Bijzondere punten van de driehoek (Kimberling-codering)

Overzicht | TCCT  | Download ][  Normaalco÷rdinaten | Meetkunde


Overzicht terug
Onderstaande links verwijzen naar een pagina met een CabriJavapplet cabrisignal.gif (160 bytes) die betrekking heeft op het betreffende punt.

Indien zo'n pagina voor de eerste keer geladen wordt, vraagt dat daardoor iets meer tijd dan bij pagina's zonder applets (N.B. De browser dient over Java-mogelijkheden te beschikken).

Op de gelinkte pagina zijn ook de normaalco÷rdinaten (trilineaire co÷rdinaten) van het punt vermeld. Ook staat er een enkele verwijzing naar andere pagina's op deze website.

Tabel 1
X1 - Incentrum       X16 - 2e Isodynamisch punt       X76 - 3e Brocard-punt      
X2 - Zwaartepunt X17 - 1e Napoleon-punt
X3 - Omcentrum X18 - 2e Napoleon-punt X98 - Tarry-punt
X4 - Hoogtepunt X19 - Clawson-punt X99 - Steiner-punt X355 - Fuhrmann-punt
X5 - Negenpuntcentrum X20 - DeLongchamps-punt
X6 - Symmediaanpunt X110 - Brandpunt Kiepert-parabool X365 - Vierkantswortelpunt
X7 - Gergonne-punt X23 - Far-out punt X111 - Parry-punt (Parry-cirkel)
X8 - Nagel-punt X24 - Perspectiefcentrum
X9 - Mittenpunkt X25 - Gob-punt X175 - Isoperimetrisch punt X485 - 1e Vecten-punt
X10 - Spieker-punt X26 - Raaklijnendriehoek X181 - Apollonius-punt X486 - 2e Vecten-punt
X11 - Feuerbach-punt
X12 - HarmConj(X11)
X13 - 1e Fermat-punt
X14 - 2e Fermat-punt
X15 - 1e Isodynamisch punt
.
Brocard-punten
Het 1e Brocard-punt en het 2e Brocard-punt zijn niet in Tabel 1 opgenomen omdat ze (hoewel ook bekende punten van de driehoek) niet voldoen aan de Definitie (2) van "centrum" genoemd in de paragraaf TCCT; het zijn zogenoemde bicentrische punten..


Tabel 2

X55 - Inwendig gelijkv. punt
X56 - Uitwendig gelijkv. punt

TCCT terug
In [1] en [2] zijn oa. een groot aantal (400 in [1], en in [2] meer dan 1100!) bijzondere punten van de driehoek gecodeerd als X( i ) opgenomen.
In het overzicht hierboven staan de X-punten die elders op deze website behandeld zijn (zie daarvoor evt. ook de pagina "Meetkunde").
De door Kimberling behandelde punten - hij noemt ze centra (Eng. centers) - zijn in die zin bijzonder, dat de normaalco÷rdinaten ervan voldoen aan zekere algebra´sche eigenschappen (zie Definitie).

Definitie van een c e n t r u m
Stel een punt P heeft als normaalco÷rdinaten f(a, b, c) : f(b, c, a) : f(c, a, b) waarin f een funnctie is die voldoet aan:
(1)   f  is homogeen in a, b ,c;
dwz. er bestaat een niet negatief reeel getal h zodat f(ta, tb, tc) = th Ě f(a, b ,c) voor alle (a, b, c) in het domein van f;
(2)   f  is symmetrisch in b en c;
dwz. f(a, c, b) = f(a, b, c).
Dan is P is een driehoekscentrum, of korter een centrum.

Voorbeelden
(a)

Het punt P = 1/(b - c) : 1/(c - a) : 1/(a - b) is een centrum, immers
P = f(A,B,C) : f(B,C,A) : f( C,A,B) waarbij f(A,B,C) = (sin C - sin A)(sin B - sin A)
(b)
-   1 : 1 : 1 (incentrum, middelpunt ingeschreven cirkel),
-   cosec A : cosec B : cosec C (zwaartepunt),
-   cos A : cos B : cos C (omcentrum; middelpunt omgeschreven cirkel),
-   sec A : sec B : sec C (hoogtepunt),
-   cosec(A + p/3) : cosec(B + p/3) : cosec(C + p/3) (1e Fermatpunt)
[einde Voorbeelden]

Definitie
Een centrum heet hoofdcentrum als de normaalco÷rdinaten van de vorm f(A) : f(B) : f(C) zijn.

Voorbeeld
De vijf centra hierboven, onder (b), zijn hoofdcentra.
[einde Voorbeeld]

Referenties terug

[1]       CLARK KIMBERLING: Triangle Centers and Central Triangles (TCCT), Utilitas Mathematical Publishing Inc. (Winnipeg, Canada, 1998)
[2] CLARK KIMBERLING: Encyclopedia of Triangle Centers - ETC (website).

Opmerking
Op de website TTW (Tot Triangles Web) van Quim Castellsaguer (XTEC - Catalunya, Spanje) wordt eveneens een aantal bijzondere punten van (en figuren bij) de driehoek behandeld.
[einde Opmerking]

Download terug
De Cabri-figuren die gebruikt zijn bij de applets in het bovenstaand overzicht, kunnen via deze website in twee bestanden worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten van de applets uit Tabel 1 (ZIP-bestand, ca. 60kB).
Klik hier om het downloaden te starten van de applets uit Tabel 2 (ZIP-bestand, ca. 5Kb).


begIn pagina
[kimbindex.htm] laatste wijziging op: 29-06-06