Hyperbolische meetkunde [8]: Oppervlakte

Pagina-overzicht  ][  Complexe afbeeldingen  |  Meetkunde

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

0. Overzicht

  1. Asymptotische d-driehoeken
  2. Oppervlakte van een asymptotische d-driehoek
  3. Oppervlakte van een d-driehoek cabrisignal.gif (160 bytes)

1. Asymptotische d-driehoeken
De oppervlakte van een figuur in de E-meetkunde wordt gerelateerd aan de oppervlakte van een vierkant met zijde 1 (waarvan de oppervlakte per definitie gelijk is aan 1).
Een dergelijke aanpak is in de H-meetkunde niet goed mogelijk.
We bekijken de oppervlakte van d-driehoeken eerst aan de hand van zogenoemde aymptotische driehoeken.

enkel(voudig)-asymptotisch dubbel-asymptotisch drievoudig-asymptotisch
hypm80a.gif (1190 bytes) hypm80b.gif (1203 bytes) hypm80c.gif (1250 bytes)

We zullen aan de oppervlakte van een d-driehoek de volgende  (gebruikelijke) eisen stellen:
- d-congruente driehoeken moeten gelijke oppervlakte hebben;
- als een d-driehoek gelegen is binnen een andere d-driehoek, dan moet de oppervlakte ervan kleiner zijn;
- oppervlakte moet additief zijn.

2. Oppervlakte van een asymptotische driehoek

Stelling 1
Als van twee d-driehoeken ABC en A'B'C' geldt O(ABC) < O(A'B'C'), dan geldt hoekensom(ABC) > hoekensom(A'B'C')

Bewijs:

figuur1 hypm91.gif (1266 bytes) Zij B een punt van AB'.
Driehoek ABC heeft dus een kleinere oppervlakte dan driehoek AB'C.
Nu is in driehoek BB'C: hoek B = 180° - hoek B1 en hoek C2 = hoek C12 - hoek C1.
Voor de hoekensom van driehoek BB'C hebben we dus:
(180° - B1) + (C12 - C1) + B' < 180°
zodat B1 + C1 > B' + C12
waaruit volgt:
A + B1 + C1 > A + B' + C12
De hoekensom van de kleinere driehoek is dus het grootst.¨

Gevolg
Erg kleine driehoeken hebben een hoekensom dicht bij 180° (ze zijn bijna Euclidisch).
[einde Gevolg)

Stelling 2
Een drievoudig-asymptotische driehoek kan worden verdeeld in twee rechthoekige dubbelvoudig-asymptotische driehoeken.

Bewijs:

figuur 2 hypm82.gif (1325 bytes) We kiezen een punt P op de zijde AB.
Valt P samen met A, dan is APC = 180°..
Valt P samen met B, dan is APC = 0°.
Er is dus een positie van P op AB waar APC = 90° (het voetpunt van de loodlijn uit C op AB).
¨
Stelling 3
De hoekensom van een drievoudig-symptotische driehoek is eindig.

Bewijs:

figuur 3 hypm83.gif (1294 bytes) Op basis van stelling 2 kunnen we een drievoudig-asymptotische driehoek verdelen in 6 enkelvoudige-asymptotische driehoeken (met behulp van de hoogtelijnen; zie figuur 3).
Op basis van de optellingseis (zie paragraaf 1) is het dan alleen nodig te bewijzen, dat een enkelvoudig-asymptotische driehoek een eindige oppervlakte heeft.
Zij dus ABC een enkelvoudig-asymptotische driehoek, waarbij C een oneigenlijk punt is (A en B zijn dus d-punten).¨

We verlengen AB tot het oneigenlijk punt C' op de horizon.
AD is de d-bissectrice van hoek A, waarbij D op CC' ligt.
We spiegelen (via een H-spiegeling) vervolgens hoek BAC in de lijn AD. Hierbij wordt B afgebeeld op A1 op AC.
BC wordt dan dus afgebeeld op A1C'.
B1 (op AD) is het snijpunt van BC en A1C' (zie figuur 4).

figuur 4 hypm84.gif (3283 bytes)

De hoeken bij B en A1 voorzien we ook van bisectrices.
We hebben nu een vijfhoek AA1D1D0B; de oppervlakte daarvan is eindig.
We zullen nu aantonen, dat het mogelijk is driehoek BAC binnen deze vijfhoek af te beelden.
We doen nu met driehoek B1A1C hetzelfde als we deden met driehoek BAC: spiegelen in A1D1,
waardoor B1 wordt afgebeeld op A2 (gelegen op CA1) en B1C wordt afgebeeld op A2C'.
B1C en A1D1 snijden elkaar dan op A1D1 in het punt B2 (zie figuur 5).

figuur 5 hypm85.gif (4048 bytes)

In figuur 5 zien we twee paren congruente d-driehoeken, waarvan er telkens éen gelegen is binnen driehoek BAC en de andere binnen de vijfhoek.
We gaan nu met dit proces door, waardoor we een rij van driehoeken BiAiC krijgen.
Bij elk tweetal spiegelingen krijgen we dan een paar congruente d-driehoeken waarvan de ene in driehoek BAC en de ander binnen de vijfhoek ligt.
De enkel-asymptotische driehoek kan dus als serie congruente deeldriehoeken worden afgebeeld binnen de vijfhoek en heeft dus een eindige oppervlakte.¨

Stelling 4
Twee drievoudig-aysmptotische driehoeken zijn congruent.

Bewijs:
Een drievoudig-asymptotische driehoek heeft blijkbaar de kleinste hoeksensom (waarde gelijk aan 0º), en volgens stelling 1 de grootste oppervlakte, die volgens stelling 3 eindig is.
Hieruit volgt het gestelde.¨

3. Oppervlakte van een d-driehoek
We kunnen nu de oppervlaktestelling van de hyperbolische meetkunde bewijzen
Deze stelling is voor het eerst bewezen door Carl Friedrich Gauss,  1777-1855, Duitsland.

Stelling 5 - Stelling van Gauss
De oppervakte van een d-driehoek ABC met hoeken A,B,C is gelijk aan K(p - A - B - C).
Hierbij is K dezelfde constante voor alle d-driehoeken.

Bewijs:

figuur 6 hypm86.gif (2143 bytes)    figuur 7 hypm87.gif (2170 bytes)

We verlengen de zijden AB, BC, CA tot AD, BE, CF waarbij D,E,F op de horizon liggen (zie figuur 6).
Volgens stelling 3 heeft nu driehoek DEF (drievoudig-asymptotisch) een eindige oppervlakte k.
Elke dubbel-asymptotische driehoek (zoals ADF) heeft een oppervlakte die alleen afhankelijk is van de "tophoek".
De oppervlakte van driehoek ADF is dus afhankelijk van de hoek p-A. en dus ook van A.
Stel O(ADF) = f(A)
Verlengen we AC nu tot AX (met X oneigenlijk punt), dan is DFX drievoudig-asymptotisch en opgebouwd uit twee dubbel-asymptotische driehoeken, zodat
[1].....   k = f(A) + f(p - A)
We verdelen nu een drievoudig-asymptotische driehoek in drie dubbel-asymptotische driehoeken met tophoeken p - A, p - B en A + B (zie figuur 7).
Dus
   k = f(A) + f(B) + f(p - (A+B))
Nu is f(p - (A+B)) = k - f(A+B), volgens betrekking [1].
Zodat
   k = f(A) + f(B) + k - f(A+B)
Waaruit weer volgt:
   f(A) + f(B) = f(A+B)
De functie f is dus lineair, zodat f(A) = pA, waarbij p een constante is.
De vergelijking [1] gaat hierdoor over in
   k = pA + p(p - A)
waarui volgt dat p = k / p.
Dus:
   f(A) = kA / p.
In figuur 6 hebben we nu
   O(ABC) = O(DEF) - O(AFD) - O(BDE - O(CEF)
zodat we nu vinden
   O(ABC) = k - (f(A) + f(B) + f(C) ) = k - (k/p) (A + B + C) = (k/p) (p - (A + B + C).
Stellen we K = k/p, dan is dus
   O(ABC) = K(p - (A+B+C))

Het is gebruikelijk de waarde van K gelijk aan 1 te nemen.
Hierdoor is de oppervlakte van een drievoudig-asymptotische driehoek gelijk aan p.
Zodat
   O(ABC) = p - ( A + B + C)
¨

Klik hier animatie voor een animatie van de oppervlakte van een d-driehoek.


begin pagina

vorige Vorige  begin Begin  volgende Volgende 

[hypm8.htm] laatste wijziging op: 03-06-2000