Hyperbolische meetkunde [7]: Spiegelingen

Pagina-overzicht  ][  Complexe afbeeldingen  |  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

0. Overzicht

  1. Definities
  2. Constructies
         2.1. Het centrum bij een puntspiegeling cabrisignal.gif (160 bytes)
         2.2. De as bij een lijnspiegeling cabrisignal.gif (160 bytes)
  3. Overdekkingen cabrisignal.gif (160 bytes)
  4. Referenties

1. Definities
De spiegelingen in de H-meetkunde kunnen min of meer op dezelfde manier worden vastgelegd als in de E-meetkunde.
We zullen dat hier doen door in eerste instantie alleen de spiegeling van een punt in een punt en van een punt in een d-lijn te definiëren.

hypm60.gif (1254 bytes)
Definities
[1] Het d-punt P' heet spiegelbeeld van een d-punt P in een d-punt S, als S het d-midden is van het d-lijnstuk PP'.
[2] Het punt P' heet spiegelbeeld van een d-punt P in een d-lijn m als het snijpunt S van de d-loodlijn uit P op m het midden is van het lijnstuk PP'.
[3] Het spiegelbeeld van een figuur is de verzameling van de spiegelbeelden van de punten van die figuur.

We kunnen eenvoudig bewijzen, dat de spiegeling van een punt in een d-lijn wordt bewerkstelligd door een inversie in de drager van die d-lijn.

Stelling 1
Is P' het inverse punt van een punt P bij inversie in de d-lijn m, dan is P' het spiegelbeeld van P bij spiegeling in de lijn m.

Bewijs: zie figuur 1.

figuur 1 hypm61.gif (1908 bytes) [1e bewijs]
We hebben d(P,A) = ln|(P,A;Xo,Yo)|.
De dubbelverhouding is invariant onder inversie, dus geldt:
d(P,A) = ln|(P,A;Xo,Yo)| = ln|(P',A';Yo,Xo)| = d(P',A').¨

[2e bewijs]
We voeren een H-afbeelding F uit waarbij het punt A wordt afgebeeld op het centrum van de disk.
De lijn m en de loodlijn door P daarop worden dan afgebeeld op twee elkaar in O loodrecht snijdende d-lijnen (middellijnen van de disk). F(P) en F(P') zijn nu elkaars (Euclidisch) spiegelbeeld. in de lijn F(m).¨

Zie ook de animatie bij een lijnspiegeling.

2. Constructies
2.1. Het centrum bij een puntspiegeling
In de E-meetkunde wordt bij gegeven punten P en P' die elkaars beeld zijn bij een puntspiegeling, het centrum van de puntspiegeling geconstrueerd als midden van het lijnstuk PP'. Constructie van dat punt gebeurt dan met behulp van de middelloodlijn.
In de P-meetkunde kunnen op dezelfde manier te werk gaan.

figuur 2 hypm72.gif (2070 bytes) We tekenen de d-cirkels (P, PP') en (P', P'P), zie figuur 2.
Deze d-cirkels snijden elkaar in de punten Q1 en Q2 die dan ook de middelloodlijn van het d-lijnstuk PP' bepalen.
Het snijpunt S van PP' en Q1Q2 is dan het gevraagde centrum.

Klik hier animatie voor een animatie van een hyperbolische puntspiegeling.

2.2. De as bij een lijnspiegeling
Uit paragraaf 2.1 volgt dat spiegelas van een lijnspiegeling waarbij P op P' wordt afgebeeld, op dezelfde manier kan worden gevonden.
Die as is de d-middelloodlijn van het d-lijnstuk PP' (zie eveneens figuur 2).
In figuur 2 staat dus een eenvoudige constructie van de middelloodlijn van een d-lijnstuk.

Klik hier animatie voor een animatie van een hyperbolische lijnspiegeling.

3. Overdekkingen
Een overdekking (of vlakvulling; Eng. tessalation) is een opdeling van het vlak met een aantal congruente meetkundige figuren.
Als eenvoudig voorbeeld kunnen we de overdekking nemen van het Euclidische vlak met vierkanten (het rooster van een rechthoekig coördinatenstelsel; een deel daarvan is te zien als achtergrond van de pagina's op deze website).
Met behulp van spiegelingen kunnen we op eenvoudige wijze een overdekking maken van het hyperbolische vlak (de disk).

We geven hier als voorbeeld een overdekking met gelijkzijdige d-driehoeken.
We beginnen met een gelijkzijdige driehoek ABC waarvan de hoekpunten oneigenlijke punten zijn (zie figuur 3).
Daarna spiegelen we deze driehoek in elk van de d-zijden, enzovoorts (zie figuur 4).
Het bijzondere van deze laatste figuur is, dat daardoor een vlakvulling ontstaat die met een "Euclidisch oog" bekeken bestaat uit verschillende vormen en groottes.

figuur 3 hypm73.gif (1615 bytes) figuur 4 hypmf44.gif (3651 bytes)

Klik hier anmatie voor een animatie van figuur 4.

4. Referenties
Op het web zijn uiteraard meer pagina's te vinden over hyperbolische meetkunde.
Over vlakverdelingen, zoals vermeld in paragraaf 3:
[1] Vlakverdelingen in het Poincaré-model (Clark University)
[2] M.C. Escher: Circle Limit IV - Heaven and Hell  (Carol L. Gerten, CGFA / jpeg, ca 190Kb)


begin pagina

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

[hypm7.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000