Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Het zwaartepunt van een veelhoek

  1. Zwaartepunt van een lijnstuk
  2. Zwaartepunt van een driehoek
         Opdracht 1
         Opdracht 2
  3. Zwaartepunt van een vierhoek
         Opdracht 3
         Opdracht 4
         Opdracht 5
  4. Naschrift
         Opdracht 6 (facultatief)
  5. Download

1. Zwaartepunt van een lijnstuk
We gaan uit van twee punten A1 en A2:

figuur 1 zw1.gif (278 bytes)

Het midden van het lijnstuk A1A2 noemen we in dit geval ook wel het zwaartepunt van het lijnstuk.
We kunnen het punt C opvatten als centrum van een vermenigvuldiging met factor -1 waardoor het punt A1 wordt afgebeeld op het punt A2.

2. Zwaartepunt van een driehoek

figuur 2 zw2.gif (1649 bytes) De zwaartepunten (middens) van de zijden van een driehoek vormen een nieuwe driehoek.
Deze nieuwe driehoek is gelijkstandig met de oorspronkelijke driehoek (gelijkstandig betekent onder andere, dat de overeenkomstige zijden evenwijdig zijn).
Het centrum C van de bijbehorende vermenigvuldiging heet zwaartepunt van de driehoek.
De vermenigvuldigingsfactor van driehoek ABC tov. C is -½.

Opdracht 1

figuur 3 zw3.gif (1464 bytes)
  • Ga uit van driehoek A1A2A3.
  • Bepaal het midden B1 van A2A3. Kies het punt C op A1B1 zodat
    A1C : B1C = 2 : 1
    (kijk eens op het werkblad "Kromme van Koch (opdracht 1)" hoe je dat kan doen).
  • Bewijs nu, dat het beeld van het punt A2 bij vermenigvuldiging ten opzichte van C met de factor -½ samenvalt met het midden van A1A3.
  • Voer deze vermenigvuldiging, en ook die voor het punt A3, met Cabri uit.

Aanwijzing
Maak voor het bewijs gebruik van de eigenschappen van een lijnstuk en het beeld daarvan bij vermenigvuldiging en van de middenparallel van een driehoek.

Opdracht 2
We maken vervolgens een macro waarmee het zwaartepunt van een driehoek kan worden geconstrueerd.
We hebben hierbij maar twee zwaartelijnen van de driehoek nodig.

figuur 4 zwnaam.gif (5005 bytes)
  • Kies nu "Eindobjecten" in het Macro-menu.
    Selecteer het zwaartepunt van de driehoek.
  • En kies tenslotte "Definieer macro" in het Macro-menu.
    Maak daarin de aanvullingen als in de figuur hiernaast en klik op de knop OK.

Eventueel kan je de macro opslaan in een bestand. Hiervoor moet je de optie "Opslaan in bestand" aanklikken, zoals ook in de figuur hiernaast (figuur 4) is gedaan.
We zullen van deze macro gebruik maken in Opdracht 3.

3. Zwaartepunt van een vierhoek
In de volgende opdracht volgt zullen we het zwaartepunt van een vierhoek construeren.

Opdracht 3

figuur 5 zw4.gif (1718 bytes)
  • Wat valt je nu op aan de vorm van vierhoek B1B2B3B4 als je die vergelijkt met de vorm van vierhoek A1A2A3A4?
  • Er is sprake van vermenigvuldiging (kan je dat bewijzen?). Met welke factor is er vermenigvuldigd?
  • Construeer het centrum van de vermenigvuldiging door de overeenkomstige punten (punt en beeldpunt, zoals A1 en B1) te verbinden.

Het gevonden punt is het zwaartepunt van vierhoek A1A2A3A4.

Opdracht 4

Opdracht 5

4. Naschrift
De Engelse vertaling van "zwaartepunt" is "centre of gravity". Vaker wordt hiervoor in Engelse wiskunde-literatuur echter het woord "centroid" (Nederlands: centroïde) gebruikt.

Het gebruik van het woord "centroid" in Engelse literatuur is in een enkel geval verwarrend, als het gaat om (de definitie van) het zwaartepunt van een vierhoek.

In onderstaande figuren staan punten van een vierhoek die in Engelse wiskunde-literatuur ook met "centroid" worden aangegeven.

figuur 6 zw5.gif (1828 bytes) In figuur 6:
De punten B1, B
2, B3 en B4
zijn de zwaartepunten van de vier driehoeken die een hoek met vierhoek A1A2A3A4 gemeenschappelijk hebben.

Z4 is een "centroïde" van A1A2A3A4.

.
figuur 7 zw6.gif (1351 bytes) In figuur 7:
P, Q, R en S zijn de middens van de zijden van vierhoek A1A2A3A4.

Definitie:
De verbindingslijnstukken van de middens van de overstaande zijden snijden elkaar in een punt dat centroïde (M4) van de vierhoek wordt genoemd.

Opdracht 6 (facultatief)


5. Download
De Cabri-figuren op deze pagina zijn in één bestand via deze website te downloaden.
In dat bestand zijn ook enkele Cabr-macro's en een paar niet behandelde figuren opgenomen.
Klik hier om het downloaden te starten [ZIP-bestand, ca. 18Kb].

Van deze pagina is ook een PDF-versie beschikbaar:
Download zwaartep.pdf [ca. 43Kb].


begin pagina

[zwaartep.htm] laatste wijziging op: 23-03-2000