Cyclometrische functies

Cyclometrische functies

Overzicht  ][  Goniometrische functies | Analyse


Overzicht begin

  1. Inleiding
  2. Cyclometrische functies
         2.1. Sinus en arcsin
         2.2. Cosinus en arccos
         2.3. Tangens en arctan
  3. Afgeleiden
  4. Eigenschappen cabrisignal.gif (160 bytes)

1. Inleiding: inverse functie terug
Een functie f is niets meer dan een voorschrift dat aan ieder element x van een verzameling (het domein) D precies één element y van een verzameling (het codomein of bereik) B toevoegt.
Daarbij is het niet uitgesloten, dat aan twee (of meer) verschillende elementen van D hetzelfde element van B wordt toegevoegd.
Voorbeeld
y = f(x) = x² met D = [-1, 1]
Is echter ieder element y van B het beeld van precies één element x van D, dan is door het geven van zo'n y het origineel x van D eenduidig bepaald.
We kunnen dan eveneens spreken van een functie g(y) = x.
De functie g noemen we de inverse functie van f. We noteren die als f inv.

Er zijn geen algemene voorwaarden op te stellen voor de eis dat een willekeurige functie een inverse heeft.
Er geldt echter wel de volgende stelling (hier verder niet bewezen):

Stelling
Als f een functie is die gedefinieerd is op [a, b] en daar monotoon stijgt (daalt), terwijl f(a) = A en f(b) = B, dan heeft f een inverse functie f inv, die gedefinieerd is op [A, B] en monotoon stijgt (daalt).

We zullen deze stelling in de volgende paragrafen volgt gebruiken.

2. Cyclometrische functies terug
2.1. Sinus en arcsin terug

cyclom1.gif (3561 bytes) We bekijken allereerst de functie f(x) = sin x op het interval [-½p. ½p].
Er geldt:
f ´(x) = cos x, waarbij op het bedoelde domein geldt cos x ³ 0.
De functiewaardenverzameling van f (het bereik) is [-1, 1].
f heeft dus een inverse functie g gedefinieerd op [-1, 1] met als bereik [-½p, ½p].
Deze inverse functie noemen we arcus sinus. We schrijven sininv = arcsin = bgsin.
Spreek uit als: arcsinus resp. boogsinus.

In de figuur hiernaast is de grijze lijn de grafiek van f(x) = sin(x); de rode lijn is de grafiek van
g(x) = arcsin(x).

De arcsin (of bgsin) behoort tot de familie van zogenoemde cyclometrische functies.
'Cyclometrisch' geeft aan dat met zo'n functie de lengte van de boog van een cirkel gemeten wordt (zie de paragraaf Afgeleiden).

Zie ook de Opmerking na paragraaf 2.3

2.2. Cosinus en arccos terug

cyclom2.gif (3921 bytes) De functie f(x) = cos x bekijken we op het interval [0, p].
Voor de inverse van f op dit interval hebben we, eveneens vanwege de monotonie (maar nu dalend):
g(x) = cosinv(x) = arccos(x)
Inplaats van arccos schrijven we ook wel bgcos.

Het domein van arccos is [-1,1]; het bereik is [0, p].

In de figuur hiernaast is de grijze lijn de grafiek van f(x) = cos(x); de rode lijn is de grafiek van g(x) = arccos(x).

Zie ook de Opmerking na paragraaf 2.3

2.3. Tangens en arctan terug

cyclom3.gif (3477 bytes) De functie f(x) = tan x bekijken we weer op het interval <-½p. ½p>.
Voor de inverse van f op dit interval hebben we dan:
g(x) = taninv(x) = arctan(x)
In plaats van arctan schrijven we ook bgtan.

Het domein van arctan is < - ¥, + ¥ >; het bereik is <-½p. ½p>.

In de figuur hiernaast is de grijze lijn de grafiek van f(x) = tan(x); de rode lijn is de grafiek van
g(x) = arctan(x).

Zie ook de Opmerking.

Opmerking
Op de in Nederland en Vlaanderen in gebruik zijnde (grafische) rekenmachines vinden we in plaats van arcsin, arccos, arctan de onjuiste notatie:
sin-1, cos-1, tan-1
[einde Opmerking]

3. Afgeleiden terug
Voor de volledigheid vermelden we ook de afgeleiden van de hierboven behandelde cyclometrische functies.

cyclomf1.gif (1611 bytes)

pdfsmall.gif (178 bytes) Zie voor het bewijs van deze afgeleiden het artikel "Over de functies arcsin, arccos en arctan" (PDF-formaat, ca. 170 kB).
In het artikel wordt ook de lengtemeting van een cirkel (met integraalrekening) behandeld.

4. Eigenschappen terug

Stelling
Voor alle x in [-1 ; 1] geldt: arcsin(x) + arccos(x) = p/2 

Bewijs:

cyclomf4.gif (4833 bytes) Klik hier >Animatie<voor een 'aanschouwelijk bewijs' van deze stelling via een Cabrijavapplet.

Uit de figuur hiernaast blijkt dat voor x > 0:
     arcsin(-x) = - arcsin(x)
     arccos(-x) = p - arccos(x)

Voorts is verder onmiddelijk duidelijk, dat
     arcsin(x) + arccos(x) = p/2
welke relatie ook geldt voor negatieve waarden van het argument, immers
arcsin(-x) + arccos(-x) = -arcsin(x) + p - arccos(x) = p - p/2 = p/2
¨

.
Stelling
arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = p

Bewijs:

Zie nevenstaande figuur, waarin: tan(A1) = 1, tan(A2) = 2, tan(A3) = 3. pi(arctan).gif (4780 bytes)

begin pagina
[cyclomfunc.htm] laatste wijziging op: 15-02-06