Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Een punt "tussen" twee cirkels


Formulering van het probleem
We gaan uit van twee willekeurige cirkels M1 en M2 en een willekeurig punt P.
We zoeken een lijnstuk waarvan P het midden is en waarvan de eindpunten op de beide cirkels liggen (zie figuur 1).

figuur 1 pscen1.gif (1380 bytes)

Zo’n lijnstuk noemen we in hetgeen volgt de "pseudo-centraal" van de beide cirkels. Het punt P noemen we het "pseudo-midden" van de cirkels.

Opdracht 1

Op basis van de bestaande constructie op het werkblad is het mogelijk het punt B te construeren dat aan één van beide voorwaarden voldoet, namelijk B = Puntspiegeling(A, P).

Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
_
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

Intermezzo
Deel 1
Als je het antwoord op de laatste vraag van opdracht 1 niet hebt kunnen vinden, dan kan je een belangrijke functie van Cabri gebruiken, waardoor je wellicht wel tot een antwoord komt.
Heb je wel een antwoord gegeven, ga dan verder met Deel 2 van dit Intermezzo.

Nu wordt de "baan" van het punt B getekend als A over de cirkel beweegt.

Intermezzo 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Deel 2

figuur 2 pscen2.gif (632 bytes)

Het voordeel van het tot je beschikking hebben van een door Cabri geconstrueerde kromme lijn boven een door Cabri berekende kromme lijn (de meetkundige plaats) is, dat je met de geconstrueerde kromme lijn snijpunten met andere objecten kunt bepalen (dat helaas kan niet met meetkundige plaatsen).

(Op weg naar) de oplossing
Je kunt nu de oplossing van het probleem gemakkelijk vinden door cirkel M2 te snijden met het gevonden beeld (het beeld van cirkel M1). Zie daartoe figuur 3.

figuur 3 pscen3.gif (1513 bytes)

Opdracht 2

In figuur 4 is een situatie weergegeven waarin er slechts één pseudo-centraal van de cirkels (bij het gegeven punt P) te vinden is.

figuur 4 pscen4.gif (1475 bytes)

Opdracht 3
Bij vaste ligging en grootte van cirkel M1 en van het punt P, zijn er meerdere cirkels M2 (met vaste straal) mogelijk waarbij precies één pseudo-centraal bestaat.

Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Macro:PseudoCentraal
Het is handig als je voor verder onderzoek de beschikking hebt over een macro die, uitgaande van de cirkels M1 en M2 en het punt P, de pseudo-centralen tekent. We geven deze macro de naam PseudoCentraal.
We moeten dan natuurlijk een figuur gebruiken waarin het maximaal aantal pseudo-centralen is getekend (zie figuur 5).

figuur 5 pscen5.gif (1796 bytes)

Nb.
Bij de constructie van de pseudo-centralen van P ten opzichte van beide cirkels in figuur 5 is het punt A niet gebruikt.

Opdracht 4

Finale
We passen in opdracht 5 de macro:PseudoCentraal toe.

Opdracht 5

figuur 6 pscen6.gif (1312 bytes)

Als het goed is, zie je twee pseudo-centralen van P ten opzichte van de cirkels.

  • Geef nu P enkele andere posities en bekijk daarbij het aantal pseudo-centralen.
Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Opdracht 5 Animatie met CabriJava
_
figuur 7 pscen7.gif (1390 bytes)

In figuur 7 zijn de punten A en B pseudo-middens van de cirkels M1 en M2.
Door A en B gaat precies één pseudo-centraal.

  • Waarom zijn A en B pseudo-middens en waarom hebben de cirkels precies één pseudo-centraal ten opzichte van A en ten opzichte van B?
  • Zijn er meer punten "tussen beide cirkels" zoals A en B? Verklaar je antwoord.
  • Bepaal nu de gebieden waarvoor geldt, dat er, als P in zo’n gebied ligt, twee pseudo-centralen van P zijn ten opzichte van beide cirkels.
  • Aanwijzing
    Zoek ook naar andere punten op de lijn m met precies één pseudo-centraal.
    Bekijk ook de situatie bij een andere positie van M1 en/of M2.

  • Geef een zo nauwkeurig mogelijke beschrijving van de gebieden met opvolgend 0, 1 en 2 pseudo-centralen.

Opdracht 6 - Gemeenschappelijke raaklijn aan twee cirkels
Onder een gemeenschappelijk raaklijnstuk van twee cirkels verstaan we het lijnstuk dat de raakpunten op dezelfde gemeenschappelijke raaklijn aan die cirkels verbindt.
In figuur 8 zijn de gemeenschappelijke raaklijnstukken aan de cirkels M1 en M2 getekend.

figuur 8 pscen8.gif (1941 bytes)
  • Doe een uitspraak over deze gemeenschappelijke raaklijnstukken in verband met pseudo-centralen.
Opdracht 6 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Opdracht 6 Animatie met CabriJava

In figuur 9 zijn cirkels (ze hebben hetzelfde middelpunt!) getekend die in het midden van die raaklijnstukken raken aan de gemeenschappelijke raaklijnen van de cirkels M1 en M2.

figuur 9 pscen9.gif (2129 bytes)
  • Doe een uitspraak over deze cirkels in verband met pseudo-centralen.

Download
De in het werkblad gebruikte Cabri-figuren kunnen via deze website in één bestand worden gedownload.
Naast de figuren is ook de gebruikte macro in het bestand opgenomen.
Klik hier om het downloaden van het bestand te starten [12Kb, ZIP-formaat].

Het werkblad zelf is ook in PDF-formaat beschikbaar:
pdf.gif (272 bytes) pseudocent.pdf [52Kb]


begin pagina

[pseudocent.htm] laatste wijziging: 17-02-2000