Inverse afstand

Overzicht  ][  Middencirkel | Inversie | Meetkunde


0. Overzicht begin pagina

  1. Inleiding
         1.1. Definities en stellingen
         1.2. Rakende en snijdende cirkels
  2. Rekenen aan Steiner's porisma
  3. Rekenen aan de i-afstand
  4. Toepassingen
         4.1. Om- en incirkel
         4.2. Omcirkel en negenpuntscirkel
  5. Referenties
  6. Download

1. Inleiding begin pagina
1.1. Definities en stellingen begin pagina
We definiren:

Definitie
Voor twee concentrische cirkels C1 (straal a) en C2 (straal b) is de c-afstand het getal
   .
.
Stelling 1
Voor de straal r van de middencirkel Cm van twee concentrische cirkels (met stralen a en b) geldt
   .
figuur 1 Image180.gif (3340 bytes) Bewijs:
Zie de pagina "Middencirkel".

We hebben nu verder:

Stelling 2
De middencirkel van twee concentrische cirkels deelt de c-afstand van die cirkels middendoor.

Opmerking: Voor het begrip "middencirkel" zie de pagina "Middencirkel".

Bewijs:
We hebben
   

Er geldt eveneens:

Stelling 3
Twee niet-snijdende cirkels kunnen door een inversie worden afgebeeld op twee concentrische cirkels.

Bewijs:
Zie Hulpstelling 2 op de pagina "Een probleem van Steiner".

Ook voor twee niet-snijdende cirkels kunnen we, op basis van deze stelling een "afstands"-definitie geven:

Definitie
Onder de i-afstand (inverse afstand) van twee niet-snijdende cirkels C1 en C2 verstaan we het getal d(C1, C2) dat gelijk is aan de c-afstand van de concentrische (inverse) beelden C1’ en C2’ van C1 en C2.

Opmerking
Als er geen verwarring kan ontstaan worden kunnen de begrippen "c-afstand" en "i-afstand" door elkaar worden gebruikt.
[einde Opmerking]

1.2. Rakende en snijdende cirkels begin pagina
Rakende cirkels worden door een inversie met het raakpunt als inversiecentrum, afgebeeld op twee evenwijdige lijnen (zie de pagina "Middencirkel").

figuur 2 Image182.gif (3134 bytes) Image183.gif (3529 bytes)

Evenwijdige lijnen op hun beurt kunnen worden opgevat als het limietgeval van twee concentrische cirkels (het middelpunt is het punt-op-oneindig van de centraal).
We kunnen daardoor zonder problemen afspreken:

Afspraak
Rakende cirkels hebben een i-afstand gelijk aan 0.

Voor snijdende cirkels geven we geen definitie.

2. Rekenen aan Steiner’s porisma begin pagina
Steiner’s porisma is behandeld op de pagina "Een probleem van Steiner".

figuur 3 Image184.gif (3083 bytes) We hebben twee niet-snijdende cirkels (binnenliggend) en een aantal (n) cirkels die beide cirkels en elkaar opvolgend raken.
We kunnen de twee niet-snijdende cirkels afbeelden op twee concentrische cirkels.
De andere cirkels vormen dan een ring van n congruente cirkels, waarvan de middelpunten een regelmatige n-hoek vormen (zie figuur 4, waarin n = 6).
figuur 4 Image185.gif (3050 bytes) We gaan uit van een regelmatige n-hoek.
Zij nu A een van de middelpunten van de cirkels in de ring, en T het raakpunt met een buurcirkel.
Zij verder a de straal van de buitenste cirkel (C1) en b de straal van de binnenste cirkel (C2).
Dan is CA = (a + b) /2 en AT = (a - b) / 2.
In driehoek ACT is ACT = p/n.
Verder is dan d = d(C1,C2) = ln(a/b)

We hebben nu in driehoek ACT:
   
Lossen we hieruit d op dan vinden we eerst
   
zodat
   

Voorbeelden
[1]
Voor n = 4 hebben we dus d = 2 ln ( 2 + 1).

figuur 5a Image189.gif (2956 bytes) We hebben nu een configuratie van zes cirkels die in drie paren "overliggende" cirkels uiteen kan vallen.
Elke cirkel raakt hierbij aan de andere met uitzondering van z’n overliggende cirkel
De i-afstand van elk paar overliggende cirkels is gelijk aan 2 ln (2 + 1), terwijl de overige afstanden gelijk zijn aan 0.

[2]
Soddy-cirkels

figuur 5b Image190.gif (2769 bytes) Deze cirkels worden behandeld op de pagina "Soddy-cirkels".
De configuratie is die uit het porisma van Steiner voor n = 3 (zie figuur 5b).
Dus d = 2 ln(sec p/3 + tan p/3) = 2 ln(2 + 3)

[3]
Uitdrukkingen voor de i-afstand met hyperbolische functies

Uit
   
volgt, als we in de tussenberekeningen j  = p/n stellen:
   
Nu is:
   
Dus tanh d/2 = sin p/n.
Zo ook sinh d/2 = tan p/n en cosh d/2 = sec p/n.
Voor de Soddy-cirkels (zie voorbeeld 2) hebben we dus ook cosh d/2 = sec p/3 = 2.

3. Rekenen aan de i-afstand begin pagina
We gaan eerst even uit van twee snijdende cirkels C1 en C2 met stralen a en b.
De "echte" afstand tussen de middelpunten van C1 en C2 zij c.

figuur 6 Image193.gif (2019 bytes) Voor de scherpe hoek bij A (de hoek tussen de cirkels) geldt nu
   .

We bekijken nu de uitdrukking
   
als n van a, b of c groter is dan de som van de beide andere (in dit geval snijden de cirkels elkaar dus niet).

Concentrische cirkels - c = 0.
Voor de i-afstand d van de beide cirkels hebben we nu d = ln(a/b) voor a > b (zie figuur 7).

figuur 7 Image196.gif (2365 bytes) Voor de eindpunten van de middellijnen AA’ en BB’ hebben nu de dubbelverhouding
   
Nu is AB = a - b en AB’ = a + b, zodat

Doordat de dubbelverhouding invariant is bij inversie, geldt deze uitdrukking ook in het geval de concentrische cirkels verkregen zijn als beeld bij een inversie van twee niet-snijdende cirkels.
Echter dan moet de dubbelverhouding worden uitgedrukt in de termen van de werkelijke a, b en c.

Niet-concentrische cirkels - geval 1: a - b > c

figuur 8 Image199.gif (2297 bytes)

Dus:

Dus cosh d = g.

Niet-concentrische cirkels - geval 2: a + b < c


Dus cosh d = -g.

We hebben dus:

Stelling 4
Als c de "echte" afstand is tussen de middelpunten van twee elkaar niet-snijdende cirkels met stralen a en b, dan geldt voor de i-afstand d van beide cirkels:
   

Merk hierbij de overeenkomst op tussen de i-afstand van twee niet-snijdende cirkels en de hoek tussen twee snijdende cirkels.

4. Toepassingen begin pagina

4.1. Omcirkel en incirkel begin pagina

figuur 9 Image203.gif (2430 bytes) Zij d de i-afstand van de om- en incirkel van een driehoek.
Zij R is de straal van de omcirkel en r de straal van de incirkel. Dan geldt:
   .

Voor de afstand m van de middelpunten van beide cirkels geldt:
    m2 = R2 - 2rR
Het bewijs van deze relatie staat op de pagina "Om- en incirkel".

Nu is volgens stelling 4:
   
Verder is
   
waaruit het gestelde volgt.

4.2. Omcirkel en Negenpuntscirkel begin pagina

figuur 10 Image207.gif (2935 bytes) Zij d de i-afstand van de omcirkel en de negenpuntscirkel van een driehoek.
Voor een scherphoekige driehoek ABC geldt
   sinh2 d = cosA cosB cosC
Voor een stomphoekige driehoek ABC geldt
   sinh2 d = - cosA cosB cosC

We gaan uit van een scherphoekige driehoek ABC waarvan de straal van de omcirkel gelijk is aan R.
In driehoek OBA m geldt: A mOB = A.
Uit OA m / R = cosA volgt dan AH = 2RcosA.
In driehoek AHO geldt dan volgens de cosinusregel: HO2 = AH2 + OA2 - 2AH . OH . cos OAH, zodat
HO2 = 4R2cos2A + R2 - 4R2 . cosA . cos OAH …… (1)
In driehoek A1AC is A1AC = 90 - C.
In driehoek OB mA is B mAO) = 90 - B
zodat
A1AO = OAH  = B - C (mits B > C hetgeen de algemene geldigheid niet aantast).
Vergelijking (1) gaat daardoor dus over in
   HO2 = R2(1 + 4cos2A - 4 . cosA . cos(B - C) ) =
           = R2(1 + 4cosA . ( -cos(B + C) - cos(B - C) )
           = R2(1 + 4cosA . (-2cosB . cosC))
Dus
   HO2 = R2(1 - 8cosA . cosB . cosC)
Voor de straal r van de negenpuntscirkel geldt r = R, terwijl voor het middelpunt N van de negenpuntscirkel geldt: ON = OH.
Volgens stelling 4 vinden we dan
   
Wegens 2sinhx = cosh x - 1 hebben we dan
   sinh2 d = cosA cosB cosC

5. Referenties begin pagina
Zie de pagina "Middencirkel"

6. Download begin pagina
Deze pagina is, in een iets andere vorm, ook beschikbaar in PDF-formaat.
Download... invafstand.pdf [ca. 68Kb]

Een PDF-bestand kan met Acrobat Reader worden gelezen: Get Acrobat Reader


begin pagina

[invafstand.htm] laatste wijziging op: 18-07-08