Cabri werkblad
Overzicht ][ Alle werkbladen | Meetkunde
| Cabri | Fractalen
Overzicht - Koch
fractaal
 |
|
Dit werkblad is gebaseerd op een deel van de lezing van Koen Stulens
(Limburgs Universitair Centrum, Diepenbeek, Belgi�) onder de titel "Cabri
Geometry II, Interactieve meetkunde op de PC" tijdens het Tweede T3-Symposium
in Oostende (24-8-99 tot 26-8-99). |
Wat
is een fractaal
Een fractaal (Eng. fractal) is een meetkundige figuur waarin
eenzelfde motief zich op steeds kleinere schaal herhaalt,
of ook wel
een fractaal is een (soms ingewikkelde) figuur, waarin men een zekere mate van zelfgelijkvormigheid
kan aantreffen.
 |
De meest eenvoudige fractaal is
misschien wel een lijnstuk.
Kopieer er een stukje uit (PQ) en dat stukje kan je door vermenigvuldiging met een bepaald
getal weer even groot maken als het oorspronkelijke lijnstuk (AB).
Fractalen zijn figuren die "zelfgelijkvormig"
zijn. Wat zelfgelijkvormigheid is staat eigenlijk in de hierboven staande zin:
elk deel kan door vermenigvuldiging afgebeeld worden op het geheel.
Maar er zijn ook ingewikkelder fractalen, zoals
de "kromme van Koch".
Voor deze fractaal gaan we in het onderstaande een benadering maken. |
 |
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry
|
|
 |
Animatie met CabriJava |
(*) |
(*) |
Voor het ophalen van de figuur in Cabri
Geometry is het noodzakelijk dat Cabri
II is ge�nstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de
Map-opties voor "Cabri-g�om�tre II Figure" en "Cabri-g�om�tre II
Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava
moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download). |
Opdracht 1 -
Trisectie
Voorafgaand aan de constructie van de Koch fractaal behandelen we eerst een
standaard constructie.
Bekijk de volgende figuur.

De constructiestappen van deze figuur zijn de volgende
- Teken lijnstuk AB.
- Teken in A de loodlijn op AB. Kies op deze loodlijn het punt S1,
met "Punt op object" uit het Punt-menu.
- Spiegel het punt A in het punt S1, met
"Puntspiegeling" uit het Afbeeldingen-menu.
Notatie: S2 = Puntspiegeling(A, S1).
- Construeer S3 als S3 = Puntspiegeling(S1,
S2)
- Teken de lijn S3B.
- Teken de lijn door S2 evenwijdig met S3B
en de lijn door S1 evenwijdig met S3B.
- Bepaal de punten T1 en T2 met
"Snijpunt(en)" uit het Punt-menu.
- Voer bovenstaande stappen op een nieuw Cabri werkblad uit.
- Bewijs, dat nu geldt AT1 = T1T2
= T2B.
 |
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry
|
|
 |
Animatie met CabriJava |
We hebben dus een lijnstuk in drie gelijk stukken verdeeld.
We zullen deze constructie ook in de toekomst nog wel eens gebruiken.
Daarom zullen we deze constructie gebruiken voor een macro.
Opdracht 2 - Macro
- Verberg alle objecten in de figuur van Opdracht 1,
met uitzondering van A, B, lijnstuk AB en de punten T1 en T2.
- Kies "Beginobjecten" in het Macro-menu.
- Selecteer het lijnstuk AB.
- Kies "Eindobjecten" in het Macro-menu.
- Selecteer de punten T1 en T2.
- Kies "Definieer macro" in het Macro-menu.
- Vul de de gegevens aan als in onderstaande afbeelding. Denk
aan het selecteren van "Opslaan in bestand".

- Bewaar de macro door op de knop OK de klikken.
Opdracht 3 - 1ste
en 2e benadering
- Teken het lijnstuk AB en gebruik de macro uit Opdracht
2 om AB in drie gelijke stukken te verdelen.
- Teken vervolgens de cirkel met middelpunt P door A en de
cirkel met middelpunt R door B.
- Bepaal met "Snijpunt(en) uit het Punt-menu het
"bovenste" snijpunt van de cirkels.
Hiermee ligt de ori�ntatie die de ligging van S ten opzichte van AB bepaalt, vast
(zie de Opmerking bij Opdracht 5)
- Teken daarna in de genoemde volgorde de linstukken
AP, PQ, QR en RB.
- Construeer nu de macro "Koch1" als volgt
- Beginobjecten: het lijnstuk AB.
- Verberg dan het lijnstuk AB (met "Verberg/Toon" in
het Layout-menu).
- Eindobjecten: de lijnstukken AP, PQ, QR en RB.
- Sla deze macro op onder de naam Koch1.
 |
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry
|
|
 |
Animatie met CabriJava |
 |
Met de macro Koch1 zijn we nu dus in staat een
lijnstuk te vervangen door vier lijnstukken die elk 1/3 zijn van het
oorspronkelijke lijnstuk.
Het nieuwe gebroken lijnstuk AB is de 1ste benadering van de
kromme van Koch.
- Als het oorspronklijke lijnstuk AB = a, hoelang is
dan het
gebroken lijnstuk AB?
- Voer nu de macro Koch1 uit op de vier lijnstukken.
- Hoelang is nu het gebroken lijnstuk AB?
Het nu ontstane gebroken lijnstuk noemen we de 2de
benadering van de kromme van Koch.
- Hoe lang is, uitgaande van de 0-de benadering (het lijnstuk
AB), de 3e benadering van de kromme van Koch?
|
 |
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry
|
|
 |
Animatie met CabriJava |
Opdracht 4 - De kromme
van Koch
Om een snellere constructie te krijgen kan je, uitgaande van het
lijnstuk AB, ook de 2de benadering in een macro opnemen.
Dit zijn de constructiestappen:
- Toon in de 2de benadering (zie
Opdracht 3) het oorspronkelijke lijnstuk AB.
- Beginobjecten: selecteer het lijnstuk AB
- Verberg het lijnstuk AB weer.
- Eindobjecten: de 16 lijnstukken uit Opdracht 3.
 |
- Sla de macro op als Koch2.
- Pas Koch2 toe op de 2e benadering van de kromme van
Koch.
- Uit hoeveel lijnstukjes bestaat de benadering nu?
Je hebt nu de nde benadering. Hoe groot is n ?
|
Opmerking
Het herhaald toepassen van de macro vraagt elke keer meer tijd. Dat komt doordat Cabri
telkens meer berekeningen moet uitvoeren betrekking hebbend op de positie van de
verschillende punten en lijnstukken (ook al zijn die verborgen).
[einde Opmerking]
De kromme van Koch
Als we de macro (Koch1 of Koch2) herhaald uitvoeren, krijgen we elke keer een
betere benadering van de kromme van Koch.
Als Kn de nde benadering is, dan is |
 |
uiteindelijk de "echte" kromme van Koch. |
De kromme is genoemd naar de Zweedse wiskundige Helge von
Koch (Niels Fabian Helge von Koch, 1870-1924).
- Wat is de lengte van de kromme van Koch?
Opdracht 5 -
Sneeuwvlok-kromme
 |
In de hiernaast staande figuur zie je een
benadering van de zogenoemde Sneeuwvlok-kromme van Koch.
- Ga met Cabri en de behandelde macro's na hoe deze uit een
zekere regelmatige veelhoek kan ontstaan.
Geef een beschrijving van de stappen die tot deze figuur hebben geleid.
Welke benadering staat in de figuur hiernaast?
- Uit hoeveel lijnstukjes bestaat de 1ste benadering.
En uit hoeveel de 2e?
Hoeveel lijnstukjes heeft de nde benadering?
Hoe groot is de omtrek van de Sneeuwvlok-kromme?
- Ga uit van een oppervlakte 1 van het gebied binnen de 0de
benadering van de Sneeuwvlok-kromme.
Hoe groot is de oppervlakte binnen de 1ste benadering? En
binnen de 2e?
Hoe groot is de oppervlakte binnen de Sneeuwvlok-kromme?
|
 |
Ophalen van de figuur in Cabri Geometry
|
|
 |
Animatie met CabriJava |
Opmerking
Bij het uitvoeren van een macro is het soms noodzakelijk te letten op de
ori�ntatie van de figuur waarop de macro wordt toegepast.
Met de macro's Koch1 en Koch2 kan ook de hiernaast staande figuur ontstaan uitgaande van
een bepaalde basisfiguur.
[einde Opmerking] |
 |
Opdracht 6 - Zelf
doen
Je mag natuurlijk zelf ook een andere verdeling van een lijnstuk
(of een figuur) bedenken die, herhaald toegepast, kan leiden tot een fractaal of tot een
figuur die op een fractaal lijkt.
Twee voorbeelden
 gedeeltelijk uitgevoerd |
|
 Zeef van Sierpinski |
Download
De hierboven behandelde figuren en macro's kunnen ook als ��n bestand via deze website
worden gedownload.
Dat bestand bevat ook nog enkele andere Cabri-figuren, waaronder een figuur met de 5e
benadering van de kromme van Koch.
Klik hier om het downloaden te
starten [35Kb, ZIP-formaat].

[koch.htm] laatste wijziging op: 22-11-1999