Over de secans en de cosecans

Over de secans en de cosecans

Overzicht  ][  Sinus, cosinus, tangens | Analyse


Overzicht terug

  1. Definities
  2. Grafieken cabrisignal.gif (160 bytes)
         Meetkundige eigenschap
         Vreemde woorden
  3. Gebruik van de functie h(x) = 1 / x cabrisignal.gif (160 bytes)

1. Definities terug
Op de pagina "Sinus, cosinus en tangens als functies" zijn de sinus en de cosinus gedefinieerd als functie van een reŽle variabele met behulp van de eenheidscirkel.
De omgekeerden van deze functies (niet te verwarren met de inverse functies van sinus en cosinus) werden vroeger ook nog wel in het Nederlandse middelbaar onderwijs behandeld. De omgekeerde functies komen mogelijk nog wel voor in het Vlaamse onderwijs.

Definities
De functie secans wordt op de verzameling van de reŽle getallen gedefinieerd als:
  secans(x) = sec(x) = sc(x) = 1/cos(x)
De functie cosecans wordt op de verzameling van de reŽle getallen gedefinieerd als:
  cosecans(x) = cosec(x) = csc(x) = 1/sin(x)

Gevolg
Sec(x) is niet gedefinieerd voor x = Ĺp + k∑p (met k geheel).
Cosec(x) is niet gedefinieerd voor x = kp (met k geheel),
immers voor die waarden van x is de noemer van de betreffende definiŽrende functie gelijk aan 0.
[einde Gevolg]

2. Grafieken terug
De grafieken kunnen door hun definitie direct uit de definiŽrende functie worden afgeleid. Zie daarvoor onderstaande figuren waarin in rood de grafieken van de functies zijn getekend op het interval [-Ĺp ; 2p]. De grafieken van de definiŽrende functies zijn blauw.

f (x) = sec(x) f (x) = cosec(x)
secans1.gif (4677 bytes) secans2.gif (4614 bytes)

Duidelijk is dat beide functies een periode hebben van 2p.

terugMeetkundige eigenschap - Beweegt het punt A over de eenheidscirkel, dan is de cosinus van de hoek tussen OA en de positieve x-as gelijk aan de (van tekenvoorziene) afstand van A tot de y-as (zijnde de x-coŲrdinaat van A). Zie definitie van de cosinus-functie op de pagina "Sinus, cosinus, ...".
We kunnen ook de waarde van de secans op de x-as aflezen.

secans3.gif (3354 bytes) In nevenstaande figuur is Q de projectie van het A op de x-as. Dan is OQ = cos(AOX).
Zij P het snijpunt van de raaklijn in A aan de eenheidscirkel.
In de rechthoekige driehoek OAP geldt dan:
OA2 = OQ ∑ OP
of
1 = cos(AOP) ∑ OP
OP is dan dus gelijk aan de secans van (AOP).

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die dit illustreert.

De cosecans kan worden afgelezen worden op de y-as.
secans4.gif (3447 bytes) In nevenstaande figuur is Q de prjectie van A op de y-as. Nu is OQ = sin(AOX).
Is Y het snijpunt van de raaklijn in A aan de eenheidscirkel, dan is in de rechthoekige driehoek OAY:
OA2 = OQ ∑ OY
of
1 = sin(AOX) ∑ OY
OY is dan dus gelijk aan de cosecans van (AOX).

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die dit illustreert.

terugVreemde woorden - In 'Vreemde woorden in de wiskunde' (Dr. E.J. Dijkerhuis, P. Noordhoff, 1948) vinden we:

Secans (sc. linea =  snijdende lijn; Lat. part. praes. van secare = snijden). De goniometrische functie secans ontleent haar naam aan de wijze, waarop het lijnstuk secans in de figuur van den goniometrische cirkel [dk: de eenheidscirkel] voorkomt, nl. op een lijn door het middelpunt. Mv. secanten.

Cosecans. Afkorting voor complementi secans = secans van het complement. Mv. cosecanten.

3. Gebuik van de functie h(x) = 1 / x terug

secans5.gif (4334 bytes) We kunnen beide functies ook opvatten als een samengestelde functie.
We laten dat hieronder alleen zien voor de functie f(x) = sec(x).

Zij h de functie gedefinieerd door h(x) = 1 / x.
Dan is f(x) = h( cos(x) ) = 1 / cos(x)

In de hiernaast staande figuur geldt:
OP = de grootte van hoek XOA (in radialen)
PC = cos(XOA)
OQ = PC
QR = 1 / OQ
PS = QR

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die dit illustreert.


begin pagina
[secans.htm] laatste wijziging op: 04-05-07