grootte van hoek AOX gelijk aan x (radialen).
Nu is de lengte van boog AX gelijk aan x/2p . 2p = x.
In driehoek AOB is nu

   SIN x = AB/OA = AB/1 = AB
   COS x = OB/OA = OB/1 = AC
   TAN x = AB/OB = A'X/OX = A'X

In de functies hebben we de lijnstukken AB, AC en A'X opvolgend gebruikt als functiewaarden voor de sinus, cosinus en tangens.
Dus voor waarden van x uit het interval [0, ½p] geldt:
   SIN x = sin x
   COS x = cos x
   TAN x = tan x
De goniometrische verhoudingen en de goniometrische functies geven dus voor scherpe hoeken bij O dezelfde waarden.
Ook voor andersoortige hoeken (A ligt dan in het 2e, 3e of 4e kwadrant van de cirkel) kunnen we goniometrische verhoudingen definiëren.
We doen dat met behulp van de coördinaten (pq) van het punt A op de eenheidscirkel.

Definitie
Als de grootte van de hoek AOX gemeten wordt over de boog die XA in tegenwijzerrichting waarbij bg(XA) = x, dan is
   SIN AOX = q
   COS AOX = p
   TAN AOX = q / p

Uit deze definities dat ook nu steeds geldt
   SIN x = q = sin x
   COS x = p = cos x
   TAN x = q/p = tan x

Hieruit volgt tevens, dat tan x = sin x / cos x.

4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie terug

figuur 8a Zie figuur 8a.
Hierin is bg(XA) = x.
Omdat A' gekozen is als spiegelbeeld van A in de x-as is ook bg(XA') = x.
Daardoor is bg(XAA') = 2p - x.
Nu is
   sin(-x) = sin(-x + 2p) = (want de periode is 2p)
= sin(2p - x) = - sin x

Dus: sin(- x) = - sin x

figuur 8b Zie figuur 8b.
Hierin is bg(XA) = x.
Omdat A' gekozen is als spiegelbeeld van A in het punt O is bg(XAA') = x + p.
Nu is
   sin(x p) = - sin x
Verder is
   sin(x p) = sin(x + p - 2p) = sin(x - p) = - sin x

Dus: sin(x ± p) = - sin x.

4.3. Enkele eigenschappen van de cosinus-functie terug

figuur 9a Het punt B komt overeen met x = ¼p.
Verder is bg(BA) = a.
Het punt A komt dus overeen met = ¼p + a.
Het punt A' is het spiegelbeeld van A in de lijn l. Het punt A' komt dus overeen met x = 2¼p - a

Nu is y(A) = x(A'), dit volgt uit de spiegeling, zodat
   sin(¼p + a) = cos(2¼p - a) = cos(¼p - a)

Voor a = x - ¼p vinden we dus hieruit:    sin x = cos(½p -x)
Vervangen we x door ½p - x dan is dus:    cos x = sin(½p - x)
figuur 9b Zie figuur 9b.
Voor het punt A geldt x(A') = x(A), terwijl verder bg(XAA') = 2p - x.
Dus cos(2p -x ) = cos(-x) = cos x

We hebben dus gevonden

   cos(-x) = cos x

figuur 9c Zie figuur 9c.
Hierin is bg(XA) = x.
Omdat A' gekozen is als spiegelbeeld van A in het punt O is bg(XAA') = x + p.
Nu is
   cos(x p) = - cos x
Verder is
   cos(x p) = cos(x + p - 2p) = cos(x - p) = - cos x

Dus: cos(x ± p) = - cos x.

4.4. Een eigenschap van de tangens-functie terug
Door gebruik te maken van de onder 3 genoemde eigenschap van de tangens-functie, tan x = sin x / cos x, kunnen we eenvoudig via de eigenschappen van de sinus- en cosinus-functie layen zien, dat

   tan(- x) = - tan x

Immers, tan(-x) = sin(-x) / cos(-x) = - sin x / cos x = - tan x.

4.5. Stelling van Pythagoras voor de goniometrie terug

figuur 10 Voor elk punt A (p, q) van de eenheidscirkel geldt dat p = cos x en q = sin x, waarbij bg(XA) = x.
Zie figuur 10.
Voor de afstand van A tot O geldt dus volgens de stelling van Pythagoras, dat p2 + q2 = 1; zodat

   sin2x + cos2x = 1

5. Functiewaarden terug
In het volgende overzicht staan enkele belangrijke functiewaarden voor de goniometrische functies en de tekens van de functieaarden voor x in de verschillende kwadranten.

Tabel van functiewaarden en tekenoverzicht
     x = (in radialen)   0   1/6p 1/4p 1/3p 1/2p              
x = (in graden) 0 30 45 60 90 x in kwadrant  I    II   III   IV 
sin x  0  1/2 1/2 Ö2 1/2 Ö3 1 sin x + + - -
cos x  1  1/2 Ö3 1/2 Ö2 1/2 0 cos x + - - +
tan x  0  1 / Ö3 1 Ö3 ? tan x + - + -

De waarden kunnen worden afgeleid met behulp van de stelling van Pythagoras een driehoek met hoeken van 45, 45 en 90 graden en in een driehoek met hoeken van 30, 60 en 90 graden.
De tekens volgen onmiddellijk uit de definities van de functies.

newy.gif (169 bytes)
Klik hier >Animatie< voor een Cabri-applet die voor hoeken tussen 0º en 360º de waarden van de sinus, cosinus en tangens geeft (Nb. Cabri Plus Plug-in vereist!).

6. Vreemde woorden terug
In ' Vreemde woorden in de wiskunde' (Dr. E.J. Dijksterhuis, P. Noordhof, 1948) vinden we:

Sinus (Lat. = plooi, bocht, boezem). In de Indische wiskunde heette de helft van de koorde van het dubbele van een cirkelboog de ardhâ-jyâ (ardha = half; jyâ = koorde) van dien boog. Dit werd, afgekort tot jyâ of jîv, door de Arabieren als vgîb geschreven en wegens overeenstmming in de alleen neergeschreven consonaten geidentificeerd met Arab. vgaib = plooi of opening van een kledingstuk; fig. boezem. Dit werd daarna in het Lat. lett. vertaald als sinus. Deze vertaling komt het eerst voor bij Gerard van Cremona (1114-1187). Mv. sinussen.

Cosinus. Afkorting voor complimenti sinus = sinus van het complement. Mv. cosinussen.

Tangens (sc. linea = raaklijn; Lat. part. praes. van tangere = raken). Eerst in de 16e eeuw wordt het woord ook gebruikt voor een goniometrische functie. Deze heette voor dien tijd umbra versa of umbra stans (gedraaide of staande schaduw). Zij werd namelijk beschouwd als de schaduw, die een lichtend punt in het middelpunt van een cirkel van een sinus op de daaraan evenwijdige raaklijn werpt. Dat zij « gedraaide schaduw » heette, kwam hieruit voort, dat de naam umbra reeds in gebruik was voor de horizontale schaduw, die de zon van een verticaal geplaatste staaf werpt (de cotangens van de hoogte). Mv. tangenten.

7. Afgeleiden terug
Voor de afgeleiden van de functies sin, cos en tan zie het artikel "Over de afgeleide van de functie sin(x)" (PDF-bestand, ca. 60Kb).


begin pagina
[sincos.htm] laatste wijziging op: 10-12-2008