Afbeeldingen van het complexe (platte) vlak [3]

Overzicht  ][  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende (= Hyperbolische meetkunde)

0. Overzicht - Eigenschappen van de MŲbius-transformatie

Zie ook de pagina "Complexe getallen en meetkundige bewijzen"

  1. Het uitgebreide Euclidische vlak, het punt z =
  2. Het beeld van een cirkel
  3. Samenstelling van een M-afbeelding
  4. Aantal dekpunten en de gevolgen daarvan
  5. Dubbelverhouding
  6. De eenheidscirkel
         6.1. Het binnengebied van een cirkel
         6.2. Het beeld van de eenheidscirkel
  7. Hoektrouw

1. Het uitgebreide Euclidische vlak, het punt z =
De MŲbius-afbeelding (M-afbeelding, M-transformatie) f(z) = (az+b)/(cz+d) met ad-bcĻ 0 kunnen we ook gebruiken om het Euclidische vlak op zichzelf af te beelden.
Hiertoe denken we het vlak voorzien van een rechthoekig assenstelsel (waarvan de x-as met de reŽle en de y-as met de imaginaire as samenvalt) en identificeren het complexe getal z met het punt Z met coŲrdinaten (z1, z2).
We zullen in hetgeen volgt deze beide opvattingen door elkaar gebruiken.
We breiden het Euclidische vlak verder uit, tot wat we noemen het uitgebreide Euclidische vlak met een punt z dat wordt vastgelegd door de M-afbeelding f(z) = 1/z:
     f(O) =
     f() = O
O = (0,0) (overeenkomend met het getal z = 0) staat hier voor de oorsprong van het assenstelsel. We zullen aan het punt z = geen coŲrdinaten toekennen.
Ten behoeve van de bewerkingen leggen we vast (definiŽren we) voor ieder complex getal c (punt):
     c Ī =
     c . =
     c /  = 0
     c / 0 =
De uitdrukkingen - , / en 0 / 0 beschouwen we als niet-gedefinieerd.

2. Het beeld van een cirkel

Stelling 1
Een M-transformatie beeldt een cirkel (of een rechte lijn) af op een cirkel of op een rechte lijn

Bewijs:
Een rechte lijn of een cirkel in het platte vlak kan worden voorgesteld door  | z - p | = k | z - q | waarbij k een reŽel getal is.
Met andere woorden: we bekijken de verzameling van de punten z waarvoor de verhouding van de afstanden tot twee vaste punten p en q constant is.
Is k = 1, dan is die verzameling een rechte lijn, de middelloodlijn van het verbindingslijnstuk tussen p en q.
Is k <> 1, dan is die verzameling de Apollonius-cirkel bij de punten p en q.

figuur 1 complex32.gif (469 bytes)            figuur 2 complex31.gif (911 bytes)

Onderwerpen we nu de verzameling aan een M-transformatie Z = (az+b) / (cz+d) met inverse z = (-dZ+b )/ (cZ-a), dan vinden we
complex3f1.gif (1362 bytes)
of
complex3f2.gif (2082 bytes)
En dit is een vergelijking van de vorm | Z - p' | = k'Z - q' |. Dus een rechte lijn of een cirkel. ®

Gevolg
Zijn A en B inverse punten tov. van een cirkel C, dan zijn de M-beelden van A en B elkaars inverse tov. het M-beeld van C.
Immers p' en q' zijn de beelden van p en q onder dezelfde M-transformatie.

3. Samenstelling van een M-afbeelding
We bekijken de volgende herleiding:
   complex3f3.gif (1554 bytes)
We concluderen hieruit, dat iedere M-afbeelding F dus geschrijven kan worden als
   F = Ta/c ∑ D ∑ N ∑ Td/c
waarbij

Td/c : een translatie over d/c : notatie: z1 = z + d/c
N : de inversie in de eenheidscirkel, gevolgd door een spiegeling in de x-as ; notatie z2 = 1/ z1
D : een draaivermenigvuldiging met centrum O ; notatie: z3 = (bc-ad)/c2 . z2
Ta/c : Ta/c : een translatie over a/c ; notatie z' = a/c + z3.

De afbeelding N, inversie in de eenheidscirkel, gevolgd door spiegeling in de x-as wordt wel de complex-inverse afbeelding genoemd (zie hiervoor ook de pagina "Complex[2]").

Uit deze samenstelling volgt, eveneens, dat lijnen worden afgebeeld op lijnen of cirkels en dat cirkels worden afgebeeld op lijnen en cirkels (zie Stelling 1). De afbeelding N is namelijk de enige van de samenstellende afbeeldingen die van invloed is op de "vorm" van het beeld (zie ook de pagina "Inversie").

4. Het aantal dekpunten en de gevolgen daarvan

Definitie
Onder een dekpunt van een M-afbeelding F verstaan we een punt w met F(w) = w.
Een dekpunt wordt dus op zichzelf afgebeeld.
.
Stelling 2
Als een M-afbeelding F drie of meer dekpunten heeft, dan is F de identieke afbeelding.

Bewijs:
Zij w een dekpunt, dan is w = (aw+b) / (cw+d).
Hieruit volgt dan
cw2 + (d-a)w - b = 0
Heeft deze vergelijking 3 of meer oplossingen, dan moet het de identieke vergelijking zijn. Met andere woorden:
c = 0, d = a, b = 0.
Uit ad - bc <> 0 volgt in dit geval dat a en d beide ongelijk aan 0 zijn.
De afbeelding z' = (az+b) / (cz+d) gaat nu over in z' = az / d = z. ®

Stelling 3
Een M-afbeelding is uniek bepaald door drie punten en hun beeldpunten.

Bewijs:
Zijn de bedoelde punten zj en zj' (j =  1,2,3).
Zij B de M-afbeelding B: z' = (z - z2)(z1 - z3) / (z - z1)(z2 - z3).
Nu geldt:
   B(z1) =
   B(z2) = 0
   B(z3) = 1
Zij C de M-afbeelding C: z' = (z - z2')(z1' - z3') / (z - z1')(z2' - z3')
Onder deze afbeelding geldt
   C(z1') =
   C(z2') = 0
   C(z3') = 1
We bekijken nu de afbeelding C-1B. Ook dit is een M-afbeelding.
Nu geldt:
   C-1B(z1) = z1'
   C-1B(z2) = z2'
   C-1B(z3) = z3'
Deze afbeelding is uniek. Immers zij A een M-afbeelding met dezelfde eigenschappen, dan is A-1(C-1B) een afbeelding met drie dekpunten.
Volgens Stelling 1 is dan A-1(C-1B) = I waarbij I de identieke afbeelding is.
Dus geldt C-1B = A. ®

5. Dubbelverhouding
Op dezelfde wijze als op de pagina "Volledige vierzijde en dubbelverhouding", maar nu iets anders geschreven, definiŽren we de dubbelverhouding van vier punten zj (met j = 1,2,3,4).

Definitie
Onder de dubbelverhouding van vier punten zj (j = 1,2,3,4) verstaan we
complex3f4.gif (1317 bytes)

Een direct gevolg van deze definitie is de volgende stelling.

Stelling 4
De dubbelverhouding van vier punten is invariant onder een MŲbius-transformatie.

Bewijs:
Het bewijs kan worden geleverd door voor de punten zj en zj' = (azj + b)/(czj + d) met j = 1,2,3,4 de beide dubbelverhoudingen uit te schrijven.
Directe uitwerking van (z1',z2';z3',z4') geeft dan het gewenste resultaat. ®

Een belangrijke stelling is

Stelling 5
De dubbelverhouding van vier verschillende punten is reŽel
DESDA
De vierpunten liggen op een rechte lijn of op een cirkel.

Bewijs:
Zijn zj (j = 1,2,3,4) de bedoelde vier punten.
[1] Stel de dubbelverhouding (z1,z2;z3,z4) = k waarbij k een reŽel getal is.
We moeten nu aantonen, dat de vier punten op een cirkel of op een rechte lijn liggen.
Zij nu F de M-afbeelding die z1, z2, z3 afbeeldt op de punten z1', z2', z3'  van de reŽle as.
Zij verder F(z4) = z4'.
Stelling 4 zegt, dat (z1,z2;z3,z4) invariant is, zodat ook (z1' - z3')(z2' - z4') / (z2' - z3')(z1' - z4') = k.
Waaruit volgt
(z2' - z4') / (z1' - z4') = k (z2' - z3') / (z1' - z3')
Het rechter lid van deze vergelijking is reŽel, immers zj (j = 1,2,3) is reŽel.
Lossen we nu de vergelijking op naar z4', dan blijkt, dat z4' = F(z4) eveneens een reŽel getal is.
De beelden zj (j = 1,2,3,4) liggen dus alle op de reŽle as.
De originelen daarvan liggen dus op een cirkel of op een rechte lijn, namelijk op het beeld onder F-1 van de as.
[2] Liggen nu de punten zj (j = 1,2,3,4) op een cirkel of op een rechte lijn.
Er is nu een M-afbeelding G, die z1, z2, z3 afbeeldt op z1', z2', z3' van de reŽle as (volgens stelling 3).
Ook z4' ligt op de reŽle as, immers G beeldt de cirkel of rechte lijn af op een rechte lijn.
De dubbelverhouding (z1',z2';z3',z4') is dus gelijk aan een reŽel getal. Volgens stelling 4 is dus ook de deelverhouding (z1,z2;z3,z4) een reŽel getal.®

Opmerking
Van Stelling 5 wordt veelvuldig gebruik gemaakt bij het bewijzen van meetkundige eigenschappen met behulp van complexe getallen.
Zie daarvoor de pagina "Complexe getallen en meetkundige bewijzen".
[einde Opmerking]

6. De eenheidscirkel

6.1. Het binnengebied van een cirkel

Stelling 6
Wordt een cirkel C afgebeeld door een M-transformatie op een cirkel C', dan wordt het binnengebied van C afgebeeld op het binnengebied van C' of op het buitengebied van C'.

Bewijs:
Uit de samenstelling van de algemene M-transformatie (zie paragraaf  3) blijkt dat alle deeltransformaties, met uitzondering van de inversie, het binnengebied van een cirkel afbeelden op het binnengebied van de beeldcirkel.
De inversie beeldt het binnengebied af op het binnengebied of op het buitengebied van de beeldcirkel; een en ander is afhankelijk van de ligging het centrum C van de inversie tov. de cirkel (het origineel):
a. centrum binnen het origineel: beeld van het binnengebied is het buitengebied van de beeldcirkel (zie figuur 3);
b. centrum buiten het origineel: beeld van het binnengebied is het binnengebied van de beeldcirkel (zie figuur 4).

figuur 3 complex33.gif (1693 bytes)      figuur 4 complex34.gif (1639 bytes)®

6.2. Het beeld van de eenheidscirkel
We leiden hieronder af aan welke voorwaarden een M-transformatie moet voldoen om de eenheidscirkel (niet puntsgewijs) op zichzelf af te beelden, waarbij tevens het binnengebied (niet puntsgewijs) op zichzelf wordt afgebeeld.

Voor een punt z = (p, q) = p + qi op de eenheidscirkel geldt p2 + q2 = 1 of ook z . z_ = 1 (hierbij is z_ de geconjugeerde van z).
Voor het beeld Z van z bij de afbeelding Z = (az + b) / (cz + d) moet dus gelden Z . Z_ = 1.

Het beeld van Z . Z_ = 1 volgt uit:

Dit is dezelfde vergelijking als z . z_ - 1 = 0, indien
complex3f7.gif (1444 bytes)
We hebben dus de volgende twee voorwaarden:

Uit [1] kunnen we afleiden, c = a/d_ . b_. Stellen we k = a/d_, dan is dus d = a_/k_.
Substitutie hiervan in [2] geeft dan

Dus is | k | = 1. In dit geval is 1/k_ = k
De vorm van de M-transformatie is dan dus
Dit kunnen we natuurlijk ook schrijven als
   
Deze afbeelding beeldt de eenheidscirkel op zichzelf af.
We moet vervolgens nog onderzoeken onder welke voorwaarde het binnegebied op zichzelf wordt afgebeeld.
Het is voldoende dit te onderzoek voor ťťn punt van het binnengebied.
We kiezen z = 0.
Nu is Z = k ∑ b/a_. Moet nu gelden dat |Z| < 1, dan hebben we |k|.|b| / |a_| < 1. Wegens |k| = 1 moet gelden:
|b| < |a_|. En daar |a|=|a_| is de voorwaarde |b| < |a|.
Aan deze voorwaarde is (ondermeer) voldaan indien |a|2 - |b|2 = 1.

We kunnen nu eenvoudig afleiden:

Stelling 7
De afbeelding Z = K (z - m) / (1 - m_z) met |K|=1 en |m| < 1 beeldt de eenheidscirkel opzichzelf af, waarbij het binnengebied op het binnengebied wordt afgebeeld.

Bewijs:
Uitgaande van Z = (az + b) / (b_z + a_) met |b| < |a| vinden we bij deling door a_ dat

Nu is |a/a_| = 1.
Stellen we K = a/a_ en m = -b/a, dan is dit te schrijven als Z = K(z - m) / (1 - m_z), waarbij |K|=1 en |m|<1. ®

Opmerkingen
[1]
Het bijzondere van deze afbeelding is, dat z = m op z = 0 wordt afgebeeld.
[2]
Voor eenvoudige beschouwingen kunnen we K = 1 gebruiken.
[einde Opmerkingen]

7. Hoektrouw
Een belangrijke eigenschap van de M-afbeelding is dat de hoek tussen twee rechte lijnen gelijk is aan de hoek tussen de beelden van die rechte lijnen (bij M-afbeeldingen zijn die beelden dus in het algemeen cirkels; zie Opmerking hierna).
Een afbeelding die de grootte van de hoek tussen twee lijnen invariant laat noemt men een conforme afbeelding. Zo'n afbeelding heet ook wel hoektrouw.

We hebben dus:

Stelling 8
Een M-afbeelding is een conforme afbeelding.

Bewijs:
Een M-afbeelding is opgebouwd uit twee translaties, een draaivermenigvuldiging en een complex-inverse afbeelding (zie paragraaf 3).
Een translatie en een draaivermenigvuldiging zijn inderdaad conform (eigenschappen uit de Euclidische meetkunde).
De complex inverse afbeelding bestaat uit een inversie en een spiegeling.
Ook de spiegeling is hoektrouw.
De inversie is eveneens een conforme afbeelding. Zie de pagina "Inversie" voor het bewijs daarvan.
Uit de samenstelling van de M-afbeelding volgt dus, dat deze hoektrouw is. ®

figuur 5 complex37.gif (6405 bytes) Opmerking
De hoek tussen twee cirkels wordt gedefinieerd als de hoek tussen de raaklijnen in een raakpunt aan die cirkels.
[einde Opmerking]

Hiernaast zijn de beelden M(p) en M(q), cirkels, getekend van de lijnen p en q onder de M-afbeelding
M(z) = (z - m) / (1 - m_z)
De hoek tussen de lijnen p en q (bij S) en de hoek tussen de raaklijnen in het punt S' aan de cirkels zijn aan elkaar gelijk.


 up2.gif (97 bytes)

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende (= Hyperbolische meetkunde)

[complex3.htm] laatste wijziging op: 02-12-2008 (26-02-2002)