Hyperbolische meetkunde [2]: Parallellen

Pagina-overzicht  ][  Complexe afbeeldingen  |  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

0. Overzicht

  1. Parallellen
         Hulpstelling (E-meetkunde)
         Stelling 1 (P-meetkunde) cabrisignal.gif (160 bytes)
         Stelling 2 (P-meetkunde)
  2. Euclides' 5e postulaat
  3. De hoekensom van een d-driehoek
         Stelling 3 (E-meetkunde)
         Stelling 4 (P-meetkunde) cabrisignal.gif (160 bytes)
         Stelling 5 (P-meetkunde)
         Stelling 6 (P-meetkunde)

1. Parallellen
We bewijzen allereerst een hulpstelling (uit de Euclidische meetkunde) waarvan de toepassing in de P-meetkunde tot verrassende gevolgen aanleiding geeft (en heeft gegeven).
In de Euclidische bewijzen gebruiken we evenwel, daar waar dit verduidelijking geeft, ook termen uit de P-meetkunde, zoals "horizon" en "oneigenlijk punt".

Hulpstelling (Euclidisch)
Als twee elkaar rakende cirkels orthogonaal zijn met een derde cirkel, dan ligt het raakpunt van die cirkels OP de derde cirkel.

Bewijs:
We bewijzen uit het ongerijmde (zie figuur 1a).

figuur 1a hypm21a.gif (1907 bytes) figuur 1b hypm21b.gif (1647 bytes)

Stel het raakpunt A ligt NIET op de derde cirkel. Het inverse punt A' van A (tov. die derde cirkel, de horizon van de P-meetkunde) ligt dan op beide orthogonaal cirkels. Deze cirkels hebben dus twee verschillende punten gemeenschappelijk en raken elkaar dus niet.
Dit is in strijd met het gegeven.
Met andere woorden: het raakpunt A ligt op de derde cirkel.

Gevolg 1 (Euclidisch)
Door een punt P buiten een cirkel die orthogonaal is met een andere cirkel (met oneigenlijke punten A en B op de horizon) gaan in het algemeen twee orthogonaal cirkels die aan de gegeven cirkel raken.

Bewijs:

figuur 2 hypm22.gif (2390 bytes) (zie figuur 2)
Allereerst raking in A. Het middelpunt Xa van de gezochte raakcirkel ligt op de raaklijn in A aan de horizon, en ook op de middelloodllijn van PP' (waarbij P' inversie-beeld is van bij in de horizon; dit vanwege het loodrecht snijden). Er is dus n cirkel door P die in A raakt.
Evenzo is er slechts n cirkel door P die in B raakt.
Dus: door het punt P gaan twee cirkels

Opmerking
In de stelling (Gevolg 1) staat niet voor niets de zinsnede "in het algemeen".
Want wat gebeurt er als het punt P op de middellijn door A (of door B) van de horizon ligt? Zie hiervoor figuur 3.

figuur 3 hypm23.gif (1983 bytes) De middelloodlijn van PP' is nu evenwijdig met de raaklijn in A aan de horizon.
Er is dan geen raakcirkel in het punt A.

De middelllijn door A (waarop P ligt) snijdt de horizon echter wel loodrecht.
In de E-meetkunde is deze middellijn op te vatten als een "ontaarde" cirkel (met middelpunt in het oneindige).
[einde Opmerking]

Gevolg 2 (E-meetkunde)
Er zijn oneidig veel cirkels door zo'n punt P en orthogonaal met de horizon, die een andere orthogonaal cirkel niet snijden.
figuur 4 hypm24.gif (5548 bytes)

Op basis van bovenstaande resultaten kunnen we nu definities geven mbt. evenwijdigheid van d-lijnen (in de P-meetkunde).
We introduceren hierbij de termen "parallel" en "ultra-parallel".

Definities (P-meetkunde)
Twee d-lijnen zijn parallel als ze elkaar snijden in een oneigenlijk punt.
Twee d-lijnen zijn ultra-parallel als ze elkaar niet snijden.
Twee d-lijnen zijn evenwijdig als ze parallel of ultra-parallel zijn.
.
Stelling 1 (P-meetkunde)
Door een d-punt buiten een gegeven d-lijn gaan precies twee d-lijnen die parallel zijn met die gegeven d-lijn.
figuur 5 hypm25.gif (2022 bytes) Bewijs:
Zie Gevolg 1 van de hulpstelling en de Opmerking daarbij.

In figuur 5 zijn enkele d-parallelen getekend.
Nb.
Het punt Q ligt hierbij op een middellijn van de horizon.

Klik hier animatievoor een animatie van Stelling 1.

Een gevolg van deze definitie is

Stelling 2 (P-meetkunde)
Twee d-lijnen snijden elkaar in ten hoogste n punt.

Bewijs: (zie figuur 5)
De dragers van twee verschillende d-lijnen (twee cirkels die beide orthogonaal zijn met de horzon) snijden elkaar in 2, 1 of 0 punten.
Snijden de dragers elkaar in 1 of 0 punten, dan zijn de d-lijnen evenwijdig. De d-lijnen hebben dan geen punt gemeenschappelijk.
Snijden de dragers elkaar in 2 punten, dan behoort slechts n van die punten tot de disk D. Deze snijpunten zijn immers elkaar beeld bij inversie tov. de horizon). De d-lijnen hebben dan 1 punt gemeenschappelijk.

2. Euclides' 5e postulaat
In paragraaf 1 is in stelling 1 een eigenschap van de P-meetkunde bewezen.die ten nauwste samenhangt met het 5e postulaat van Euclides (zie ook de pagina "Elementen").
We geven hieronder deze samenhang kort weer.
Het 5e postulaat luidt:

En [laat geist zijn] dat, als een rechte, die twee rechten treft, de binnenhoeken aan dezelfde kant kleiner dan twee rechte [hoeken] maakt, de twee rechten, tot in het oneindige verlengd, elkaar ontmoeten aan de kant, waar de hoeken kleiner zijn dan twee rechte [hoeken]

John Playfair (1748-1819, Schotland) heeft aangetoond, dat Euclides' 5e postulaat equivalent is met:

Door een punt buiten een rechte gaat precies n rechte lijn die met die rechte parallel is

Voor een bewijs van deze equivalentie zie de uiteenzetting over Propositie I, 27 (Elementen) op deze website.

De P-meetkunde is blijkbaar een meetkunde waarin Playfair's axioma niet geldt.
Dat we de eigenschap van twee parallele lijnen door een punt buiten een lijn in de P-meetkunde als stelling kunnen bewijzen, is gelegen in het feit, dat we de P-meetkunde binnen de Euclidische meetkunde hebben gedefinieerd.

Willen we de P-meetkunde afzonderlijk opbouwen, dan dienen we het 5e postulaat van Euclides te vervangen door

Door een punt buiten een rechte gaan ten minste twee rechte lijnen die met die rechte parallel zijn

3. De hoekensom van een d-driehoek
We kijken nu eerst naar de hoekensom in de Euclidische meetkunde. Bij het bewijs in de E-meetkunde wordt gebruik gemaakt van het axioma van Playfair (dus van het 5e postulaat van Euclides).

Stelling 3 (E-meetkunde)
De som van de hoeken van een driehoek is gelijk aan twee rechte hoeken (is dus 180).
figuur 6 hypm26.gif (906 bytes) Bewijs:
Trek door het hoekpunt C van driehoek ABC de lijn die evenwijdig is met de zijde AB (5e axioma).
Dan is C2 = A en C3 = B (eigenschappen bij evenwijdige lijnen in de E-meetkunde: F- en Z-hoeken).
Nu is A + B + C = C2 + C3 + C1 = 180.

Gevolg
Aangezien in de P-meetkunde het in stelling 3 gebruikte axioma niet geldt, is dus duidelijk, dat de hoekensom van een d-driehoek in de P-meetkunde niet gelijk is aan 180.
Voordat we deze hoekensom bekijken, geven we eerst de volgende (noodzakelijke) definitie:

Definitie (P-meetkunde)
De hoek tussen twee snijdende d-lijnen (of d-lijnstukken) is de hoek tussen de raaklijnen in het snijpunt aan de dragers van die d-lijnen (d-lijnstukken).

Opmerkingen
[1]
H-transformaties zijn conform. Bovenstaande definitie is dus "toegestaan" in de P-meetkunde.
[2]
De hoek tussen twee parallelle d-lijnen is hiermee niet gedefinieerd.
Indien we deze toch willen vastleggen, dan is de volgende definitie op zijn plaats:

Definitie (P-meetkunde)
De hoek tussen twee evenwijdige d-lijnen is 0. 

Kijken we naar twee parallele d-lijnen, dan is de hoek tussen de dragers gelijk aan 0. De definitie is dus conform hetgeen we in de E-meetkunde kunnen vaststellen: de hoek tussen twee raken cirkels is 0 (zie figuur 6b).

figuur 6b hypm26b.gif (1281 bytes)

[einde Opmerkingen]

We bewijzen:

Stelling 4 (P-meetkunde)
De som van de hoeken van een d-driehoek is kleiner dan 180.

Klik hier animatievoor een animatie van Stelling 4.

Bewijs:
We zullen, vanwege de "inbedding" van de P-meetkunde in de E-meetkunde, wel gebruik maken van die "Euclidische" middelen, die eigenschappen van figuren in de P-meetkunde invariant laten (met name de inversie).
We bekijken allereerst een d-driehoek ABC waarvan C samenvalt met het middelpunt van de horizon, het d-centrum (zie figuur 7a).

figuur 7a hypm27a.gif (1549 bytes)      figuur 7b hypm27b.gif (2328 bytes)

Omdat de cirkel M (de drager van de zijde AB van d-driehoek ABC) orthogonaal is met de horizon, ligt het punt M buiten cirkel C.
De boog AB is dus convex ten opzicht van C.
De som van de hoeken van bij A en B van de d-driehoek ABC is dus kleiner dan de som van de hoeken bij A en B van de (niet getekende) E-driehoek. Dus kleiner dan 180.
Indien het hoekpunt C niet samenvalt met het d-centrum passen we een inversie (die conform is) toe.
Als centrum van inversie kiezen we het punt V (zie figuur 7b), dat het beeld is van het punt C bij inversie tov. de horizon.
Als inversie cirkel kiezen we de cirkel met middelpunt V die orthogonaal is met de horizon.
Hierdoor gaat de drager van AC over in de middellijn A'C' van de horizon (C' valt samen met het d-centrum).
BC gaat over in de middellijn B'C'.
AB wordt afgebeeld op een d-lijn A'B'.
Omdat deze inversie conform is, is de hoekensom van driehoek ABC gelijk aan de hoekensom van driehoek A'B'C'.
Wegens het eerste deel van het bewijs (C' valt samen met het d-centrum) is de hoekensom dus kleiner dan 180.

Een direct gevolg van deze stelling is:

Stelling 5 (P-meetkunde)
In een d-driehoek is een buitenhoek groter dan elk van de niet-aanliggende binnenhoeken.

Bewijs:
Via inversie kan steeds een figuur verkregen worden als in figuur 7a. Daarbij zijn de hoekgroottes invariant.
Omdat de boog AB convex is tov. C is bijvoorbeeld de p-buitenhoek bij B groter dan de e-buitenhoek bij B.
Deze e-buitenhoek is groter dan de e-binnenhoek bij A, die evenwel weer groter is dan de d-binnenhoek bij A.
Dus de d-buitenhoek bij B is groter dan de niet-aanliggende d-binnenhoek bij A.
Eenzelfde bewijs kan worden gegeven voor de andere buitenhoeken.

We kunnen ook nog bewijzen:

Stelling 6 (P-meetkunde)
In een d-driehoek is een buitenhoek groter dan de som van de beide niet-aanliggende binnenhoeken.

Bewijs: (zie figuur 8)

figuur 8 hypm28.gif (1447 bytes) In d-driehoek ABC zijn de d-(binnen)hoeken bij A, B en C opvolgend a, b en c.
De buitenhoek bij A (bij verlenging van BA) zij a'.
Nu is
   a + b + c < 180 (zie stelling 4).
Verder is a + a' = 180, zodat
   a + b + c < a + a'
of
   b + c < a'

begin pagina

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

[hypm2.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000