Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Raaklijnen

  1. Raaklijnen aan een cirkel
         Opdracht 1
         Opdracht 2
  2. Euclides' constructie
         Opdracht 3
         Opdracht 4a
         Opdracht 4b
  3. Een andere kijk op de raaklijn
         Opdracht 5
         Opdracht 6
  4. Raaklijnen aan twee cirkels
         Opdracht 7
         Opdracht 8
         Opdracht 9
  5. Download

Opmerking
Zie ook de webpagina "Raaklijnen", waarop een afwijkende constructie van de raakijnen aan twee cirkels wordt behandeld.


1. Raaklijnen aan een cirkel

Definitie
Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft.
.
Stelling
De raaklijn in een punt op een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

Bewijs:

figuur 1  raaklijn1.gif (1046 bytes) Zie figuur 1, waarin A op de cirkel met middelpunt M ligt, MA de raakstraal is en m de raaklijn in A aan de cirkel.
We bewijzen deze stelling uit het ongerijmde.

Stel m staat niet loodrecht op MA.
We kunnen dan uit M de loodlijn op m neerlaten. We noemen het voetpunt van deze loodlijn B.
Zij nu A' het spiegelbeeld van A in deze loodlijn, dan geldt

  • A' ligt op m
  • MA' = MA

Dus ook A' ligt op de cirkel. Maar dan heeft de lijn m twee (verschillende) punten gemeenschappelijk met de cirkel, hetgeen in tegenspraak is met het gegeven, dat m raaklijn is.
Hieruit volgt dus: MA ^ (loodrecht op) m. ¨

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

Opdracht 1

figuur 2  raaklijn2.gif (1255 bytes)
Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
.
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

Opdracht 2

2. Euclides' constructie
In het eerste boek dat over meetkunde geschreven is, de Elementen van Euclides (Euclides van Alexandrië, ~325 ­ ~265 vC), staat in Boek III in stelling 17 een manier waarop je een raaklijn uit een punt aan een cirkel kunt tekenen.

Opdracht 3

figuur 3  raaklijn3.gif (1644 bytes)

De door Euclides gegeven constructiestappen zijn:

  1. Verbind A met het middelpunt M van de cirkel.
  2. Teken de cirkel met middelpunt M en straal MA.
  3. Teken in B (het snijpunt van AM en de eerste cirkel) de loodlijn op AM en bepaal een snijpunt C van die lijn met de tweede cirkel.
  4. Verbind C met M en bepaal het snijpunt van CM met de eerste cirkel (zie figuur 3).
  5. Verbind D met A.

Nu is AD een raaklijn (uit A) aan de eerste cirkel.

Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

De tweede raaklijn uit het punt A heb je met bovenstaande stappen nog niet gevonden.

Opdracht 4a
Een constructie van de raaklijnen uit een punt aan een cirkel die gemakkelijker is uit te voeren, is gebaseerd op de stelling van Thales voor rechthoekige driehoeken. Deze luidt (zie ook figuur 4):

Stelling van Thales
Van een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
figuur 4  raaklijn5.gif (1241 bytes)     figuur 5  raaklijn6.gif (1462 bytes)

Opdracht 4b - macro:RaaklijnenUitPunt

3. Een andere kijk op de raaklijn
Blaise Pascal was een wiskundige die leefde van 1623 tot 1662 in Frankrijk. Op zijn naam staat onder andere een stelling over kegelsneden, de naar hem genoemde stelling van Pascal.
Aangezien een cirkel een bijzondere kegelsnede (en wel een ellips) is, geldt deze stelling ook voor cirkels.

De stelling luidt:

figuur 6  raaklijn4.gif (2301 bytes)
Stelling van Pascal
Zijn A, B, C en A' B' C' (willekeurige) punten op een cirkel waarbij
  • K is het snijpunt van AB' en A'B
  • L is het snijpunt van AC' en A'C
  • M is het snijpunt van BC' en B'C

dan liggen de punten K, L, M op een rechte lijn (zie figuur 6).

We zullen deze stelling hier niet bewijzen, omdat daarvoor een aantal begrippen en eigenschappen nodig is dat boven de doelstelling van dit werkblad uitgaat.

Opdracht 5

Je kan nu met Cabri controleren of het punt M ook op de lijn p ligt.

Selecteer het punt M en daarna de lijn p. Klik op een leeg deel van het werkblad. Als je de constructie goed hebt uitgevoerd, zie je "Dit punt ligt op het object".

Opmerking
Op basis van het bovenstaande is het nu zeker duidelijk dat men ook wel van een raaklijn aan een cirkel spreekt, als een lijn twee samengevallen snijpunten met die cirkel heeft.

[einde Opmerking]

Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 6

figuur 7  raaklijn7.gif (1277 bytes)

Op basis van de stelling van Pascal kan je nu ook een raaklijn in een punt aan een cirkel construeren.
Ga daarbij uit van de punten A, B, C en A', C' op een cirkel. Het punt B' valt dan samen met het punt A (zie figuur 7)

Opdracht 6 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

4. Raaklijnen aan twee cirkels
Je gaat nu de raaklijnen construeren aan twee cirkels.
In dit geval zijn er twee soorten te onderscheiden, uitwendige raaklijnen en inwendige raaklijnen.

Opdracht 7

We zullen deze raaklijn in deze opdracht aangeven met t.

figuur 8  raaklijn8.gif (1049 bytes)
Opdracht 7 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

De raaklijnen die door U gaan heten uitwendige raaklijnen; de raaklijnen die door I gaan heten inwendige raaklijnen.

De vraag die nu hopelijk bij je opkomt is "Hoe kunnen we de plaats van de punten U en I op de lijn MN construeren?" (exact bepalen).
Immers, als we uit U (en I) raaklijnen t1 en t2 construeren aan de ene cirkel (bijvoorbeeld cirkel M ­en we weten hoe we dat moeten doen­), dan raken t1 en t2 automatisch aan de tweede cirkel (in dit geval dus aan cirkel N).
We onderzoeken een en ander in de volgende opdracht.

Opdracht 8

figuur 9  raaklijn9.gif (1701 bytes)

Deze lijn heeft twee snijpunten met de cirkel N.
C' is het snijpunt waarbij de lijnstukken MC en NC' dezelfde "richting" hebben (zie figuur 9).

C" is het snijpunt waarbij de lijnstukken MC en NC" tegengestelde "richting" hebben.

Opdracht 8 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opmerking
De punten U en I heten opvolgend uitwendig gelijkvormigheidspunt en inwendig gelijkvormigheidspunt van de cirkels.

[einde Opmerking]

Opdracht 9

figuur 10  raaklijn10.gif (1751 bytes)

Als je uitgaat van twee gegeven cirkels, dan zijn de stappen voor de constructie van de gemeenschappelijke raaklijnen aan die cirkels dus de volgende:

  1. Construeer het uitwendig en inwendig gelijkvormigheidspunt (zie Opdracht 8)
  2. Construeer uit beide punten de raaklijnen aan één van beide cirkels (gebruik de macro:RaaklijnenUitPunt).

Deze raaklijnen zijn dan de gemeenschappelijke raaklijnen.

We stellen het aantal gemeenschappelijke raaklijnen van twee cirkels gelijk aan k.


5. Download
De hierboven gebruikte Cabri-figuren en de behandelde macro's kunnen in één bestand via deze website worden gedownload.
Klik hier om het downloaden te starten [15Kb, ZIP-formaat].

Het werkblad is eveneens als PDF-bestand beschikbaar:
pdf.gif (272 bytes) raaklijnw.pdf [62Kb]


begin pagina

[raaklijnw.htm] laatste wijziging op: 09-03-2000