Ellips-constructies met Cabri [2]

Constructie  ][  Kegelsneden  |  Macro's voor kegelsneden  |  Cabri

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

2. Constructie gebaseerd op lijnvermenigvuldiging van een cirkel
Zie figuur 2.

We willen nu op de loodlijn door P op de x-as die de cirkel snijdt in het punt Q, het punt X construeren waarbij PX = b/a PQ.
Nu is OB = b = b/a OB1.
We kunnen het punt X dus vinden met behulp van de lijn B1Q, die de x-as snijdt in het punt S, en de lijn SB, die de loodlijn in P snijdt in X.

figuur 2 ellipsd2.gif (2390 bytes) Opmerking
De cirkel met middellijn A1A2 heet de hoofdcirkel van de ellips.
[einde Opmerking]

In dit geval moeten we wel aantonen, dat de verzameling van de punten X en X' (het spiegelbeeld van X in de x-as) een ellips is, als P het lijnstuk A1A2 doorloopt.
Op basis van vergelijking van de cirkel met middelpunt O en straal a geldt voor het punt Q: ellipsf2.gif (1017 bytes)
Hierin zijn xQ en yQ de co÷rdinaten van het punt Q.
Voor het punt X hebben we nu: ellipsf3.gif (1155 bytes)zodat ellipsf4.gif (1156 bytes).
Substitutie hiervan in bovenstaande betrekking geeft dan:
   ellipsf5.gif (1317 bytes)
Deling van beide leden van de vergelijking door a2 (en "lopend" maken van de co÷rdinaten) geeft dan de vergelijking van de ellips:
   ellipsf1.gif (1048 bytes).

Opmerking
De bovenstaande methode is bijzonder geschikt om meerdere punten van een ellips te construeren.
Op de pagina "Toegevoegde middellijnen" wordt eveneens van de lijnvermenigvuldiging gebruik gemaakt.
[einde Opmerking]

Klik hier Animatie voor een animatie bij deze constructie.


begin pagina

vorige Vorige begin Begin volgende Volgende

[ellips2.htm] laatste wijziging op: 28-12-2000