Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri  |  Fractalen


Overzicht - Koch fractaal

naar T3 - Nederland Dit werkblad is gebaseerd op een deel van de lezing van Koen Stulens (Limburgs Universitair Centrum, Diepenbeek, België) onder de titel "Cabri Geometry II, Interactieve meetkunde op de PC" tijdens het Tweede T3-Symposium in Oostende (24-8-99 tot 26-8-99).

Wat is een fractaal
Een fractaal (Eng. fractal) is een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op steeds kleinere schaal herhaalt,
of ook wel
een fractaal is een (soms ingewikkelde) figuur, waarin men een zekere mate van zelfgelijkvormigheid kan aantreffen.

lijnstukfrac.gif (1200 bytes)

De meest eenvoudige fractaal is misschien wel een lijnstuk.
Kopieer er een stukje uit (PQ) en dat stukje kan je door vermenigvuldiging met een bepaald getal weer even groot maken als het oorspronkelijke lijnstuk (AB).

Fractalen zijn figuren die "zelfgelijkvormig" zijn. Wat zelfgelijkvormigheid is staat eigenlijk in de hierboven staande zin:
   elk deel kan door vermenigvuldiging afgebeeld worden op het geheel.

Maar er zijn ook ingewikkelder fractalen, zoals de "kromme van Koch".
Voor deze fractaal gaan we in het onderstaande een benadering maken.

Fractaal Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

Opdracht 1 - Trisectie
Voorafgaand aan de constructie van de Koch fractaal behandelen we eerst een standaard constructie.
Bekijk de volgende figuur.

trisectlijnstuk.gif (1168 bytes)

De constructiestappen van deze figuur zijn de volgende

Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

We hebben dus een lijnstuk in drie gelijk stukken verdeeld.
We zullen deze constructie ook in de toekomst nog wel eens gebruiken.
Daarom zullen we deze constructie gebruiken voor een macro.

Opdracht 2 - Macro

trisecmac.gif (6256 bytes)

Opdracht 3 - 1ste en 2e benadering

koch1mac.gif (1296 bytes)

Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava
koch1.gif (924 bytes) Met de macro Koch1 zijn we nu dus in staat een lijnstuk te vervangen door vier lijnstukken die elk 1/3 zijn van het oorspronkelijke lijnstuk.
Het nieuwe gebroken lijnstuk AB is de 1ste benadering van de kromme van Koch.
  • Als het oorspronklijke lijnstuk AB = a, hoelang is dan het
    gebroken lijnstuk AB?
  • Voer nu de macro Koch1 uit op de vier lijnstukken.
  • Hoelang is nu het gebroken lijnstuk AB?

Het nu ontstane gebroken lijnstuk noemen we de 2de benadering van de kromme van Koch.

  • Hoe lang is, uitgaande van de 0-de benadering (het lijnstuk AB), de 3e benadering van de kromme van Koch?
Opdracht 3, 2e deel Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 4 - De kromme van Koch
Om een snellere constructie te krijgen kan je, uitgaande van het lijnstuk AB, ook de 2de benadering in een macro opnemen.
Dit zijn de constructiestappen:

koch2.gif (505 bytes)
  • Sla de macro op als Koch2.
  • Pas Koch2 toe op de 2e benadering van de kromme van Koch.
  • Uit hoeveel lijnstukjes bestaat de benadering nu?
    Je hebt nu de nde benadering. Hoe groot is n ?

Opmerking
Het herhaald toepassen van de macro vraagt elke keer meer tijd. Dat komt doordat Cabri telkens meer berekeningen moet uitvoeren betrekking hebbend op de positie van de verschillende punten en lijnstukken (ook al zijn die verborgen).
[einde Opmerking]

De kromme van Koch
Als we de macro (Koch1 of Koch2) herhaald uitvoeren, krijgen we elke keer een betere benadering van de kromme van Koch.

Als Kn de nde benadering is, dan is uiteindelijk de "echte" kromme van Koch.

De kromme is genoemd naar de Zweedse wiskundige Helge von Koch (Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924).

Opdracht 5 - Sneeuwvlok-kromme

kochsnow.gif (1222 bytes) In de hiernaast staande figuur zie je een benadering van de zogenoemde Sneeuwvlok-kromme van Koch.
  • Ga met Cabri en de behandelde macro's na hoe deze uit een zekere regelmatige veelhoek kan ontstaan.
    Geef een beschrijving van de stappen die tot deze figuur hebben geleid.

    Welke benadering staat in de figuur hiernaast?
  • Uit hoeveel lijnstukjes bestaat de 1ste benadering. En uit hoeveel de 2e?
    Hoeveel lijnstukjes heeft de nde benadering?
    Hoe groot is de omtrek van de Sneeuwvlok-kromme?
  • Ga uit van een oppervlakte 1 van het gebied binnen de 0de benadering van de Sneeuwvlok-kromme.
    Hoe groot is de oppervlakte binnen de 1ste benadering? En binnen de 2e?
    Hoe groot is de oppervlakte binnen de Sneeuwvlok-kromme?
Opdracht 5l Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava
Opmerking
Bij het uitvoeren van een macro is het soms noodzakelijk te letten op de oriëntatie  van de figuur waarop de macro wordt toegepast.
Met de macro's Koch1 en Koch2 kan ook de hiernaast staande figuur ontstaan uitgaande van een bepaalde basisfiguur.

[einde Opmerking]
kochsnow2.gif (925 bytes)

Opdracht 6 - Zelf doen
Je mag natuurlijk zelf ook een andere verdeling van een lijnstuk (of een figuur) bedenken die, herhaald toegepast, kan leiden tot een fractaal of tot een figuur die op een fractaal lijkt.
Twee voorbeelden

kochvierkant.gif (1164 bytes)

gedeeltelijk uitgevoerd

koch-sierpinski.gif (2356 bytes)

Zeef van Sierpinski

Download
De hierboven behandelde figuren en macro's kunnen ook als één bestand via deze website worden gedownload.
Dat bestand bevat ook nog enkele andere Cabri-figuren, waaronder een figuur met de 5e benadering van de kromme van Koch.
Klik hier om het downloaden te starten [35Kb, ZIP-formaat].


begin pagina

[koch.htm] laatste wijziging op: 22-11-1999