Cabri werkblad
Overzicht ][ Alle werkbladen | Meetkunde
| Cabri
Overzicht
- Het zwaartepunt van een veelhoek
- Zwaartepunt van een lijnstuk
- Zwaartepunt van een driehoek
Opdracht 1
Opdracht 2
- Zwaartepunt van een vierhoek
Opdracht 3
Opdracht 4
Opdracht 5
- Naschrift
Opdracht 6 (facultatief)
- Download
1. Zwaartepunt van een lijnstuk
We gaan uit van twee punten A1 en A2:
figuur 1 |
 |
Het midden van het lijnstuk A1A2
noemen we in dit geval ook wel het zwaartepunt van het lijnstuk.
We kunnen het punt C opvatten als centrum van een vermenigvuldiging met factor -1 waardoor
het punt A1 wordt afgebeeld op het punt A2.
2. Zwaartepunt van een driehoek
figuur 2 |
 |
De zwaartepunten (middens) van de zijden van
een driehoek vormen een nieuwe driehoek.
Deze nieuwe driehoek is gelijkstandig met de oorspronkelijke driehoek
(gelijkstandig betekent onder andere, dat de overeenkomstige zijden evenwijdig zijn).
Het centrum C van de bijbehorende vermenigvuldiging heet zwaartepunt van de
driehoek.
De vermenigvuldigingsfactor van driehoek ABC tov. C is -�. |
Opdracht 1
figuur 3 |
 |
Ga uit van driehoek A1A2A3.
- Bepaal het midden B1 van A2A3. Kies
het punt C op A1B1 zodat
A1C : B1C = 2 : 1
(kijk eens op het werkblad "Kromme van Koch (opdracht 1)"
hoe je dat kan doen).
- Bewijs nu, dat het beeld van het punt A2 bij
vermenigvuldiging ten opzichte van C met de factor -� samenvalt met het midden van A1A3.
- Voer deze vermenigvuldiging, en ook die voor het punt A3,
met Cabri uit.
|
Aanwijzing
Maak voor het bewijs gebruik van de eigenschappen van een lijnstuk en het beeld daarvan
bij vermenigvuldiging en van de middenparallel van een driehoek.
Opdracht 2
We maken vervolgens een macro waarmee het zwaartepunt
van een driehoek kan worden geconstrueerd.
We hebben hierbij maar twee zwaartelijnen van de driehoek nodig.
- Begin met een nieuw Cabri werkblad en teken daarop driehoek PQR (of
je dat met lijnstukken of direct met behulp van de opdracht "Driehoek" in het Teken-menu
doet, is niet van belang).
- Teken de zwaartelijnen van de zijden PR en QR, en bepaal hun snijpunt
C: het zwaartepunt van de driehoek.
Kies nu "Beginobjecten" in het Macro-menu.
Selecteer nu de hoekpunten van de driehoek.
figuur 4 |
 |
- Kies nu "Eindobjecten" in het Macro-menu.
Selecteer het zwaartepunt van de driehoek.
- En kies tenslotte "Definieer macro" in het Macro-menu.
Maak daarin de aanvullingen als in de figuur hiernaast en klik op de knop OK.
Eventueel kan je de macro opslaan in een bestand. Hiervoor
moet je de optie "Opslaan in bestand" aanklikken, zoals ook in de figuur
hiernaast (figuur 4) is gedaan.
We zullen van deze macro gebruik maken in Opdracht 3. |
3. Zwaartepunt van een
vierhoek
In de volgende opdracht volgt zullen we het zwaartepunt van een vierhoek
construeren.
Opdracht 3
Kies in Cabri een nieuw werkblad en teken een
willekeurige vierhoek A1A2A3A4.
Teken daarin ook de diagonalen A1A3 en A2A4
(het tekenen van de diagonalen is voor de constructie echter niet van belang).
- Ga na, dat je in vierhoek A1A2A3A4
vier driehoeken kan bepalen, waarvan telkens ��n hoek samenvalt met (gelijk is
aan) een hoek van de vierhoek. Van die hoek is de overstaande zijde dan een diagonaal van
de vierhoek.
Welke zijn die vier driehoeken?
- Gebruik de macro "zw3" (uit Opdracht
2) om van deze driehoeken de zwaartepunten B1, B2, B3,
B4 te tekenen.
figuur 5 |
 |
Wat valt je nu op aan de vorm van vierhoek B1B2B3B4
als je die vergelijkt met de vorm van vierhoek A1A2A3A4?
- Er is sprake van vermenigvuldiging (kan je dat bewijzen?). Met welke
factor is er vermenigvuldigd?
- Construeer het centrum van de vermenigvuldiging door de
overeenkomstige punten (punt en beeldpunt, zoals A1 en B1) te
verbinden.
Het gevonden punt is het zwaartepunt van vierhoek A1A2A3A4. |
- Hoeveel paren overeenkomstige punten moeten verbonden worden
om het zwaartepunt van de vierhoek te vinden?
Opdracht 4
Maak een macro (noem deze "zw4") waarmee je
het zwaartepunt van een vierhoek kunt tekenen. Doe dat op dezelfde manier als bij
"zw3"; zie Opdracht 2. Neem bij het selecteren van de vier
hoekpunten de juiste volgorde in acht!
Opdracht 5
Construeer het zwaartepunt van een vijfhoek
(eventueel ook een zeshoek, ...).
- Met welke factor is er in dit geval (deze gevallen) vermenigvuldigd?
4. Naschrift
De Engelse vertaling van "zwaartepunt" is
"centre of gravity". Vaker wordt hiervoor in Engelse wiskunde-literatuur echter
het woord "centroid" (Nederlands: centro�de) gebruikt.
Het gebruik van het woord "centroid" in Engelse literatuur
is in een enkel geval verwarrend, als het gaat om (de definitie van) het zwaartepunt van
een vierhoek.
In onderstaande figuren staan punten van een vierhoek die in Engelse
wiskunde-literatuur ook met "centroid" worden aangegeven.
figuur 6 |
 |
In figuur 6:
De punten B1, B2, B3 en B4 zijn de zwaartepunten van de vier driehoeken die een hoek met
vierhoek A1A2A3A4 gemeenschappelijk hebben.Z4 is een "centro�de" van A1A2A3A4. |
figuur 7 |
 |
In figuur 7:
P, Q, R en S zijn de middens van de zijden van vierhoek A1A2A3A4.Definitie:
De verbindingslijnstukken van de middens van de overstaande zijden snijden elkaar in
een punt dat centro�de (M4) van de vierhoek wordt genoemd. |
Opdracht 6 (facultatief)
Onderzoek onder welke voorwaarden het punt Z4
samenvalt met het punt C (het in het werkblad gedefinieerde zwaartepunt van A1A2A3A4).
Onderzoek of het punt M4 steeds samenvalt met het punt C.
5. Download
De Cabri-figuren op deze pagina zijn in ��n bestand via deze website te
downloaden.
In dat bestand zijn ook enkele Cabr-macro's en een paar niet behandelde figuren opgenomen.
Klik hier om het downloaden te
starten [ZIP-bestand, ca. 18Kb].
Van deze pagina is ook een PDF-versie beschikbaar:
zwaartep.pdf [ca. 43Kb].

[zwaartep.htm] laatste wijziging op: 23-03-2000