Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Machtlijn van twee cirkels

Zie ook de pagina "De macht van een punt tov. een cirkel".


Machtlijn van twee cirkels

Opdracht 1

Het punt R heeft een bijzondere eigenschap die we in Opdracht 2 verder zullen onderzoeken.

[figuur 1] machtlijn1.gif (2289 bytes)

Voordat we dat doen, maken we echter eerst een macro die de raaklijnstukken uit R aan beide cirkels tekent (we doen dat omdat we zulke raaklijnstukken verderop ook nodig zullen hebben; zie eventueel ook Teachers Info nummer 15 van mei 1999).

We leggen vervolgens de macro vast.

Opdracht 2

[figuur 2] machtlijn2.gif (1887 bytes)
.
Opdracht 2 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
.
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met
CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

Je kan ook de cirkel B of de cirkel A vergroten of verkleinen (maar de cirkels moeten elkaar wel blijven snijden; waarom?).
De lijn PQ heet de machtlijn van de snijdende cirkels. Elk punt van die machtlijn heeft de eigenschap dat de raaklijnstukken uit een punt aan de beide cirkels gelijke lengte hebben. We zeggen ook wel:

"De meetkundige plaats van de punten met gelijke raaklijnstukken aan twee cirkels is de machtlijn van die cirkels".

In de laatste zin komt het woordje "snijdende" niet voor. Geldt die eigenschap dan ook voor niet-snijdende cirkels?
We gaan op onderzoek.

Opdracht 3

  • Kies een nieuw werkblad.
  • Teken twee niet snijdende, buiten elkaar gelegen, cirkels met middelpunten A en B.
  • Teken het lijnstuk AB en teken daarop, met de functie "Punt op object" uit het Punt-menu, het punt S.
  • Kies: "Raaklijnstukken" onderaan in het Macro-menu.
  • Wijs aan: het punt S en vervolgens beide cirkels.
  • Bepaal de lengte van deze raaklijnstukken met "Afstand en lengte" in het Reken-menu.
  • Verplaats nu het punt S op AB zo, dat beide lengtes (bij afronding op 1 decimaal) aan elkaar gelijk zijn. Als je meer gelijke decimalen kunt krijgen is dat natuurlijk beter!
[figuur 3] machtlijn3.gif (1600 bytes)

We hebben nu een punt (het punt S) gevonden dat op de machtlijn van beide cirkels ligt.

Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 4

  • Verplaats het punt S nu niet meer!
  • Teken de loodlijn in S op het lijnstuk AB (met de functie "Loodlijn" in het Construeer-menu").
  • Kies op de loodlijn nu het punt R en teken de raaklijnstukken uit R aan beide cirkels.
  • Bepaal ook de lengte van die stukken.
  • Verplaats het punt R over de loodlijn.
    Wat valt je nu (weer) op bij de lengtes van de raaklijnstukken?

De getekende loodlijn is dus de machtlijn van beide cirkels.

Opdracht 4 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 5
In opdracht 4 hebben we de machtlijn "proefondervindelijk" gevonden. We zullen nu een constructie van de machtlijn proberen te vinden (we doen dat in opdracht 6).

Bekijk daartoe eerst de volgende figuur.

[figuur 4] machtlijn4.gif (2450 bytes)

Daarin staan weer de cirkels A en B. De derde cirkel met middelpunt X gaat door de punten A en B.

  • Ga met behulp van een Cabri-figuur na, dat bij wijziging van de positie van de cirkels A en B, de cirkel X steeds een snijdende cirkel is.

Het punt M (het snijpunt van twee machtlijnen van snijdende cirkels) bestaat dus steeds.

  • Bewijs nu dat de lengtes van de raaklijnstukken uit M aan de cirkels A en B gelijk zijn.

Dus: M ligt op de ..... van de cirkels A en B.

  • Ga het bovenstaande na met behulp van een Cabri-figuur (kies daartoe eerst een nieuw werkblad).

Het punt M heet het machtpunt van de drie cirkels.

Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 6
We gaan er nu van uit dat de cirkels A en B al op een (nieuw) werkblad staan.

  • Teken het lijnstuk AB.
  • Teken de middelloodlijn van het lijnstuk AB en kies hierop het punt X.
  • Teken met behulp van de cirkel X (die gaat door het punt A, en dus ook door het punt B) de machtlijn P1Q1 van de cirkels A en X en de machtlijn P2Q2 van de cirkels B en X.
  • Teken het punt M.
  • Teken de loodlijn uit M op AB.

Bewijs nu dat deze loodlijn de machtlijn is van de cirkels A en B.

  • Ga na, dat de machtlijn steeds door de snijpunten van de cirkels A en B gaat door verplaatsing van (bijvoorbeeld) het punt B.

Opdracht 7

  • Maak een macro die het machtpunt van drie gegeven cirkels tekent.

Download
De op deze pagina staande Cabri-figuren zijn in één bestand via deze website te downloaden.
Naast deze figuren zijn in het bestand ook enkele niet-behandelde figuren en een drietal Cabri-macro's opgenomen.
Klik hier om het dowloaden te starten
[ZIP-bestand, ca. 20Kb]

Van deze pagina is ook een PDF-versie beschikbaar.
Download machtlijn.pdf [ca. 34Kb]


begin pagina

[machtlijn.htm] laatste wijziging op: 25-03-2000