Hyperbolische meetkunde [4]: Lengte van lijnstukken

Pagina-overzicht  ][  Complexe afbeeldingen  |  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

0. Overzicht

  1. Op zoek
  2. Gevonden, definitie
  3. Samenhang met de dubbelverhouding
  4. Loodlijn en middelloodlijn cabrisignal.gif (160 bytes)
  5. Gemeenschappelijke loodlijn cabrisignal.gif (160 bytes)
  6. Hoogtelijnen en bissectrices van een d-driehoek cabrisignal.gif (160 bytes)
         6.1. Hoogtelijnen
         6.2. Bissectrices
         6.3. Stelling van Brianchon
  7. Stelling van Pythagoras in de P-meetkunde

1. Op zoek
Naast enkele basiseigenschappen waaraan de definitie van "lengte van een lijnstuk" moet voldoen, moet door de functie d die een lijnstuk, gedefinieerd door een puntenpaar (A,B), afbeeldt op de verzameling van de niet-negatieve rele getallen, zeker gelden:
     d(A, B) = d(F(A), F(b))
waarbij F een H-afbeelding is.

figuur 1 hypm41.gif (1919 bytes) We kiezen nu F(z) = (z-a) / (1-a_z), met |a|<1.
Voor het punt A, vastgelegd door a = p1 + q1i,. hebben we dan: F(a) = 0, of anders geschreven F(A) = O.
Voor het punt B met b = p2 + q2i, vinden we F(b) = (b-a) / (1-a_b).
Gaan we uit van bovengenoemde eis, dan moet de functie d dus zeker voldoen aan:
     d(A, B) = d(O, (b-a)/(1-a_b).
Het punt F(B) kunnen we door een rotatie afbeelden op het punt | (b-a) / (1-a_b) | van de rele as, zodat ook
     d(A, B) = d(O, | (b-a) / (1-a_b) | = | (b-a) / (1-a_b) |
En deze laatste uitdrukking, | (b-a) / (1-a_b) |, is een niet-negatief reel getal.
Een hiermee is dus een afbeelding gevonden van de verzameling puntenparen die een lijnstuk bepalen, op de verzameling niet-negatieve getallen (zie figuur 1)

2. Gevonden, definitie
In paragraaf 1 hebben we dus gevonden, dat de afstandsfunctie gebaseerd moet zijn op de invariantie van de uitdrukking   | (b-a) / (1-a_b) |. Een dergelijke functie is de artanh (area tangens hyperbolicus), ook wel genoteerd als tanh-1 of th-1.
Zie de pagina "Hyperbolische functies"

Definitie 1
De afstand tussen twee d-punten A (z = z1) en B (z = z2) wordt vastgelegd via de functie d met
d(A, B) = 2 artanh( |(z2-z1) / (1-z1_z2)| )

Opmerkingen
[1] De factor 2 in de definitie van d(A, B) maakt het mogelijk de afstand tussen twee d-punten A en B in verband te brengen met de dubbelverhouding van de  punten en de oneigenlijke punten van het lijnstuk AB (zie paragraaf 3).
[2] We kunnen bewijzen dat de op deze manier vastgelegde functie d voldoet aan alle eisen die aan een afstandsfunctie moeten worden gesteld.
[einde Opmerkingen]

We merken verder op, dat indien n van beide punten (bijvoorbeeld het punt A) met het centrum samenvalt, de afstand wordt gevonden met
d(O, B) = 2 artanh (| z2 / 1|) = 2 artanh (|z2|).
We kunnen daardoor een eenvoudiger (te onthouden) definitie geven:

Definitie 2
De afstand tussen het punt O en een d-punt A (z = a + bi) wordt vastgelegd via de functie d met
d(O, A) = 2 artanh (|z|) = 2 artanh (a2 + b2).

Opmerking
Het is immers mogelijk voor twee punten A en B een H-afbeelding te gebruiken die n van beide punten op het centrum afbeeldt.
[einde Opmerking]

3. Samenhang met de dubbelverhouding

Stelling 1
   

Bewijs:
Schrijven we D voor d(O, Z), dan hebben we dus
2 artanh |z| = D
   |z| = tanh (D) = sinh(D) / cosh(D)
zodat
   
of

  
Zodat
   .
          figuur 2 hypm42.gif (1423 bytes)

We kunnen nu eenvoudig afleiden:

Stelling 2
d(O,Z) = ln|(O,Z;Qo,Po)|,
waarin Po en Qo de oneigenlijke punten zijn van het lijnstuk OZ en (O,Z;Qo,Po) de dubbelverhouding is tussen de punten.

Bewijs:
Zie figuur 2, waarin A', B', Po', Qo' de originelen zijn van A, B, Po en Qo.
We hebben een afbeelding gebruikt die A' afbeeldt op O.
Zij B = Z.
Op de middellijn hebben we nu (O,Z;Qo,Po) = (QoO /QoZ ) : (PoO/PoZ)
Nu is
(O,Z;Qo,Po) = (1 / (1 - |z|) ) : (1 / (1 + |z|) = (1 + |z|) / (1 - |z|).
Waaruit het gestelde, conform Stelling 1, volgt.

Opmerking
Ook hieruit volgt nu dat we een zinvolle afstandsfunctie gebruiken. Immers, opnieuw wordt bevestigd dat de lengte van lijnstukken invariant is onder een H-afbeelding, omdat reeds eerder bewezen is, dat de dubbelverhouding van vier punten onder een Mbius-transformatie (en de H-afbeelding is er zo een) invariant is.
[einde Opmerking]

Voorbeeld
In de figuur hieronder hebben we de rechthoekige driehoek OAB, met A: z = en B: z =  i.

hypm4vb.gif (1094 bytes) Nu is volgens de definities
D(O, A) = 2artanh|| = 1,09861
D(O, B) = 1,09861
D(A, B) =
   2artanh|( -  i)/(1 -  i_.)| =
   2artanh|( -  i)/(1+ i)| = 2artanh|(2 - 2 i)/(4 + i)| =
   2artanh(8/17) = 1,6807
We zien nu (zoals wel te verwachten was), dat AB2 <> OA2 + OB2
In de H-meetkunde geldt de stelling van Pythagoras dus niet.
Zie verder de paragraaf "Stelling van Pythagoras".
[einde Voorbeeld]

4. Loodlijn en middelloodlijn

Stelling 3
Door elk d-punt buiten (op) een d-lijn gaat precies een lijn die loodrecht staat op die d-lijn.
figuur 3a hypm43a.gif (1068 bytes)      figuur 3b hypm43b.gif (1073 bytes)

Bewijs:
Zie figuur 3a en figuur 3b.
Volgens de E-meetkunde moet de drager van een d-loodlijn loodrecht op twee cirkels staan: namelijk op de drager van het d-lijnstuk en op de horizon.
Stel het d-punt P ligt niet op een middellijn van de horizon.
Het middelpunt van de drager is dan het snijpunt van de Euclidische middelloodlijn van PP1 (met P1 is inverse van P tov. horizon) en de middelloodlijn van het lijnstuk PP2 (met P2 is het inverse punt is van P ten opzichte van de drager van AB).
Ligt P wel op een middellijn van de horizon, dan is die middellijn de loodlijn uit P op de d-lijn.

Definitie
De d-lijn door het midden van een d-lijnstuk die loodrecht op het d-lijnstuk staat, heet d-middelloodlijn van dat lijnstuk

We hebben nu, evenals in de E-meetkunde:

Stelling 4
De d-middelloodllijnen van de zijden van een d-driehoek zijn concurrent, tenzij ...

Klik hier animatie voor een animatie bij Stelling 4

figuur 4 hypm44.gif (1676 bytes)             Bewijs:
We bewijzen allereerst, dat er precies n middelloodlijn is (zie figuur 4).
We kunnen het midden M van het d-lijnstuk AB met een H-afbeelding F afbeelden op het centrum. Hierdoor gaat de lijn AB over in een middellijn van de disk.
Op deze middellijn, A'B', is het punt O het midden van A'B'.
A'B' heeft (Euclidisch gezien) precies n middelloodlijn. Het origineel daarvan onder de afbeelding  F is de middelloodlijn van AB.
De rest van het bewijs verloopt op dezelfde manier als in de E-meetkunde (zie figuur 5).
We kunnen door gebruik te maken van het congruentegeval ZHZ bewijzen, dat voor elk punt P van de middelloodlijn van AB geldt dat PA = PB.
Snijden de middelloodlijnen van AB en BC elkaar in het d-punt P (zie Opmerking), dan is PA = PB = PC, zodat PA = PC.
P ligt dan dus ook op de d-middelloodlijn van AC.
figuur 5 hypm45.gif (2616 bytes) Opmerking
In de stelling staat niet voor niets tenzij.
Als twee middelloodlijnen elkaar namelijk niet snijden in een d-punt, dan is er geen sprake van conucrrentie.
De loodlijnen behoren echter wel tot dezelfde bundel, dwz. ze sijn concurrent, parallel of ultra-parallel.
Zie eventueel ook de animatie bij deze stelling.
[einde Opmerking]

5. Gemeenschappelijke loodlijn
In de E-meetkunde hebben twee lijnen een gemeenschappelijke loodlijn dan en slechts dan als die lijnen evenwijdig zijn.
In de H-meetkunde ligt dat iets anders.

Definitie (P-meetkunde)
Zijn m1 en m2 twee d-lijnen met A1 op m1 en A2 op m2, dan heet de d-lijn A1A2 gemeenschappelijke loodlijn als A1A2 loodrecht staat op m1 en loodrecht staat op m2.
.
Stelling 5
Twee d-lijnen hebben een unieke gemeenschappelijke loodlijn dan en slechts dan als die lijnen ultra-parallel zijn.

Klik hier animatie voor een animatie van Stelling 5.

Bewijs:

figuur 6a hypm46a.gif (1733 bytes)      figuur 6b hypm46b.gif (2445 bytes)

(A) Stel m1 en m2 hebben een gemeenschappelijke loodlijn (zie figuur 6a).
Er is een H-afbeelding F, die A1 afbeeldt op O.
Nu is F(m1) een middellijn van de disk. Ook de lijn F(A1A2) is een middellijn. Beide lijnen staan in O loodrecht op elkaar.
Het beeld F(m2) van m2 is een d-lijn die loodrecht staat op F(A1A2) in het punt F(A2).
Zie verder figuur 6b.
Het middelpunt R van de drager van F(m2) ligt buiten de disk, op het verlengde van O-F(A2). De straal van deze drager is dus kleiner dan het lijnstuk RO, waardoor F(m1) en F(m2) elkaar niet sijden.
De lijnen m1 en m2 snijden elkaar dus evenmin. Ze zijn ultra-parallel.

figuur 7 hypm47.gif (2562 bytes) (B) Stel de lijnen m1 en m2 zijn ultra-parallel (zie figuur 7).
We bekijken de E-lijnen A1B1 en A2B2 (de lijnen door de oneigenlijke punten van de d-lijnen m1 en m2.
Zij R het snijpunt van A1B1 en A2B2. RT is een raanlijn aan de horizon. De cirkel (R, RT) snijdt nu de horizon loodrecht. Het deel van deze cirkel dat op de disk ligt is dus een d-lijn.
De punten A1 en B1 zijn elkaars inverse tov de cirkel R, evenals de punten A2 en B2. De snijpunten met de d-lijnen m1 en m2 zijn opvolgende U en V.
De lijn UV wordt nu door deze inversie puntsgewijs op zichzelf afgebeeld.
Ook de lijn m1 wordt op zichzelf afgebeeld, als ook de lijn m2.
De hoeken bij U tussen UV en m1 en bij V tussen UV en m2 worden ook op zichzelf afgebeeld.. Ze zijn samen 180. Dus elk is 90.
UV is dus de gemeenschappelijke loodlijn van m1 en m2.

Zijn A1B1 en A2B2 evenwijdig, dan is er een middellijn van de disk die loodrecht op beide staat. Deze middelliijn is dan de gemeenschappelijke loodlijn.

figuur 8a hypm48a.gif (1270 bytes)      figuur 8b hypm48b.gif (1285 bytes)

(C) Stel er zijn twee gemeenchappelijke loodlijnen. Er zijn twee mogelijke posities (zie figuur 8a en figuur 8b).
In figuur 8a is de hoekensom van PQRS gelijk aan 360, hetgeen in de P-meetkunde onmogelijk is.
In figuur 8b is de hoeken som van driehoek PQR groter dan 180. En dat is eveneens onmogelijk in de P-meetkunde.
De gemeenschappelijke middelloodlijn is dus uniek.

6. Hoogtelijnen en bissectrices van een d-driehoek
6.1. Hoogtelijnen

Stelling 6.1
De hoogtelijnen van een scherphoekige d-driehoek zijn concurrent.
.Klik hier anmatie voor een animatie van stelling 6.1.
figuur 
9a
hypm49a.gif (3898 bytes) Bewijs:
Zie figuur 9a.
We kunnen de driehoek zo afbeelden, dat het punt H (als snijpunt van de hoogtelijnen uit B en C, dat binnen de driehoek valt - dat is essentieel!) samenvalt met het centrum.
De d-lijnen gaan dan over in cirkels, terwijl de beide hoogtelijnen overgaan in middellijnen (van de horizon). Deze lijnen zijn de machtlijnen van twee cirkels. De derde machtlijn gaat dan ook door O. Deze machtlijn is het beeld van de derde hoogtelijn, die dan dus ook door H gaat..

Zie Opmerking!

Opmerking
In Stelling 6.1 staat niet voor niets scherphoekig!
Door een tegenvoorbeeld te geven is het duidelijk, dat een en ander voor een stomphoekige driehoek zeker niet hoeft te gelden (en dit dus in afwijking van wat wel geldt in de E-meetkunde).

figuur 9b hypm49c.gif (1541 bytes) In figuur 9b is driehoek ABC stomphoekig in B (= O). De punten A en C zijn oneigenlijke punten.
We zien dat de hoogtelijnen uit A en C elkaar niet snijden.
Kiezen we nu punten A' en C' in een omgeving van A resp. C, dan behoeft er evenmin sprake te zijn van door n punt gaande hoogtelijnen van de driehoek.
[einde Opmerking]

6.2. Bissectrices

Stelling 6.2
In een d-driehoek zijn de bissectrices van de hoeken concurrent.

Klik hier animatie voor een animatie van Stelling 6.2.

figuur 9c hypm49b.gif (2641 bytes) Bewijs:
Zie figuur 9c.
In de figuur is de d-bissectrice van hoek B getekend. Het punt X is een willekeurig punt van deze bissectrice.De punten Xa en Xc zijn de voetpunten van X op BC en AB.
De driehoeken BXXc en BXXa zijn nu congruent (ZZR). De loodlijnstukken uit X hebben dus gelijke lengte.
We kunnen nu op zelfde manier als in de E-meetkunde bewijzen dat de bissectrices van de hoeken concurrent zijn.

Zie paragraaf 6.3 voor een bewijs van stelling 6.2 via de Stelling van Brianchon.

6.3. Stelling van Brianchon
We kunnen stelling 6.2 fraai bewijzen door gebruik te maken van de Stelling van Brianchon op de pagina "De stellingen van Pascal en Brianchon voor cirkels":

Stelling van Brianchon
Als een zeshoek een zeshoek (niet noodzakelijk convex) om een cirkel beschreven is, dan zijn de drie lijnen die de overstaande hoekpunten verbinden, concurrent.

We maken in het bewijs van Stelling 6.2 ook gebruik van de volgende

Hulpstelling (P-meetkunde)
Zij m een d-lijn en P een d-punt.
De d-lijnen door P d-parallel aan m maken gelijke hoeken met de d-loodlijn uit P op m.
Bewijs:
         hypm49d0.gif (1587 bytes) In de figuur hiernaast is m = AoBo en n = PS de loodlijn op m.
De driehoeken AoSP en BoSP zijn nu congruent (ZHH).
Dus hoek SPAo = hoek SPBo.

Klik hier animatie voor een animatie van deze hulpstelling.

Bewijs van stelling 6.2
We gaan uit van twee bissectrices (in B en C) van de d-driehoek ABC.
We passen nu een H-afbeelding toe, waarbij het snijpunt van die bissectrices wordt afgebeeld op het centrum van de disk (zie figuur 9d).

figuur 9d hypm49d.gif (5220 bytes) Hierdoor gaan de beide bissectrices over in middellijnen door B' en C' van de disk.

Volgens de hulpstelling staat de bissectrice van hoek A' loodrecht op het d-lijnstuk dat de punten c1' en b1' (oneigenlijke punten van A'B' en A'C') verbindt. Dus gaat de bissectrice van hoek A' door de pool Ap van dat lijnstuk tov. de cirkel (Ap is het snijpunt van de raaklijnen in c1' en b'1 aan de cirkel).
De bissectrices van driehoek A'B'C' zijn dus de diagonalen van een zeshoek.
De zijden van die zeshoek zijn de Euclidische lijnstukken die bedoelde polen (zoals Ap) van driehoek A'B'C verbinden
Volgens de stelling van Brianchon zijn de diagonalen van die zeshoek concurrent.
Dit geldt dus ook voor de diagonalen van driehoek ABC.

Klik hier animatie voor een animatie van dit bewijs.

7. Stelling van Pythagoras
Met behulp van de afstandsdefinitie kunnen we de d-lengtes van de zijden van een d-driehoek berekenen.
We zullen zien dat er in de H-meetkunde ook een verband bestaat tussen de zijden van een rechthoekige driehoek, maar wel een ander verband dan in de E-meetkunde.
In het voorbeeld hierboven hebben we gezien, dat de Euclidische relatie c2 = a2 + b2 voor de zijden van een rechthoekige driehoek in ieder geval  niet geldt.

Stelling 7
In een rechthoekige d-driehoek ABC (met een rechte hoek in C) geldt voor de lengtes a, b, c van de zijden
     ch(c) = ch(a) . ch(b)
.
Hierin is ch een andere schrijfwijze voor cosh (de cosinus hyperbolicus of hyperbolische cosinus).

Bewijs:
We kunnen uitgaan van een rechthoekige driehoek met hoekpunten O (z = 0), A (z = p) en B (z = q i), waarin OA = b, OB = a en AB = c (zie figuur 10).

figuur 10 hypm410.gif (887 bytes) Volgens de definities is
a = OB = 2artanh(q)
b = OA = 2artanh(p)
c = AB = 2artanh | (p-qi)/(1-qi_p) | = 2artanh( (p2+q2)/(1+p2q2) )

Nu geldt (volgens de definitie van de functies tanh en cosh):


Stellen we nu x = artanh(t), dan hebben we t = tanh(x). Daardoor gaat deze formule over in:
     cosh( artanh(t) ) =  (1 + t2) / (1 - t2)
We vinden nu
     cosh(a) = cosh(2 artanh(q)) = (1+q2)/(1-q2)
     cosh(b) = cosh(2 artanh(p)) = (1+p2)/(1-p2)
En
      

Opmerking
Op de pagina "Parallelhoek" worden nog enkele andere goniometrische eigenschappen afgeleid.
Zie eventueel ook de pagina "Hyperbolische functies".
[einde Opmerking]


begin pagina

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

[hypm4.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000