Middencirkel

Overzicht  ][  Inverse afstand  |  Inversie  |  Meetkunde


0. Overzicht begin pagina

  1. Inleiding
  2. Middencirkel (ook wel machtcirkel)
         2.1. Snijdende cirkels
         2.2. Direct bewijs
         2.3. Bewijs met inversie
  3. Alle gevallen
         3.1. Snijdende cirkels
         3.2. Uitwendig rakende cirkels
         3.3. Niet-snijdende cirkels (buitenliggend)
         3.4. Inwendig rakende cirkels
         3.5. Niet-snijdende cirkels (binnenliggend, niet-concentrisch)
         3.6. Concentrische cirkels
  4. Cirkels met gelijke straal
  5. Referenties
  6. Download

Zie ook de Cabri-werkbladen "Loodrecht snijden" en "Inversie"
Zie ook de webpagina’s "Inversie" en "De macht van een punt tov. een cirkel"

1. Inleiding begin pagina

Definities
[1]
Twee cirkels heten orthogonaal als ze elkaar loodrecht snijden.
De eerste cirkel heet soms ook wel een orthogonaal-cirkel van de tweede cirkel.
[2]
Twee punten A en B heten elkaars inverse tov. een cirkel (O, k) indien OA.OB = k2.
De cirkel heet inversiecirkel. Het punt O heet centrum van inversie.
Het getal k2 heet inversiemacht.
(zie voor deze definities ook de pagina "Inversie")
.
figuur 1 Image211.gif (5718 bytes) Opmerking
Een cirkel heeft meerdere orthogonaalcirkels (een cirkelbundel); zie figuur 1.
[einde Opmerking]

Tussen inversie en orthogonaliteit van cirkels is een verband.

Stelling 1
Als de cirkel (P, r) een orthogonaalcirkel is van de cirkel (O, k), dan is dan wordt de cirkel P door de inversie tov. de cirkel O op zichzelf (niet puntsgewijs) afgebeeld.
De cirkelboog binnen de inversiecirkel wordt afgebeeld op de cirkelboog buiten de inversiecirkel.

Bewijs:

figuur 2 Image212.gif (2233 bytes) Cirkel O is de inversiecirkel.
Voor X en X’ geldt:
   OX . OX’ = OP2 = k2
De punten X en X’ zijn dus elkaars beeld bij de inversie met centrum O en macht k2.

2. Middencirkel begin pagina
2.1. Snijdende cirkels begin pagina
We gaan (eerst) uit van twee elkaar snijdende cirkels.
We vragen ons af of het mogelijk is de ene cirkel op de andere cirkel af te beelden door inversie.
Op de pagina "Inversie", paragraaf 5.2, Stellling 2, staat:

Stelling 2
Ligt O niet op de cirkel K, en is m de macht van O tov. K, dan gaat K bij inversie (O, k2) over in een cirkel die vermenigvuldigingsfiguur is van K met factor k2/m.

Voor het bewijs verwijzen we naar de hierboven genoemde paragraaf op de pagina "Inversie".

figuur 3 Image213.gif (2757 bytes) De inversiecirkel is dus de cirkel die gaat door de beide snijpunten.
Het middelpunt van de inversiecirkel is (in dit geval) het uitwendig gelijkvormigheidspunt van de cirkels.
Definitie
De inversiecirkel heet middencirkel (Eng.: mid-circle) van beide cirkels.
De inversiecirkel wordt ook wel machtcirkel genoemd.
In Engelse literatuur wordt de middencirkel vaak aangeduid als 'circle of antisimilitude'.

2.2. Direct bewijs begin pagina
We kunnen natuurlijk ook direct bewijzen dat zo’n middencirkel bestaat (zie figuur 4).

figuur 4 Image214.gif (3003 bytes) In figuur 4 is O het uitwendig gelijkvormigheidspunt van beide cirkels.
Nu is:
   OC1 : OC2 = r : R
waarbij r en R de stralen zijn van de cirkels.
Dus geldt:
OC2 = R/r . OC1.

Voor OC1 geldt dan:
   OC1 + d = R/r . OC1
zodat
   
Nu is
   
OT1.OU2 = constant. T1 en U2 zijn dus elkaars inverse tov. een cirkel met O als middelpunt.
In het bijzonder geldt (zie figuur 5):

figuur 5 Image217.gif (2862 bytes)    (OP1)2. (OP2)2 = (k2)2 = k4
terwijl
   OA1. OA = OP12 en OA. OA2 = OP22
Zodat
   
De straal van de inversiecirkel is dus OA.

Opmerking
Er is in dit geval nog een tweede middencirkel, nl. de cirkel die bepaald wordt door het inwendig gelijkvormigheidspunt van beide cirkels.
We spreken van uitwendige en inwendige middencirkels.
[einde Opmerking]

2.3. Bewijs met inversie begin pagina

figuur 6 Image219.gif (4208 bytes) In figuur 6 is cirkel (A, AB) een inversiecirkel.
De inverse beelden van de cirkels C1 en C2 zijn twee rechte lijnen (immers de cirkels gaan door het middelpunt van de inversiecirkel).
De lijnen snijden elkaar in het punt B.
Deze lijnen kunnen op twee manieren (nl. via de bissectrices van de hoeken) op elkaar worden afgebeeld.
De inverse beelden van deze lijnen zijn twee cirkels, de middencirkels van C1 en C2.

Twee snijdende cirkels hebben dus twee middencirkels.

Gevolg
Omdat inversie een hoektrouwe (conforme afbeelding) is, volgt uit het bovenstaande, dat de middencirkels de hoeken tussen de beide gegeven cirkels middendoor delen.
En ook: de beide middencirkels snijden elkaar loodrecht (orthogonaalcirkels).
[einde Opmerking]

3. Alle gevallen begin pagina
We kunnen de volgende gevallen onderscheiden (zie figuur 7):

1. snijdende cirkels
2. uitwendig rakende cirkels
3. niet-snijdende cirkels (buitenliggend)
4. inwendig rakende cirkels
5. niet-snijdende cirkels (binnenliggend, niet-concentrisch)

figuur 7
Image220.gif (1430 bytes) Image221.gif (1377 bytes) Image222.gif (1417 bytes) Image223.gif (1360 bytes) Image224.gif (1368 bytes)

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

6. concentrische cirkels

We gaan er bij de constructies van uit, dat de cirkels ongelijke stralen hebben.
Voor cirkels met gelijke straal zie paragraaf 4.

3.1. Snijdende cirkels begin pagina
Zie hiervoor paragraaf 2.

3.2. Uitwendig rakende cirkels begin pagina

figuur 8a Image225.gif (2296 bytes) Zonder inversie
Ook in dit geval kunnen we het uitwendig gelijkvormigheidspunt O vinden via de gemeenschappelijke (uitwendige) raaklijnen.
De inversiecirkel is dan de cirkel met O als middelpunt die gaat door het raakpunt (zie figuur 8a).
figuur 8b Image226.gif (3134 bytes) Met inversie
De cirkel met middelpunt A is inversiecirkel. Door de inversie tov. deze cirkel gaan de beide cirkels over in evenwijdige rechte lijnen.
Deze worden door de middenparallel van deze lijnen op elkaar afgebeeld.

Het inverse beeld van de middenparallel van beide lijnen is dus middencirkel van beide gegeven cirkels.

3.3. Niet-snijdende cirkels (buitenliggend) begin pagina

figuur 9a Image227.gif (2635 bytes) Zonder inversie
Ook hier is het middelpunt van de middencirkel het uitwendig gelijkvormigheidspunt. Probleem is echter dat we nu (in tegenstelling tot de vorige gevallen) het punt A niet direct kunnen vinden.
We gebruiken echter een cirkel die beide cirkels raakt (cirkel met middelpunt P).

Cirkel P is gevonden door een willekeurige lijn m door O te snijden met de beide cirkels en twee snijpunten te gebruiken voor de constructie van het punt P.
Cirkel P moet door de inversie op zichzelf worden afgebeeld (hoektrouw). A is dus het raakpunt van de raaklijn uit O aan deze cirkel.

Met inversie
Twee niet snijdende cirkels kunnen door inversie worden afgebeeld op twee concentrische cirkels (zie Hulpstelling 2 op de pagina "Een probleem van Steiner").

figuur 9b Image228.gif (4814 bytes) In figuur 9b zijn C1’ en C2’ de (concentrische) beelden van C1 en C2 bij een inversie met centrum P.
Bij een inversie met de cirkel met middelpunt D en straal Ö(ab) gaan C1’ (met straal a) en C2’ (met straal b) in elkaar over (zie paragraaf 3.6).
Het inverse beeld van deze cirkel bij inversie met centrum P is de gevraagde middencirkel van C1 en C2.

3.4. Inwendige rakende cirkels begin pagina

figuur 10a Image229.gif (3684 bytes) Zonder inversie
Evenals in paragraaf 3.2 (Uitwendig rakende cirkels) kunnen ook hier gebruik maken van het (dit keer) inwendig gelijkvormigheidspunt O. De constructie daarvan is in figuur 10a gevonden met de evenwijdige lijnen m1 en m2.
De middencirkel van de beide cirkels is dan cirkel (O,OA).
figuur 10b Image230.gif (3529 bytes) Met inversie
De constructie verloopt op dezelfde manier als in paragraaf 3.2 (Uitwendig rakende cirkels).

3.5. Niet-snijdende cirkels (binnenligend, niet-concentrisch) begin pagina

figuur 11a Image231.gif (3654 bytes) Zonder inversie
Evenals in paragraaf 3.4 kunnen we het inwendig gelijkvormigheidspunt O vinden met behulp van twee evenwijdige lijnen door de middelpunten van C1 en C2.
Cirkel P raakt aan C1 en C2.
Deze cirkel moet door de gezochte middencirkel op zichzelf worden afgebeeld.
De middencirkel is dus een orthogonaalcirkel van cirkel P met middelpunt O.
De straal van de middencirkel is dus OA.
Zie ook paragraaf 3.3.

Met inversie
Ook nu maken we gebruik van het feit, dat twee niet-snijdende cirkels via een inversie kunnen worden afgebeeld op twee concentrische cirkels (zie ook paragraaf 3.3).
Als inversiecirkel is in figuur 11b de cirkel met middelpunt P gebruikt (zie Hulpstelling 2 op de pagina "Een probleem van Steiner").

figuur 11b Image232.gif (4817 bytes) De middencirkel van de concentrische cirkels wordt dan door deze inversie afgebeeld op de middencirkels van de gegeven cirkels.

3.6. Concentrische cirkels begin pagina
Bij concentrische cirkels gaan we iets anders te werk.
Het is duidelijk, dat het gemeenschappelijk middelpunt C het inwendig gelijkvormigheidspunt van deze cirkels is.
De gezochte middencirkel heeft punt C dus eveneens als middelpunt.

figuur 12 Image233.gif (3340 bytes) Voor de punten X en X’ moet nu gelden
   CX . CX’ = k2
waarbij k de lengte van de straal is van de gezochte middencirkel.
k is dus middelevenredig tussen CX en CX’, die opvolgend gelijk zijn aan de straal a en de straal b van C1 en C2.
De straal k van de middencirkel is in dit geval dus gelijk aan Ö(ab).

Zie ook de pagina "Inverse afstand".

4. Cirkels met gelijke straal begin pagina

figuur 13 Image234.gif (1974 bytes) Bij cirkels met gelijke straal (en niet samenvallend middelpunt) is het uitwendig gelijkvormigheidspunt het oneigenlijk punt van de centraal (de verbindingslijn van de middelpunten).

De middencirkel van deze cirkel ontaardt daardoor in een rechte lijn: de middelloodlijn van de afstand tussen de middelpunten.

Met deze kennis kunnen we eenvoudig een inversie vinden die twee cirkels afbeeldt op twee cirkels met gelijke straal (zie figuur 14). We kiezen het inversiecentrum namelijk op de middencirkel.

figuur 14 Image235.gif (3521 bytes) Cirkel O is de middencirkel van C1 en C2.
Cirkel P is de inversiecirkel (P ligt op de middencirkel van C1 en C2).
De lijn S1S2 is het beeld van de middencirkel bij deze inversie.
Deze lijn is dus "spiegelas" van de beelden C1’ en C2’ van C1 en C2.

5. Referenties begin pagina

[1] H.S.M. COXETER, S.L. GREITZER, Geometry Revisited, MAA (vol. 19), 1967
[2] R. DIXON, Mathographics, Dover Publications, New York, 1987
[3] D. PEDOE, Circles: A mathematical view, MAA (Spectrum Series), 1957
[4] FLOOR. VAN LAMOEN: De Porisme-cirkels (website)
[5a] Webpagina "Inversie" / Cabri-werkblad "Inversie"
[5b] Webpagina "Inverse afstand"
[5c] Webpagina "Loodrecht snijden" (Cabri-werkblad)
[5d] Webpagina "De macht van een punt tov. een cirkel"
[7] Steiner’s porisma op de webpagina "Een probleem van Steiner"

6. Download begin pagina
Deze pagina is, in een iets andere vorm, ook in PDF-formaat beschikbaar.
Download... midcirkel.pdf [ca. 110Kb]

Een PDF-bestand kan met Acrobat® Reader worden gelezen: Get Acrobat® Reader


begin pagina
[midcirkel.htm] laatste wijziging op: 18-07-08