Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Meetkundige plaatsen terug

  1. Wat is een meetkundige plaats?
         Opdracht 1
  2. Afhankelijkheid, onafhankelijkheid, pad, animatie
         Opdracht 2
  3. Onderzoek
         Opdracht 3
         Opdracht 4
         Opdracht 5
         Opdracht 6
  4. Samenstellende delen van een meetkundige plaats
         Opdracht 7
         Opdracht 8
  5. Download

Opmerking
Zie ook het Cabri-werkblad "Meetkundige plaatsen, een inleiding" dat een inleiding geeft op he begrip meetkundige plaats.
[einde Opmerking


1. Wat is een meetkundige plaats? terug
We geven direct maar een

Definitie
Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien:
1. alle punten van de figuur die bedoelde eigenschap hebben;
2. alle punten met de eigenschap tot de figuur behoren.

Voorbeelden
[1] Een cirkel is de meetkundige plaats van de punten (X) die een gegeven afstand (r) tot een vast punt (M) hebben.
Notatie: {X | XM = r }.
[2] De bissectrice van een hoek is de meetkundige plaats van de punten die gelijke afstand hebben tot de benen van die hoek.
Notatie { X | d(X,a) = d(X, b) }, waarin a en b de benen van de hoek zijn en d de afstandsfunctie is van een punt tot een lijn.
[einde Voorbeelden]

Opdracht 1 terug
Een bekende meetkundige plaats is de middelloodlijn van een lijnstuk (AB). De middelloodlijn is namelijk de meetkundige plaats van de punten die gelijke afstand hebben tot de punten A en B. Notatie { X | XA = XB }.

figuur 1a mp1a.gif (856 bytes)      figuur 1b mp1b.gif (878 bytes)

Zoals uit de definitie blijkt moeten we, om de middelloodlijn als meetkundige plaats te mogen aanduiden, TWEE bewijzen geven:
1. alle punten op de middelloodlijn hebben de eigenschap (gelijke afstand);
2. alle punten met de eigenschap (gelijke afstand) liggen op de middelloodlijn.
We moeten dus de uitgangspunten voor het bewijs goed kiezen.
Om het bewijs voor alle punten te leveren volstaat het een bewijs te geven voor een willekeurig punt (X).

a. We weten: Het punt X ligt op de middelloodlijn van het lijnstuk AB (zie figuur 1a).
Bewijs nu: XA = XB.
b. We weten: Voor het punt X geldt XA = XB (zie figuur 1b).
Bewijs nu: X ligt op de middelloodlijn van AB.
Aanwijzing
Teken de loodlijn uit X op AB en bewijs dat deze lijn door het midden van AB gaat.
_
Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
_
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

2. Afhankelijkheid, onafhankelijkheid, pad, animatie terug

Opdracht 2 terug

figuur 2 mp2.gif (616 bytes)
a. Verplaats het punt P.
Welke andere objecten veranderen hierdoor ook van positie?
b. Verplaats het punt Q.
Welke andere objecten veranderen nu ook van positie?
c. Vergroot en/of verklein de cirkel, cq. verplaats het punt M.
Welke andere objecten veranderen hierdoor van positie?
d. Is het mogelijk het punt X direct te verplaatsen?
Opdracht 2 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Het punt X is afhankelijk van de ligging van de punten P en Q). Het punt Q is op zijn beurt weer afhankelijk van de cirkel met middelpunt M.
We zeggen: X is afhankelijk van P; X is afhankelijk van Q; X is afhankelijk van M; ...
P is een onafhankelijk punt; M is een onafhankelijk punt.
Q kan verplaatst worden op de cirkel. Hierdoor is Q afhankelijk van het object waarop het gedefinieerd is: de cirkel.
De cirkel wordt in dit geval ook wel het pad van het punt Q genoemd.
Deze eigenschap van Q, de ligging ervan op de cirkel (op een pad dus), kan in Cabri gebruikt worden voor de constructie van meetkundige plaatsen.
Nb. Onafhankelijke punten kunnen daarvoor niet worden gebruikt.

Er zijn drie methoden om meetkundige plaatsen op basis van een pad te onderzoeken.
Deze drie methodes komen aan de orde in Opdracht 3 in de paragraaf "3. Onderzoek".

3. Onderzoek terug
We gaan hierbij uit van de objecten zoals die in paragraaf 2, figuur 2 zijn besproken.

Opdracht 3 terug

a1. Verplaats het punt Q over de cirkel.
Let daarbij op de positie van het punt X.

Deze methode kan iets worden verfraaid door de verandering van de positie van het punt Q "automatisch" te laten geschieden.
Dit heet Animatie.
In het Extra-menu vinden we de functie "Animatie". Hiermee kan aan een object een "animatieveer" worden gekoppeld, waardoor het object beweegt over het bijbehorende pad.

a2. Kies de functie "Animatie" in het Extra-menu.
Selecteer het punt Q en houdt de linker muisknop ingedrukt. Sleep nu de muis. Hierdoor bepalen we de grootte van de animatieveer. De lengte van de veer bepaalt de snelheid van de verplaatsing van het punt Q over de cirkel.
Laat hierna de linker muisknop los.
De animatie kan worden gestopt door op het werkblad te klikken.

De methode die is behandeld in Opdracht 2, onderdeel a2, wordt meestal gecombineerd met de optie "Spoor aan/uit" die ook te vinden is in het Extra-menu.
Met "Spoor aan" kan het pad van een (afhankelijk) object worden getekend.

b. Kies de functie "Spoor aan/uit" in het Extra-menu.
Selecteer daarmee het punt X.
Verplaats nu het punt Q, met of zonder Animatie, over de cirkel (zie figuur 3).
_
figuur 3 mp3.gif (1077 bytes)

Opmerking
Het spoor van een object kan worden uit gezet door opnieuw de functie "Spoor aan/uit" te kiezen en het object te dé-selecteren (opnieuw aanklikken).
Een getekend spoor kan via het toetsenbord worden gewist met de toetscombinatie [Ctrl + F] of door met de muis  te klikken op de rechter schuifknop van het tekenblad.
[einde Opmerking]

Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Bij de derde methode van onderzoek van een meetkundige plaats laten we de meetkundige plaats (het pad) van een object door Cabri "berekenen" en tekenen.
Hierbij wordt het pad van het afhankelijke object op het werkblad weergegeven met een vooraf ingesteld aantal punten. Het onafhankelijk punt (het punt Q in dit geval) wordt daarbij niet verplaatst.

c. Kies de functie "Meetkundige plaats" in het Constructie-menu.
Selecteer nu het punt X (het punt waarvan de meetkundige plaats moet worden getekend).
Selecteer vervolgens het punt Q (het punt dat als basisobject voor de meetkundige plaats dient).
d. Geef een zo volledig mogelijke beschrijving van  de meetkundige plaats van het midden X van het lijnstuk PQ als Q de cirkel doorloopt.
Onder "zo volledig mogelijk" wordt hier verstaan: de ligging van het middelpunt van de meetkundige plaats en de grootte van de straal.
_
Opdracht 3 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opmerkingen
[1]
Cabri herkent de meetkundige plaats uit deze opdracht niet als een cirkel (wij wel?).
Op een door Cabri geconstrueerde meetkundige plaats kunnen met de functie "Punt op object" (in het Punt-menu) wel punten worden getekend.
Hiermee kan in voorkomende gevallen de meetkundige plaats door de gebruiker zelf worden geconstrueerd.

[2] BELANGRIJK!
De functie "Meetkundige plaats" in het Constructie-menu van Cabri werkt alleen als het object waarvan de meetkundige plaats moet worden getekend, afhankelijk is van een punt op een pad.
[einde Opmerkingen]

Opdracht 4 terug
Lees allereerst Opmerking [1] aan het einde van Opdracht 3 nog eens.

Opdracht 5 terug
Iemand anders heeft het middelpunt van de meetkundige plaats volgens het volgende voorschrift geconstrueerd:

figuur 4 mp4.gif (1620 bytes)
Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opdracht 6 terug
Lees allereerst Opmerking [2] aan het einde van Opdracht 3 nog eens.

figuur 5a mp5.gif (678 bytes)
figuur 5b mp5b.gif (999 bytes)      figuur 5c mp5c.gif (824 bytes)
_
Opdracht 5 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Opmerking
Je kan ook een animatieveer aan de lijn p koppelen met de functie "Animatie" in het Extra-menu.
[einde Opmerking]

4. Samenstellende delen van een meetkundige plaats terug

Opdracht 7 terug

figuur 6 mp6.gif (2072 bytes)
Opdracht 7 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Je hebt in Opdracht 7 gezien dat de meetkundige plaats uit twee (vier?) delen is opgebouwd.
Ook bij andere meetkundige plaatsen vind je soms een dergelijke opbouw.

Opdracht 8 terug

figuur 7 mp7.gif (1481 bytes)
Opdracht 8 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

5. Download terug
De hierboven gebruikte Cabri figuren zijn in een bestand te downloaden via deze website.
Klik hier om het downloaden van dit bestand te starten [4Kb, ZIP formaat].

Het werkblad zelf  is ook beschikbaar in PDF-formaat.
pdf.gif (272 bytes) meetkpl.pdf [54Kb]


[meetkpl.htm] laatste wijziging op: 24-08-2001