Cabri-werkblad

Overzicht  ][   Alle werkbladen  |  Meetkunde  |  Cabri


Overzicht - Parallel en antiparallel terug


Opdracht 1 - Probleem terug

figuur 1 tuck1.gif (597 bytes)

In figuur 1 bepalen de punten A, B en C een hoek.
Zoals in die figuur getekend, is de hoek ABC positief georiŽnteerd, terwijl hoek CBA negatief georiŽnteerd is.
Er is ook een lijn l door het punt P getekend. Het punt Q ligt ook op l.

a. Hoeveel hoeken met P als hoekpunt zijn er, die gelijk zijn aan hoek ABC en die l als been hebben?
Maak op je antwoordblad een duidelijke schets.

We willen nu, met P als hoekpunt en l als been, een hoek construeren die gelijk is aan hoek ABC, maar met dezelfde oriŽntatie als hoek ABC.

b. Hoeveel van dergelijke hoeken zijn er?
Maak opnieuw een duidelijke schets.

Tenslotte.

c. Hoeveel hoeken met dezelfde oriŽntatie als hoek ABC en met P als hoekpunt zijn er die QP als been hebben?

Opdracht 2 - Constructie terug

figuur 2 tuck2.gif (1814 bytes)

In figuur 2 is met Cabri een constructie uitgevoerd, gebaseerd op figuur 1 en op Opdracht 1c.
De beschrijving van die constructie staat hieronder.

1 = Midden(A, P)
2 = Midden(C, P)
3 = Puntspiegeling(B, 1)
4 = Puntspiegeling(B, 2)
5 = Deellijn(3, P, Q)
R = Spiegeling(4, 5)
PR = HalveLijn(P, R)

De functies van Cabri zijn hier aangegeven als Functie(X,Y), waarbij eerst het object X en daarna het object Y geselecteerd moet worden.

o. Toon aan, dat hoek ABC gelijk is aan hoek RPQ.
Aanwijzing
Bekijk de in figuur 2 dik getekende lijnstukken (AB, BC, 3P, P4).

Klik hier Animatie voor een animatie van de constructie met CabriJava.

Opdracht 3 - Een macro terug

a. Maak een macro:HoekNaarPunt voor de constructie uit Opdracht 2, met
   Beginobjecten: C, B, A (de volgorde is belangrijk!), Q, P (ook hier is de volgorde belangrijk).
   Eindobjecten: PR ("Deze halve lijn").

Bewaar de macro in een bestand in verband een hierna volgende opdracht.

b. Leg kort uit waarom de volgorde C, B, A en de volgorde Q, P belangrijk is?

Opmerking
Er is een standaard macro (Copyangl, KopieHoek) bij Cabri beschikbaar die ongeveer hetzelfde doet als de hierboven beschreven macro.

Opdracht 4 - Antiparallel terug

figuur 3a figuur 3b
tuck3a.gif (1272 bytes) tuck3b.gif (2139 bytes)

Teken een driehoek ABC met een punt P op de zijde AC (maak hierbij geen gebruik van de functie "Driehoek" in het Teken-menu).
Teken ook de lijn door P evenwijdig met BC (Q op AB) en de zwaartelijn AA1 (zie figuur 3a).

a. Toon aan dat deze zwaartelijn (ma) het lijnstuk PQ in twee gelijk stukken (PR en QR) deelt.

Teken nu ook de deellijn (bissectrice) da van hoek A (zie figuur 3b).
Spiegel de lijnen PQ en AA1 in da (met de functie "Spiegeling" in het Afbeeldingen-menu).

b. Toon nu aan dat het beeld P’Q’ van PQ in twee gelijke stukken verdeeld wordt door de lijn sa, die het beeld is van ma (in de spiegelas da).
c. Toon ook aan, dat hoek P’Q’A gelijk is aan hoek ABC.

Klik hier Animatie voor een animatie van deze eigenschappen met CabriJava.

Afspraken
Omdat PQ parallel is met BC, noemt men de lijn P’Q’ antiparallel met BC.
Het beeld van een zwaartelijn (ook wel mediaan genoemd) bij spiegeling in de bissectrice naar dezelfde zijde, noemt men een symmediaan van die zijde.

De resultaten van Opdracht 4 kunnen we nu (kort) formuleren als:
Een parallel van een driehoek wordt in twee gelijke stukken gedeeld door een mediaan
en
een antiparallel van een driehoek wordt in twee gelijke stukken gedeeld door een symmediaan.

Opdracht 5 - Voetpuntsdriehoek terug
Om een antiparallel van een zijde van een driehoek te tekenen hebben we de (toch wat gecompliceerde) constructie van Opdracht 4 niet nodig. We kunnen daarvoor immers de macro:HoekNaarPunt uit Opdracht 3 gebruiken.

Teken een driehoek ABC en een punt P op de zijde AC.

Voer nu de macro uit (maar pas op): selecteer achtereenvolgens C, B, A, …

Je zou nu opnieuw A moeten selecteren (en dan P). Echter, Cabri staat twee keer selecteren van een punt niet toe!
Je kan dat zien, als je de cursor in de buurt van A brengt. Je zou moeten krijgen "Dit punt", maar je ziet "Dit snijpunt" (zie figuur 4a). Als je toch klikt, gebeurt zeker er niet wat je wilt dat er gebeurt.

figuur 4a figuur 4b
tuck4.gif (1179 bytes) tuck4b.gif (1379 bytes)

Je kan deze "onvolkomenheid" van Cabri echter omzeilen.
Construeer op de plaats van A nog een tweede punt (zie figuur 4b)!!

a. Beschrijf kort je hoe dat kan doen.
Aanwijzing
Er zijn meerdere mogelijkheden.
Gebruik daartoe bijvoorbeeld het punt C (in figuur 4b staat een bijzonder punt op de zijde AC).

Teken ook de lijn door P die antiparallel is met AB.
Geef P nu, indien nodig, een zodanige positie op AC, dat je de punten Q (op AB) en R (op BC) kan bepalen (zie figuur 5).

figuur 5 tuck5.gif (1803 bytes)

Teken ook de lijn QR.

b. Toon aan, dat QR antiparallel is met AC.
Wat weet je nu van de driehoeken APQ, RBQ, RPC en ABC?

Teken ook de lijnstukken AR, BP en CQ.
Verplaats P nu zo, dat deze lijnen door ťťn punt gaan (zie figuur 6).

Klik hier Animatie voor een animatie van deze eigenschap met CabriJava.

c. Welke lijnen zijn AR, BP en CQ in dit geval van driehoek ABC?
.
figuur 6 tuck6.gif (1900 bytes)
.
d. Toon aan dat in dit geval (bij de ligging van P, als bedoeld in vraag c) hoek ARP = ARQ.
Welke lijnen zijn AR, BP en CQ dus van driehoek PQR?

Afspraak
De driehoek die de voetpunten van de hoogtelijnen (op de zijden van een driehoek) als hoekpunten heeft,  heet de voetpuntsdriehoek van die driehoek.

Opdracht 6 - ??(?) terug

o. Formuleer twee stellingen (een derde mag ook!) over de voetpuntsdriehoek van een driehoek.

Opdracht 7 - Terug naar de symmedianen top.gif (54 bytes)
Kies een nieuw Cabri tekenblad.
Teken daarop maar weer een driehoek ABC en ook de symmedianen van die driehoek.
Hoe je een symmediaan kan construeren staat beschreven in Opdracht 4, maar ook hier is een macro misschien wel op zijn plaats.

a. Waarom gaan de drie symmedianen door ťťn punt (zie figuur 7a)?
Aanwijzing
Ga na wat er met de lijnen aan de hand is die "originelen" zijn van die symmedianen.
 
Klik hier
Animatie voor een animatie van deze eigenschap met CabriJava.
 
figuur 7a figuur 7b
tuck7a.gif (1328 bytes) tuck7b.gif (2074 bytes)

Teken nu door dat snijpunt, noem het K, de drie lijnen die antiparallel zijn met de zijden van de driehoek (zie figuur 7b, waarin de symmedianen zijn weggelaten).
Aanwijzing
Kijk eens in figuur 6. Daarin staan in ieder geval ook drie antiparallellen.

b. Toon nu aan, dat de zes snijpunten van deze lijnen met de zijden van de driehoek op een cirkel liggen.
Aanwijzingen
Wat weet je van het punt K?
De letters bij de snijpunten duiden wellicht ook wel ergens op.

Klik hier Animatie voor een animatie van de cirkeleigenschap met CabriJava.

Opdracht 8 - Met een uitdagend slot terug
Ga weer uit van het symmediaanpunt K (ook wel het punt van Lemoine genoemd; naar Emile Lemoine, 1840-1912, Frankrijk).

figuur 8 tuck8.gif (1796 bytes)

Teken nu de drie lijnen door K die parallel zijn met de zijden van de driehoek.
Ook nu liggen de zes snijpunten van die lijnen met de zijden van de driehoek op een cirkel.

Klik hier Animatie voor een animatie met CabriJava.

Een uitdaging?

o. Construeer het middelpunt van de cirkel.
Probeer te bewijzen, dat BcCb, AcCa en AbBa (in figuur 8) antiparallel zijn met de zijden van de driehoek.
Probeer dan ook het bewijs te leveren van het feit, dat de zes punten op een cirkel liggen, en van de plaats van het middelpunt.

Opmerking
De cirkel uit Opdracht 7 heet tweede cirkel van Lemoine; die uit Opdracht 8 heet eerste cirkel van Lemoine.


Tenslotte terug
[1]
Op deze website zal ook een pagina worden gewijd aan de zogenoemde Tucker-cirkels.
De beide Lemoine-cirkels zijn namelijk bijzondere Tucker-cirkels.
Klik hier voor de pagina "Tucker-cirkels".
[2]
Antiparallellen worden in samenhang met isogonalen in een driehoek behandeld op de pagina "Isogonalen".

Download terug
De op dit werkblad gebruikte Cabri-figuren zijn via deze websiste in ťťn bestand te downloaden.
In het bestand zijn ook enkele macro's, waaronder die uit Opdracht 2, opgenomen.
Klik hier om het downloaden te beginnen [ca. 12 Kb, ZIP-bestand]

Deze pagina is ook beschikbaar in PDF-formaat.
Download parenanti.pdf [ca. 220 Kb]


begin pagina
[parenanti.htm] laatste wijziging op: 03-10-08