Hyperbolische functies

1. Cirkelfuncties
De sinus, cosinus en tangens worden gedefinieerd met behulp van een cirkel met straal 1 (eenheidscirkel).
Voor deze definities en het verband tussen booglengte (op de cirkel) en deze functies wordt verwezen naar de pagina "Sinus, cosinus en tangens als functies".

figuur 1

We kunnen ook een verband leggen tussen deze functies en de oppervlakte van sectoren van de eenheidscirkel.
In figuur 1 hebben we:
- A (x,y)
- B( x,-y)
- E (1,0)
- de hoek AOE = a (in radialen, cq. re�el).

Nu is de oppervlakte U van de sector OAB = (2a)/(2p) . p = a, zodat
   x = cos a = cos U
   y = sin a = sin U
   y/x = tan a = tan U

Aanvullende afspraak
We maken hierbij nog een afspraak over het teken van de oppervlakte U.
We rekenen U positief als de y-co�rdinaat van A positief is.U is negatief als de y-co�rdinaat van A negatief is.

Opmerking
Voor alle punten met co�rdinaten (x,y) op de eenheidscirkel geldt x² + y² = 1.
[einde Opmerking]

2. Hyperboolfuncties
2.1. Definities
We bekijken nu de verzameling punten met co�rdinaten (x,y) die voldoen aan de vergelijking x² - y² = 1 (met x � 1).
Deze punten liggen op de rechts van de y-as gelegen deel van een orthogonale hyperbool (zie figuur 2).

Definitie
Zij U de oppervlakte van de hyperboolsector OAB van de orthogonale hyperbool x² - y² = 1, waarbij A(x,y) en B(x,-y).
Dan is:

cosinus hyperbolicus:	x = cosh U
sinus hyperbolicus:	y = sinh U
tangens hyperbolicus:	y/x = tanh U

We schrijven ook wel ch, sh en th.
Ook hier kennen we aan U een teken toe: positief als de y-co�rdinaat van A positief is; negatief als de y-co�rdinaat negatief is.

2.2. Eigenschappen
Gemakkelijk is nu in te zien, dat
- cosh² U - sinh² U = 1
- tanh U = sinh(U) / cosh(U)

Verder is
[1]
sinh(-U) = oppervlakte (OBA) = - oppervlakte (OAB) = - sinh (U)
omdat de y-co�rdinaten van teken wisselen.
[2]
cosh(-U) = oppervlakte (OBA) = oppervlakte(OAB) = cosh(U)
omdat de x-co�rdinaten niet van tekenwisselen.
[3]
tanh(-U) = sinh(-U) / cosh(_U) = -sinh(U) / cosh(U) = -tanh(U)
De functies sinh en tanh zijn dus oneven fucnties; cosh is een even functie.

2.3. Grafieken
In figuur 3 zijn de grafieken van de hyperbolische functies getekend.

figuur 4

In figuur 4 is getekend de grafiek van de functie
f(x) = 1 / x (voor x > 0).
Op de grafiek van deze functie liggen de punten A(1,1) en B(t, 1/t).
De projecties van A en B op de x-as zijn A₁ en B₁.
We noemen nu de figuur begrensd door de lijnstukken AA₁, A₁B₁, B₁B en het deel AB van de grafiek van f een hyperbooltrapezium.

We kunnen nu de oppervlakte van dit hyperbooltrapezium (volgens de integraalrekening) schrijven als

waarbij we B₁ nu dus de co�rdinaten (x,0) geven.
We kunnen nu bewijzen (niet hier) of defini�ren:

     voor x > 0
De functie ln(x) noemen we de natuurlijke logaritme van x.
Deze functie heeft ondermeer de volgende eigenschappen:
   ln(ab) = ln(a) + ln(b)
   ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
Verder is
   ln(a) = b equivalent met e^b = a.
De functie ln(x) is dus de inverse functie van de functie e^x (voor het getal e zie ook de pagina "De functie a^x en het getal e").

3.2. De vergelijking x² - y² = 1 wordt xy = �
We roteren de grafiek van de relatie x² - y² =1 over een hoek van 45� in positieve richting.
Daardoor vallen de asymptoten samen met de x- en y-as. Het punt A gaat daardoor over in A' (zie figuur 5) met co�rdinaten (x', y').
We bepalen het verband tussen x' en y'.

figuur 5

Nu is:
x' = cos(45� + a) OA = ��2(cos a - sin a) OA
y' = sin(45� + a) OA = ��2(cos a + sin a) OA
Vermenigvuldiging geeft dan
x'y' = �(cos² a - sin² a)OA² = �(cosh² U - sinh² U) = �

De vergelijking van de geroteerde orthogonale hyperbool is dus
xy = �

3.3. Verband tussen de oppervlakte van een hyperbooltrapezium en een hyperboolsegment

figuur 6

In figuur 6 zijn getekend de orthogonale hyperblen
   xy = C
   xy = 1
De punten A en B liggen willekeurig op xy = C.
Nu is de oppervlakte van het hyperbooltrapezium A₁B₁B₀A₀ gelijk aan
   ln(b) - ln(a) = ln(b/a)
De oppervlakte van het hyperbooltrapezium A₁B₁BA is dan gelijk aan
   C ln(b/a)
vanwege de verticale lijnvermenigvuldiging met factor C.

In verband met de ligging van A en B op de hyperbool xy = C hebben we verder
   OA₁ . A₁A = OB₁ . B₁B ( = C)
De oppervlaktes van de driehoeken OAA₁ en OBB₁ zijn dus aan elkaar gelijk.
Door optelling van de oppervlakte van OAA₁ bij die van het hyperbooltrapezium en aftrekking van de oppervlakte van driehoek OBB₁ vinden we dat
   Opp(hyperboolsector OAB) = Opp(hyperbooltrapezium A₁B₁BA)
Dus
   Opp(hyperboolsector OAB) = C ln(b/a)

figuur 7

We leiden nu uitdrukking voor de hyperbolische functies af met e-machten.
In figuur 7 hebben we de hyperboolsector getekend op de hyperbool met vergelijking xy = �.
Voor de coordinaten x' en x" geldt nu weer:
   x' = cos(45� + a)OA = ��2(cos a - sin a) = ��2(x - y)
   x" = sin(45� + a)OA = ��2(cos a + sin a) = ��2(x + y)
x en y zijn hierin de "oude" co�rdinaten van het punt A (dus voor de hyperbool x² - y² = 1).
Volgens de laatste formule in paragraaf 3.3 is nu
   U = Opp(hyperboolsector OAB) = � ln( (x+y)/(x-y) )

Hieruit volgt dan:
(4.1)....

Maar x² - y² = 1 geeft
(4.2) ..... (x + y)(x - y) = 1
Vermenigvuldiging van (4.1) en (4.2) levert
               (x + y)² = e^2U
en dus
               x + y = e^U
               x - y = e^-U
Door optelling en aftrekking vinden we uitdrukkingen van x ( = cosh U) en y ( = sinh U) in machten van e, zodat

Opmerking
De hyperbolische functies zijn voor het eerst ge�ntroduceerd door Vincenzo Riccati, 1707-1775, Itali�.
[einde Opmerking]

5. Inverse hyperbolische functies
De inverse functies van de hyperbolische functies worden genoteerd als arcosh of arch (area cosinus hyperbolicus), arsinh of arsh (area sinus hyperbolicus) en artanh of arth (area tangens hyperbolicus).
"Area" betekent hierin "oppervlakte".