Ellips-constructies met Cabri [3]

Constructie  |  Bewijs  ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

3. Constructie als orthogonale projectie van een cirkel
Zie figuur 3a.

figuur 3a ellipsd3.gif (2468 bytes) Opmerking
De cirkel met middellijn A1A2 heet hoofdcirkel van de ellips. De ingeschreven cirkel die gaat door het punt B, wordt in dit verband wel nevencirkel genoemd.
[einde Opmerking]

In deze figuur:

Wanneer nu P de hoofdcirkel doorloopt, doorloopt het punt X een ellips.

Klik hier Animatie voor een animatie bij deze constructie.

Bewijs:
Ook hier is natuurlijk een bewijs noodzakelijk.
Uitgaande van het punt P en de hoek f hebben we:
   ellipsf7.gif (1157 bytes)waarbij ellipsf8.gif (965 bytes).
Voor X geldt dan:
(3.1)…ellipsf9.gif (1162 bytes)
Dit laatste kunnen we het snelst afleiden door het punt X (gelegen in een vlak W) op te vatten als orthogonale projectie van het punt P (gelegen in een vlak V), waarbij de hoek tussen V en W gelijk is aan t, met cos t = b/a, terwijl V en W elkaar snijden volgens de x-as (zie figuur 3b).

figuur 3b ellipsd3b.gif (907 bytes) Nu is:
   ellipsf11.gif (1425 bytes)

Uit het stelsel (3.1) volgt dan door kwadratering de vergelijking van de meetkundige plaats van het punt X:
   ellipsf1.gif (1048 bytes).


begin pagina

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

[ellips3.htm] laatste wijziging op: 22-12-2000