Parabool (3)

Parabool: meetkundige eigenschappen en constructies (3)

Overzicht  ][  Kegelsneden | Anal. meetkunde | Cabri ]


Overzicht terug

[ Pagina 1 ] [ Pagina 2 ] [ Pagina 3 ] [ Pagina 4 ]

  1. Raakkoorde en middellijn cabrisignal.gif (160 bytes)
  2. Opnieuw: constructies
  3. Evenredige stukken op raaklijnen
  4. Constructie met een cirkel cabrisignal.gif (160 bytes)
  5. e.v. Zie pagina 4

10. Raakkoorde en middellijn terug

Definitie
Een raakkoorde van een parabool is het verbindingslijnstuk tussen de raakpunten van twee raaklijnen uit een punt aan de parabool.
of
Een raakkoorde is het verbindingslijnstuk tussen de raakpunten op de poollijn van een punt. Dat punt heet ook wel pool van de raakkoorde
Stelling 11a
De middens van evenwijdige raakkoorden van een parabool liggen op een lijn die evenwijdig is met de as van de parabool.
Bewijs:
parab3-1.gif (7285 bytes) De raaklijnen in de punten P1, P2 snijden elkaar in P.
De lijn door P // paraboolas snijdt die richtlijn in het midden H van R1R2, daar PR1R2 een gelijkbeninge driehoek is.
PH snijdt P1P2 in MP.
Te bewijzen: MP is het midden van P1P2.
Bewijs: P1R1R2P2 is een rechthoekig trapzium. PH // P1R1, dus MP is het midden van P1P2.

De cirkels P1, P2 (beide door F) hebben een gemeenschappelijke raaklijn R1R2.
Te bewijzen: HF _|_ P1P2.
Bewijs: H is het midden van R1R2. H heeft dus gelijke machten tov. beide cirkels. HF is dus de machtlijn van die cirkels. HF staat dus loodrecht op de centraal P1P2 van de cirkels.

Zij Q1Q2 een (willekeurige) koorde // P1P2.
Te bewijzen: het midden MQ van Q1Q2 ligt op PH.
Bewijs: H is eveneens het midden van het raaklijnstuk aan de (niet getekende) cirkels door F met Q1, Q2 als middelpunt. HF staat ook loodrecht op Q1Q2. De raaklijnen in Q1, Q2 aan de parabool snijden elkaar dus eveneens op de lijn PH. MQ ligt dus op PH.

Hiermee is de stelling bewezen.

Gevolgen

parab3-1b.gif (4442 bytes) [1] Snijdt de koorde Q1Q2 de raaklijnen uit P in opvolgend T1 en T2, dan is dus ook Q1T1 = Q2T2 (zie figuur hierboven).

[2] De middelloodlijn van FH is eveneens raaklijn aan de parabool. Het raakpunt R ligt dus eveneens op PH en ook raaklijn in R // P1P2.
Merk nu op, dat PR = RMP.
Bewijs:
De loodlijn door U (het snijpunt van de raaklijn in R met een raaklijn uit P) op de richtlijn deelt P1R middendoor in V; immers UR en UP1 zijn raaklijnen aan de parabool uit U (Stelling 11a).
UV snijdt PMP in N. N is dan het midden van PMP (middenparallel).
Dus UR = PMP, zodat PR = RMP.

[einde Gevolgen]

Definitie
De meetkundige plaats van de middens van evenwijdige koorden van een parabool heet middellijn van die parabool.

We kunnen Stelling 11a ook iets anders formuleren:

Stelling 11b
Een middellijn van een parabool is de verzameling van de polen met evenwijdige raakkoorden (poolijnen)
Bewijs:
parab3-2.gif (4824 bytes) Er is slechts een middellijn door R. Elk van de middens Mi van zo'n raakkoorde geeft een lijn MiR die evenwijdig is met de as van de parabool.
De middellijn gaat ook door de pool van de betreffende koorde.
Alle lijnen MiR vallen dus samen.

Opmerking
De raaklijn in R heet wel de aan die middellijn toegevoegde raaklijn.
[einde Opmerking]

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet die Stelling 11b illustreert.

11. Opnieuw: constructies terug

Constructie 15
parab3-c15.gif (5708 bytes) Gegeven: twee punten A en B van de parabool (F, r), en de raaklijnen in die punten
Te construeren: F en r
Constructie:
De lijn die het snijpunt P met het midden M van AB verbindt is een lijn evenwijdig aan de as (heeft de asrichting).
De voerstralen van A en B maken met de asrichting een hoek die gelijk is aan die de raaklijn met de asrichting maakt.
De voerstralen zijn dus construeerbaar als spiegbeelden a' en b' van de lijnen a en b door A en B evenwijdig met de asrichting
F is het snijpunt van a' en b'.
De lijn door de spiegelbeelden Fa en Fb van F in de raaklijnen is de richtlijn.

Zie ook Paragraaf 12: Evenredige stukken op raaklijnen.

Constructie 16

parab3-c16.gif (3606 bytes)

Gegeven: Twe punten A en B, de raaklijn in A en de asrichting (via een lijn, bijvoorbeeld door B).
Te construeren: F en r
Constructie:
Het snijpunt P van de raaklijnen in A en B ligt op de lijn door M (het midden van AB) die evenwijdig is met de as.
PB is de tweede raaklijn.
Hiermee is de constructie teruggebracht tot Constructie 15.

Opmerking
Een bijzonder geval krijgen we als gegeven zijn: de top, de as(richting) en een tweede punt.
Immers hiermee is ook de topraaklijn bekend.
[einde Opmerking]

Constructie 17a

parab3-c17.gif (4193 bytes)

Gegeven: een in ligging gegeven parabool
('in ligging gegeven' betekent: elk punt van de parabool kan worden getekend)
Te construeren: F en r
Constructie:
We kiezen twee willkeurige evenwijdige koorden AB en CD. De middens M en N van die koorden bepalen de asrichting (MN is een middellijn). De raaklijn in het snijpunt R van deze middellijn en de parabool is evenwijdig met de koorden AB en CD.
Nu zijn bekend: een punt R en daarin de raaklijn, een tweede punt (bijvoorbeeld A) en de asrichting.
Deze constructie is daardoor teruggebracht tot Constructie 16.

Opmerking
Zie Constructie 17b voor een andere manier van uitvoering.
[einde Opmerking]

Constructie 17b

parab3-c17b.gif (5973 bytes)

Constructie:
Is de asrichting MN bekend, dan construeren we een koorde AA' loodrecht op MN. Het midden M' van AA' ligt op de as. De paraboolas is dus construeerbaar als de lijn door M' evenwijdig met MN. Dit geeft tevens de top T van de parabool.
De lijn in R loodrecht op de raaklijn in R (deze raaklijn is evenwijdig met AB) snijdt de as in het punt S.
Zij nu T de projectie van R op de as. Dan is ST gelijk aan de parameter p van de parabool.
De cirkel (T, p) snijdt nu de as in de punten F (het brandpunt) en F' (het snijpunt van de richtlijn met de as).

12. Evenredige stukken op raaklijnen

Stelling 12
Elke raaklijn bepaalt op twee andere raaklijnen evenredige stukken.
Bewijs:

parab3-st12.gif (5114 bytes)          

De raaklijnen in A, B, C snijden elkaar in P, Q, R (zie figuur hiernaast).
We zullen aantonen: AP : PQ = PB : BR = QR : RC
We tekenen de middllijnen door P, Q, R; deze delen de bijbehorende raakkoorden middendoor.
Tekenen we ook de middellijn door B, dan vinden op de koorde AC drie tweetallen van gelijke stukken, te weten:
   AQ' = Q'C; AP' = P'B'; CR' = R'B"
Verder is:
   AC = AB' + B'C
zodat AC = AB' + B'C, waaruit: AQ' = AP' + B'R', wat geeft: AQ' - AP' = B'R'
   P'Q' = B'R'
En dan ook:
   P'B' = Q'R'
Nu is:
AP : PQ = AP' : P'Q'    PB : BR = P'B' : B'R'  QR : RC = Q'R': R'C
Hierin zijn de tweede leden telkens aan elkaar gelijk. De eerste leden dus ook.
Constructie 18

parab3-c18.gif (4918 bytes)

Op basis van Stelling 12 kunnen we nu uitgaande van twee raaklijnen en hun daarop gelegen raakpunten een derde punt (en z'n raaklijnen construeren.
En daarmee wederom de omhullenden van de parabool.
Gegeven: raaklijnen in A en B (snijdend in P)
Te construeren: een punt C met de raaklijn in C
Constructie:
Kies op het verlengde van AP een punt Q en bepaal op PB een punt R zo, dat
   AP : PQ = PB : BR.
Dan is QR een raaklijn aan de parabool in het punt C, waarvoor geldt:
   AP : PQ =  QR : RC
In de constructie zijn opvolgend de lijnen 1, ..., 5 gebruikt.Vervolgens is Q" het Q'-spiegelbeeld van A. De lijn 6 // lijn 3 geeft dan het punt C.

parab3-c18b.gif (5050 bytes)

Opmerkingen
[1]
Voor een eenvoudiger constructie van een "willekeurige" raaklijn kan Q zo worden gekozen, dat AP = PQ.

[2]
Om meerdere raaklijnen en raakpunten te construeren kunnen AP en BP in een gelijk aantal stukken worden verdeeld. Deze gelijke stukken worden ook op de verlengden van AP en PB afgezet. De verbindingslijnen van overeenkomstige deelpunten zijn dan de raaklijnen.
De raakpunten kunnen dan eveneens via de vaste verhoudingen (met twee evenwijdige lijnen) worden gevonden (zie de figuur hiernaast)..
[einde Opmerkingen]

13. Constructie met een cirkel

Stelling 13
Een parabool kan worden voortgebracht via een variabel punt op een cirkel.

Klik hier >Animatie< voor een CabriJavapplet bij Stelling 13.

Bewijs:
parab3-cirk1.gif (4681 bytes) In nevenstaande figuur is X een variabel punt op de cirkel met middellijn AB (middelpunt M). De raaklijn in A en de lijn BX snijden elkaar in S. De loodlijn in S op AS snijdt AX in P.
Nu is P een punt van een parabool met brandpunt F, waarbij F het midden is van AM.
Immers, ABS ~ SAP, zodat
   AS : SP = AB : SA, waaruit AS2 = AB SP (te gebruiken in Constructie 20)
Of 
   AS2 = 4AF PS
Maar ook: AS2 = PF2 - (PS - AF)2  
Waaruit we vinden:
   PF2 - (PS - AF)2 = 4PS AF, zodat
   PF2 = (PS + AF)2
of
   PF = PS + AF
Dus P ligt op een parabool met brandpunt F en richtlijn R'P'.
Constructie 19
parab3-cirk2.gif (4059 bytes) Gegeven: as, top A en een willekeurig punt P van parabool (F, r)
Te construeren: F (en r)

(1) Constructie: (op basis van Stelling 13)
De topraaklijn kan worden geconstrueerd. De projectie van P daarop is S.
Het punt X ligt op de cirkel met middellijn PS.
Het punt X is het snijpunt van AP en die cirkel.
Waarmee opvolgend B, F (en F', en de richtlijn) gevonden worden.

parab3-cirk2b.gif (4583 bytes)

(2) Constructie: (op basis van PF = PS + AF)
Het punt F ligt zo op de as, dat de cirkel (F, FA) raakt aan de cirkel P, PQ).
Hiermee is de constructie teruggebracht tot het Raakprobleem van Apollonius (A111).

Hiernaast staat een eenvoudiger constructie van het punt F (eenvoudiger dan de constructie A111, omdat A op de lijn ligt, en die lijn ook raaklijn is).

N is het midden van AS.
NF staat loodrecht op PN.
De cirkel (F, FA) raakt nu aan cirkel P. Immers, FPTQ is een ruit, zodat
PF = FA + AQ = FA + PS.

Constructie 20

parab3-cirk3.gif (4559 bytes)

Gegeven: as, top A en een willekeurig punt P1 van de parabool (F, r)
Te construeren: een tweede punt P2 van de parabool
Analyse:
Gaan we uit van twee punten P1 en P2 (het tweede punt) van de parabool, dan hebben we (zie Stelling 13):
   AS12 = AB P1S1
   AS22 = AB P2S2
De lijn AP1 snijdt P2S2 in Q.
Dan is ook: AS1 : P1S1 = AS2 : QS2
We vinden dan:
   AS1 : AS2 = QS2 : P2S2

parab3-cirk3b.gif (4042 bytes)

Constructie:
Uitgaande van het punt P1 (en dus ook S1) kunnen we een tweede punt P2 construeren door op de topraaklijnn een punt S2 te kiezen en dan allereerst het punt Q te construeren als snijpunt van de loodlijn in S2 en de lijn AP1.
Het punt P2 vinden we dan uit de evenredigheid AS1 : AS2 = QS2 : P2S2.

Zie verder onderstaande Opmerking.

parab3-cirk3c.gif (4598 bytes)

Opmerking
Om meerdere punten van de parabool te vinden verdelen we AS en PS in eenzelfde aantal gelijke stukken.
Deze stukken zetten we dan ook af op het verlengde van SP en op het verlengde van AS. Door de deelpunten te verbinden met A en elk van deze verbindingslijnen te snijden met de overeenkomstige lijn // de paraboolas vinden we andere punten van de parabool.
[einde Opmerking]

[ Pagina 1 ] [ Pagina 2 ] [ Pagina 3 ] [ Pagina 4 ]

begin pagina
[parab3.htm] laatste wijziging op: 16-11-03