Parabool (4)

Parabool: meetkundige eigenschappen en constructies (4)

Overzicht  ][  Kegelsneden | Anal. meetkunde | Geschiedenis | Cabri


Overzicht terug

[ Pagina 1 ] [ Pagina 2 ] [ Pagina 3 ] [ Pagina 4 ]

  1. Oppervlakte van een paraboolsegment
  2. Archimedes' kwadratuur van de parabool

14. Oppervlakte van een paraboolsegment terug

parab4-0.gif (3389 bytes)
Definities
Een paraboolsegment van een parabool is het vlakdeel dat begrensd wordt door een koorde en precies n deel van de parabool.
Een segmentdriehoek (*) van een parabool wordt gevormd door twee raaklijnen aan de parabool en de raakkoorde.
(*) Deze term is niet algemeen in gebruik.
 
Stelling 1
Een segmentdriehoek van een parabool wordt door de parabool in twee stukken verdeeld waarvan de oppervlaktes zich verhouden als 1 : 2.

Opmerking
In de figuur hiernaast is SAB een paraboolsegment en PAB de (bijbehorende) segmentdriehoek.
[einde Opmerking]

N.B. We gebruiken in hetgeen volgt F als oppervlaktefunctie.

We bewijzen allereerst:

Lemma 1
F(segment ASB) = 2/3 F(AA'B'B) , waarbij AA'B'B het omgeschreven parallellogram is van segment ASB.
Bewijs:
parab4-1.gif (5358 bytes) In de figuur hiernaast:
- PA en PB zijn raaklijnen, AB is raakkoorde
- PM (evenwijdig met de as) snijdt de parabool in S en de koorde AB in het midden M
- S is het midden van PM (Pagina 3, Stelling 11a)
- AA'B'B is het omgeschreven paralellogram van het segement ASB
- A'B' (de raaklijn in S) snijdt de raaklijnen opvolgend in Q en R
- QN en RO zijn middellijnen van de parabool, dus ook:
- D is het midden van QN, N is het midden van AS (Pagina 3, Stelling 11a), en
- E is het midden van RO, O is het midden van BS

F(ASD) = F(ASQ) = F(ASP) = F(ASM) = 1/8F(ASB)
Evenzo: F(BSE) = 1/8(ASB)
Samen geeft dit:
   F(ASD) + F(BSE) = F(ASB)
Opdezelfde manier kunnen we de segmenet tussen AD, DS, SE, EB bekijken.
We vinden dan via een meetkundige rij:
(*)   F(segment ASB) = F(ASB) + F(ABS) + ()2F(ABS) + ... = 4/3F(ASB)
Zodat F(segment ASB) = 2/3 F(AA'B'B)

 
(*)
Dit resultaat komt als Propositie 1 voor in Archimedes' bewijs voor de kwadratuur van de parabool (zie Paragraaf 15).

We kunnen nu Stelling 1 bewijzen:

Bewijs van Stelling 1
Uit F(ASB) = F(APB) volgt dat
F(segment ASB) = 2/3F(AA'B'B) = 2/3F(APB), zodat inderdaad de verhouding der delen gelijk is aan 1 : 2.

Stelling 2
De oppervlakte van een raaklijnendriehoek van een parabool is de helft van de oppervlakte van de driehoek waarvan de raakpunten de hoekpunten zijn.
Bewijs:
parab4-2.gif (4593 bytes) In nevenstaande figuur zijn 6 vlakdelen aangegeven met de letters A,B,C,D,E,F.
Deze letters stellen de oppervlakte van die vlakdelen voor.
Volgens Stelling 1 is:
   A + C + E = (B + D + F)
En ook:
   C = D
   E = F,
zodat
A = B
Hetgeen bewezen moest worden.

15. Archimedes' kwadratuur van de parabool terug
Lemma 1 (zie het bewijs in Paragraaf 14) is ook door Archimedes (Archimedes van Syracuse, 287-212vC, Sicili) bewezen. Hij deed dat deels in 'Methodenleer der Mechanische Leerstellingen' en bijna volledig in 'Over de kwadratuur van de parabool'.
We geven hieronder Archimedes' bewijs uit de 'Methodenleer' (geparafraseerd) weer.

Aan Eratosthenes

In 1906 werd in een klooster te Konstantinopel een Grieks handschrift gevonden uit de 10e eeuw n.C. Dit handschrift bevatte onder andere Archimedes' Methodenleer der mechanische Leerstellingen, aan Eratosthenes (Eratosthenes van Cyrene, 276-194vC, Cyrene, Noord-Afrika).
Archimedes schrijft daarin aan Eratosthenes onder meer:

"Daar ik echter, zooals ik reeds vroeger zeide, dat Gij een flink geleerde zijt, en niet slechts een bewonderaar [van mathematisch onderzoek], zoo heb ik voor goed bevonden U uiteen te zetten en in dit zelfde boek neer te leggen een eigenaardige methode, waardoor U de mogelijkheid geboden zal worden een aanwijzing te vinden om enkele mathematische kwesties door de Mechanica te onderzoeken. En dit is naar mijn overtuiging ook even zoo nuttig om de stellingen zelve te bewijzen; want veel wat mij het eerst door de Mechanica duidelijk geworden is, werd daarna bewezen door de Geometrie, omdat behandeling door die andere methode nog niet door bewijs gefundeerd was; het is nl gemakkelijker, als men door deze methode aanvankelijk een voorstelling van de vragen gekregen heeft, het bewijs te verzinnen dan dit zonder een voorloopige voorstelling te ontdekken. Zoo zal men ook aan de bekende leerstellingen, wier bewijzen  Eudoxos het eerst gevonden heeft, nl. van den kegel en de pyramide, dat zij 1/3 zijn, de kegel van den cylinder en de pyramide van het prisma, die hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte hebben, Demokritos een niet gering aandeel toekennen, die het eerst van het genoemde lichaam de uitspraak gedaan heeft zonder bewijs. We verkeeren echter in de omstandigheid ook de nu te publiceren stelling [op dezelfde wijze] vroeger gevonden te hebben, en voelen ons nu gedrongen de methode bekend te maken, deels omdat wij vroeger daarover gesproken hebben, opdat niemand geloove dat wij ijdel gepraat verbreid hebben, deels in de overtuiging daardoor geen gering nut voor de Mathesis te stichten; ik neem nl. aan, dat deze of gene van de tegenwoordige of toekomstige vorschers door de hier verklaarde methode ook andere stellingen zal vinden, die ons nog niet zijn ingevallen.
Eerst verklaren wij nu, wat ons ook het eerst duidelijk geworden is door de Mechanica, dat een segment van een parabool 4/3 is van den driehoek, die dezelfde grondlijn en dezelfde hoogte heeft, dan echter achtereenvolgens de afzonderlijke, door de genoemde methode gevonden stellingen, en aan het slot van het boek geven we de meetkundige [bewijzen der genoemde stellingen]."

(vertaling van Prof. Dr. Hk. de Vries: Historische Studin, Deel 1, P. Noordhoff, Groningen, 1926):

Archimedes' bewijs
(We volgen hieronder de beschrijving van Sir T. Heath: A History of Greek Mathematics, Volume II, Dover Publications, New York, 1981, in vertaling)

Zij ABC het bedoelde segment, BD de 'diameter', CF de raaklijn in C. Zij P een willekeurig punt van de boog van het segment, en AKF, OPNM evenwijdig met BD. Verbind nu CB en verleng het lijnstuk dat dan MO snijdt in N en FA in K. Zij verder KH = KC.

parab4-archim.gif (4268 bytes)

Nu geldt, volgens een 'eerder bewezen lemma':

   MO : OP = CA : AO
= CK : KN
= HK : KN

Dus is, volgens de eigenschap van de parabool EB = BD, zodat MN = NO en FK = KA.
Wordt nu HC beschouwd als de arm van een balans, dan is TG, gelijk aan PO en geplaatst met het midden in H, in evenwicht, rond K, met de lijn MO, met het midden in N.
Op dezelfde manier geldt dit voor alle lijnen, zoals MO en PO, in driehoek CFA in relatie tot het segment CBA.
En er is een zelfde aantal van deze lijnen. Dus het gehele paraboolsegment, geplaatst bij H, is in evenwicht met driehoek CFA.
Het zwaartepunt van driehoek CFA ligt in W, waarbij CW = 2 WK [en de gehele driehoek kan worden opgevat als liggend in W].
Zodat
   (segment ABC) : DCFA = WK : KH = 1 : 3
Dus
   (segment ABC) = 1/3 DCFA = 4/3 DABC
Hetgeen te bewijzen was.


[ Pagina 1 ] [ Pagina 2 ] [ Pagina 3 ] [ Pagina 4 ]

begin pagina
[parab4.htm] laatste wijziging op: 14-11-03