Cabri werkblad

Overzicht  ][  Alle werkbladen | Meetkunde | Cabri


Overzicht - Fagnano's probleem


Formulering van het probleem
In 1775 formuleerde Fagnano (Giovanni F. Fagnano dei Toschi, 1715-1797, Italië) het volgende probleem:

           Construeer in een gegeven scherphoekige driehoek ABC een driehoek PQR (P op BC, Q op CA, R op AB) waarvan de omtrek zo klein mogeljk is.

          

Fagnano zelf leverde het bewijs met behulp van de differentiaalrekening. Hieronder zullen we het bewijs trachten te leveren met behulp van elementaire meetkunde (en Cabri Geometry).

Opdracht 1

figuur 1  fagnan1.gif (1797 bytes)

Cabri heeft een functie waarmee de omtrek van een object (in dit geval driehoek PQR) kan worden berekend.

Kan je nu (als je de minimale omtrek denkt gevonden te hebben) iets zeggen over de ligging van de punten P,Q en R met betrekking tot deze hoogtelijnen?

Opdracht 1 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava      (*)
(*) Voor het ophalen van de figuur in Cabri Geometry is het noodzakelijk dat Cabri II is geïnstalleerd op het gebruikte computersysteem, waarbij de Map-opties voor "Cabri-géomètre II Figure" en "Cabri-géomètre II Macro" op de juiste wijze zijn ingesteld.
Voor animaties met CabriJava moet de gebruikte browser in staat zijn Java-applicaties uit te voeren.
Is dit niet het geval, dan kunnen de figuren ook worden gedownload via deze website (zie hiervoor Download).

Opdracht 2

figuur 2  fagnan2.gif (2239 bytes)

Waaraan is het gebroken lijnstuk P1RQP2 gelijk? Waarom?
Is het mogelijk Q en R zo te kiezen, dat P1RQP2 gelijk wordt aan P1P2? Zoja, hoe dan?

Waaraan is P1P2 dan eveneens gelijk?

Toon aan dat AP1 = AP en ook dat AP2 = AP.
Bewijs dat hoek P1AP2 = 2 . hoek BAC.

Iemand beweert nu:
     "De zijde P1P2 van de gelijkbenige driehoek P1AP2 is zo klein mogelijk, als AP zo klein mogelijk is".
Geef een argumentatie voor de juistheid van deze bewering.
Aanwijzing:
Verandert hoek P1AP2 in de gelijkbenige driehoek P1AP2, als de positie van P op AB gewijzigd wordt?

Conclusie:
De driehoek die de kleinste omtrek heeft, is de voetpuntsdriehoek van (het hoogtepunt) van driehoek ABC.

Opdracht 2 Ophalen van de figuur in Cabri Geometry       Animatie Animatie met CabriJava

Download
De hierboven behandelde figuren kunnen ook als één bestand via deze website worden gedownload.
Dit bestand bevat ook een figuur waarin een tweede bewijs van de "Stelling van Fagnano" wordt gegeven.
Klik hier om het downloaden te starten [6Kb, ZIP-formaat].


begin pagina

[fagnano.htm] laatste wijziging op: 09-11-1999