Om- en incirkel

Overzicht  ][  Inverse afstand  |  Meetkunde


0. Overzicht terug

  1. De afstand tussen de middelpunten van de om- en incirkel
  2. Driehoeken met dezelfde om- en incirkel
         met "beperkte" Sluitingsstelling van Poncelet cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. Referenties
  4. Download

Zie ook de pagina's "Incirkel" en "Uitcirkels"

1. De afstand tussen de middelpunten van de om- en incirkel terug

We bewijzen:

Stelling 1
Zijn (O, R) en (I, r) opvolgend de om- en incirkel van driehoek ABC, dan is
   OI2 = R2 - 2Rr

Bewijs: (zie figuur 1)

figuur 1 omincirkel.gif (3351 bytes) In de figuur is
   x is de grootte van de halve hoek A;
   o is de grootte van de halve hoek B;
   PQ is een middellijn van de omcirkel;
   IY = r en OI = m .
Driehoek ABI heeft een buitenhoek bij I, waarvoor geldt
   BIP = x + o.
Maar ook IBP = x + o.
Driehoek BPI is dus gelijkbenig (PB = PI).
We bekijken nu de macht van het punt I ten opzichte van de omgeschreven cirkel (de macht is negatief voor een punt binnen de cirkel):
   -(R2 - m2) = -(IP x IA) = -(BP x IA) ......(1)
Nu zijn de driehoeken BPQ en YIA gelijkvormig (rechte hoek en hoek x gemeenschappelijk), zodat
   YI : BP = IA : PQ

Vermenigvuldigen we nu het rechter lid van betrekking (1) met een herleiding op 1 van deze verhouding, dan vinden we:
   
Dus R2 - m2 = r . 2R
waaruit volgt:
   m2 = R2 - 2Rr

Opmerkingen
[1]

Deze formule is het eerst vermeld door Leonard Euler (1707-1783, Zwitserland).
[2]
Zie ook de pagina "Sluitingsstelling van Poncelet"
[3]
Zie ook het artikel "Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek" (april 2007, PDF-bestand, ca. 97Kb)
[einde Opmerkingen]

2. Driehoeken met dezelfde om- en incirkel terug

Stelling 2
Bij een inversie tov. de incirkel van de driehoek gaan de zijden en de omcirkel over in vier cirkels met gelijke straal.

Bewijs:
Zie voor de eigenschappen van de inversie de pagina "Inversie".

omincirkel2.gif (6840 bytes) De lijn A1A2 gaat door de inversie over in een cirkel door I en I3 (immers I3 ligt op de inversiecirkel), en  in I3 rakend aan A1A2.
De straal van die cirkel is dus gelijk aan  r.
Dit geldt mutatis mutandi ook voor de andere zijden van de driehoek.
Voor de macht p van I tov. cirkel C (de omcirkel) geldt:
p = IO2 - R2 = - 2Rr (zie Stelling 1)
Het beeld van C is een productfiguur bij een vermenigvuldiging met factor (k2)/p, waarbij k de macht van de inversie (straal van de inversiecirkel) is.
De straal van het beeld van C is dan gelijk aan (r2 / 2Rr) R =  r.
Het beeld van C gaat door de middens van de zijden van driehoek I1I2I3 (immers I1I2I3 is een vlieger).
Die middens zijn de beelden van de punten A1, A2, A3 bij de inversie.

Opmerking
De beeldcirkel van C is de negenpuntcirkel van driehoek I1I2I3.
[einde Opmerking]

Stelling 3 ("beperkte" Sluitingsstelling van Poncelet)
Zijn twee cirkels O(R) en I(r) zo gelegen, dat
   R2 - OI 2 = 2Rr
dan bestaan er oneindig veel driehoeken met hoekpunten op de eerste cirkel waarvan de zijden raken aan de tweede cirkel.

Bewijs:

omincirkel3.gif (5503 bytes) We geven een bewijs door middel van constructie.
Cirkel O wordt door een inversie tov (I, r) afgebeeld op een cirkel met straal
   R' = r2 / (OI 2 - R2)R (zie ook Stelling 2).
Op basis van de gegeven relatie is nu R' =  r.
Zij nu A' een willekeurig punt van de beeldcirkel O'.
De cirkels met straal  r die gaan door A en I, raken beide aan cirkel I (in de punten X en Y).
A' is daarbij het midden van XY (in te zien via Thales-cirkels op IX en IY).
De punten B' en C' zijn de (tweede) snijpunten van cirkel O' en beide laatste cirkels.
Het beeld A van A' bij de inversie ligt op cirkel O.
De beelden van B en C van B' en C' bij deze inversie vormen samen met het punt A een driehoek die aan de gestelde eisen voldoet.
Omdat A' willekeurig is op cirkel O', zijn er oneindig veel van deze driehoeken.

Klik hier cabrismall.gif (1095 bytes) voor een CabriJavapplet bij het bovenstaande.

Opmerking
Uit het gegeven volgt dat moet gelden r < R. Als r = R hebben we een gelijkzijdige driehoek ABC.
[einde Opmerking]

3. Referenties terug

[1] O. BOTTEMA: Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde, N.V. Servire, Den Haag, 1944
[2]     H.S.M. COXETER: S.L. GREITZER: Geometry Revisited, MAA, 1969 (Vol. 19)
[3] DICK KLINGENS: Over de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek. (PDF-bestand, ca. 97Kb)
[4] R.A. JOHNSON: Adavanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 1960
[5] FLOOR. VAN LAMOEN: De Porisme-cirkels (website)
[6] P. WIJDENES: Vlakke meetkunde voor voortgezette studie, P. Noordhoff N.V., Groningen, 1964

4. Download terug
Enkele figuren van deze pagina, waaronder de figuur die gebruikt is bij de CabriJavapplet, kunnen via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten (ZIP-bestand, ca 4kB).


begin pagina
[omincirkel.htm] laatste wijziging op: 25-04-07